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Potenzregel bei Ableitungen – Beweis

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Lerntext zum Thema Potenzregel bei Ableitungen – Beweis

Potenzregel bei Ableitungen – benötigtes Vorwissen

Für dieses Thema solltest du wissen, was eine Potenzfunktion ist und wie man sie mit der Potenzregel ableitet. Zur Erinnerung:

Eine Potenzfunktion sieht im Allgemeinen so aus:

$f(x) = x^{n}$ für $n \in \mathbb{N}\setminus{{0}}$

Weiterhin solltest du die Vorgehensweise der vollständigen Induktion zum Beweisen von mathematischen Aussagen kennen. Zusammengefasst funktioniert diese so:

Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode für mathematische Aussagen, die alle natürlichen Zahlen umfassen. In Kurzform kann eine solche Aussage mit $A$ abgekürzt werden. $A(n)$ verdeutlicht dann, dass diese Aussage für alle natürlichen Zahlen $n$ gelten soll. Man zeigt die Aussage für eine kleinste Zahl ($n=1$). Das ist der Induktionsanfang. Dann zeigt man, dass, wenn die Aussage für eine beliebige Zahl $k$ gilt, sie auch für die Nachfolgerzahl $k + 1$ gilt (Induktionsschritt). In Kombination beweist das dann, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt.

Die Potenzregel

Die Potenzregel bei Ableitungen lautet für $n \in \mathbb{N}$:

$(x^{n})^{\prime} = n \cdot x^{n-1}$

Diese wollen wir im Folgenden mit der vollständigen Induktion beweisen.

Induktionsbeweis der Potenzregel – Induktionsanfang

Dazu schauen wir uns zunächst den Induktionsanfang $n = 1$ an:

$\begin{array}{rcccl} \text{Induktionsanfang (I. A.):} & n = 1 & \\ & \implies & (x^{1})^{\prime} & = & 1 \cdot x^{1-1} \\ & \Leftrightarrow & (x)^{\prime} & = & 1 \cdot x^{0} \\ & \Leftrightarrow & (x)^{\prime} & = & 1 \\ \end{array}$

Dass $x$ abgeleitet tatsächlich $1$ ergibt, können wir mit dem Differenzialquotienten zeigen. Zur Erinnerung:

Mit dem Differenzialquotienten können wir die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_{0}$ berechnen. Das sieht so aus:

$f^{\prime}(x_{0}) = \lim\limits_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)~–~f(x_{0})}{x~–~x_{0}}$

In diesem Fall haben wir $f(x) = x$. Also haben wir mit dem Differenzialquotienten:

$f^{\prime}(x_{0}) = \lim\limits_{x \to x_{0}} \dfrac{x~–~x_{0}}{x~–~x_{0}} = 1$

Damit gilt also:

$\begin{array}{rcccl} \text{Induktionsanfang (I. A.):} & n = 1 & \\ & \Leftrightarrow & (x)^{\prime} & = & 1 \\ & \Leftrightarrow & 1 & = & 1 \\ \end{array}$

Der I. A. ist damit korrekt und wir können mit der Induktionsvoraussetzung (I. V.) weitermachen.

Induktionsbeweis der Potenzregel – Induktionsvoraussetzung

Aufgrund der Gültigkeit des I. A. können wir nun die Induktionsvoraussetzung (I. V.) aufstellen:

Induktionsvoraussetzung (I. V.): $A(n)$ gilt für ein $n \in \mathbb{N}$.

Dies sagt zunächst nur, dass die Aussage, die wir beweisen wollen, für ein bestimmtes $n$ gilt. Um zu beweisen, dass sie auch für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt, müssen wir als Nächstes den Induktionsschritt (I. S.) gehen.

Induktionsbeweis der Potenzregel – Induktionsschritt

Für den Induktionsschritt (I. S.) nehmen wir die Induktionsvoraussetzung (I. V.) und beweisen, dass die Aussage auch für die entsprechende Nachfolgerzahl $n + 1$ gilt.

$\begin{array}{lccl} \text{Induktionsschritt (I. S.):} & n \rightarrow n + 1 & & \\ \\ \quad & (x^{n})^{\prime} & = & n \cdot x^{n~–~1} \\ \\ \quad \Rightarrow & (x^{n + 1})^{\prime} & = & (n + 1) \cdot x^{n} \\ \end{array}$

Dies werden wir im Folgenden beweisen. Zunächst nutzen wir ein Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis, um den betrachteten Term umzuformen.

$\begin{array}{lccl} \text{Induktionsschritt (I. S.):} & n \rightarrow n + 1 & & \\ \\ \quad & (x^{n + 1})^{\prime} & = & (x \cdot x^{n})^{\prime} \\ \end{array}$

Nun können wir die Produktregel für Ableitungen anwenden. Kurz zur Erinnerung:

Die Produktregel für Ableitungen besagt:

$(u(x) \cdot v(x))^{\prime} = u^{\prime}(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^{\prime}(x)$

In diesem Fall gilt:

$u(x) = x \quad u^{\prime}(x) = 1 \quad v(x) = x^{n} \quad v^{\prime}(x) = (x^{n})^{\prime}$

Damit können wir also weiter umformen:

$\begin{array}{lccl} \text{I. S:} & n \rightarrow n + 1 & & \\ \\ \quad & (x^{n + 1})^{\prime} & = & (x \cdot x^{n})^{\prime} \\ \\ & & = & 1 \cdot x^{n} + x \cdot (x^{n})^{\prime} = x^{n} + x \cdot (x^{n})^{\prime} \\ \end{array}$

Nun ist es an der Zeit, den Trick der vollständigen Induktion als Methode anzuwenden. Dadurch dass wir als Voraussetzung gesetzt haben, dass die Aussage, die wir beweisen wollen (also die Potenzregel für Ableitungen) für ein beliebiges $k$ gilt, können wir dies hier anwenden. Die Voraussetzung lautete:

$\text{I. V:} ~~(x^{n})^{\prime} = n \cdot x^{n~–~1}$

Diese Gleichung können wir im Induktionsbeweis nun nutzen, um $(x^{n})^{\prime}$ zu ersetzen:

$\begin{array}{lccl} \text{I. S:} & n \rightarrow n + 1 & & \\ \\ \quad & (x^{n + 1})^{\prime} & = & (x \cdot x^{n})^{\prime} \\ \\ & & = & 1 \cdot x^{n} + x \cdot (x^{n})^{\prime} = x^{n} + x \cdot (x^{n})^{\prime} \\ \\ & & = & x^{n} + x \cdot n \cdot x^{n~–~1} = x^{n} + n \cdot x^{1} \cdot x^{n~–~1} \\ \\ & & = & x^{n} + n \cdot x^{n} = (n + 1) \cdot x^{n} \\ \end{array}$

Wir sind am Ende unserer Umformungen angekommen und haben das gezeigt, was wir zeigen wollten: $(x^{n + 1})^{\prime}= (n + 1) \cdot x^{n}$

Zum Abschluss formulieren wir noch den Induktionsschluss.

Induktionsbeweis der Potenzregel – Induktionsschluss

Aufgrund unserer Ergebnisse im I. S. können wir nun den Induktionsschluss beschreiben:

Induktionsschluss: $A(n)$ gilt für alle $n \in \mathbb{N}$.

Damit ist die vollständige Induktion abgeschlossen und die Potenzregel bewiesen.

Induktionsbeweis der Potenzregel bei Ableitungen – Zusammenfassung

Dadurch dass die Potenzregel bei Ableitungen auf natürlichen Zahlen im Exponenten basiert, kann sie mithilfe der Methode der vollständigen Induktion bewiesen werden. Dazu wird die Potenzregel für ein beliebiges $n + 1$ bewiesen, indem vorausgesetzt wird, dass sie für ein beliebiges $n$ gilt. Die Methode der vollständigen Induktion sieht dabei so aus:

Induktionsanfang (I. A.): Beweis der Aussage $A(n)$ für $n = a$ mit $a$ als kleinster Zahl (in der Regel ist $a = 1$)
Induktionsvoraussetzung (I. V.): $A(n)$ gilt für ein $n \in \mathbb{N}$.
Induktionsschritt (I. S.): $A(n)$ gilt, also wird damit bewiesen, dass auch $A(n + 1)$ gilt.
Induktionsschluss: $A(n)$ gilt für alle $n \in \mathbb{N}$.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Induktionsbeweis der Potenzregel

Kann die vollständige Induktion immer zum Beweisen angewendet werden?
Kann jede Ableitungsregel bewiesen werden?
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sofatutor Team
Potenzregel bei Ableitungen – Beweis
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