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Was ist eine Ableitung?

Sei $f(x)$ eine Funktion. Wenn der Differentialquotient, der Grenzwert der Differenzenquotienten,

$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$

existiert, wird dieser als Ableitung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ bezeichnet.

Wenn eine Funktion für alle $x_0$ aus dem Definitionsbereich existiert, heißt $f(x)$ differenzierbar auf dem Definitionsbereich. Die erste Ableitung der Funktion $f(x)$ wird mit $f'(x)$ bezeichnet. Es gibt auch höhere Ableitungen:

  • die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung: $f''(x)$,
  • die dritte Ableitung als Ableitung der zweiten Ableitung: $f'''(x)$,
  • ...

An der Definition der Ableitung kannst du bereits erkennen, dass eine Funktion $f(x)$ in $x_0$ stetig sein muss.

Die Potenzregel bei Ableitungen

Beispiel 1

Für $f(x)=x^2$ erhältst du mit der obigen Definition

$\begin{array}{rcl} f'(x_0)&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{2x_0h+h^2}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{(2x_0+h)h}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}(2x_0+h)=2x_0 \end{array}$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2$ ist gegeben durch $f'(x)=2x$.

Beispiel 2

Für $f(x)=x^3$ erhältst du mit der obigen Definition

$\begin{array}{rcl} f'(x_0)&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3-x_0^3}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{3x_0^2h+3x_0h^2+h^3}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{(3x_0^2+3x_0h+h^2)h}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}(3x_0^2+3x_0h+h^2)=3x_0^2 \end{array}$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^3$ ist gegeben durch $f'(x)=3x^2$.

Erkennst du bereits eine Gemeinsamkeit?

Es gilt allgemein für eine Potenz $f(x)=x^n$ die Potenzregel

$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$

für jeden beliebigen reellen Exponenten $n$.

Das bedeutet, dass du eine Potenz ableitest, indem du den Exponenten als Faktor vorziehst und den Exponenten der Ableitung um $1$ verringerst.

Beispiele

  • $f(x)=x^7$ hat die Ableitung $f'(x)=7x^{7-1}=7x^6$.
  • Mit der Potenzregel kannst du auch Wurzelfunktionen ableiten: $f(x)=\sqrt x=x^{\frac12}$ hat die Ableitung $\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac1{2\sqrt x}$.
  • Du kannst auch die Hyperbelfunktion $f(x)=\frac1x$ ableiten. $f(x)=x^{-1}$, damit kannst du die Potenzregel anwenden: $f'(x)=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac1{x^2}$.
  • Die Ableitung einer Konstanten $f(x)=c=c\cdot x^0$ ist $f'(x)=c\cdot 0\cdot x^{-1}=0$.

Die Faktorregel bei Ableitungen

Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Ableiten herausgezogen werden kann:

$\left(k\cdot f(x)\right)'=k\cdot f'(x)$.

Nachweis der Faktorregel

Die Faktorregel kann mit Hilfe der obigen Definition des Differentialquotienten nachgewiesen werden:

$\begin{array}{rcl} \left(k\cdot f(x_0)\right)'&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{k\cdot f(x_0+h)-k\cdot f(x_0)}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{k\cdot (f(x_0+h)-f(x_0))}h\\\ &=&k\cdot\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\\\ &=&k\cdot f'(x_0) \end{array}$

Beispiele

  • $f(x)=3x^2$ hat die Ableitung $f'(x)=3\cdot\left(x^2\right)'=3\cdot 2x=6x$.
  • $f(x)=-2x^3$ hat die Ableitung $f'(x)=-2\cdot\left(x^3\right)'=-2\cdot 3x^2=-6x^2$.
  • $f(x)=\frac12x^4$ hat die Ableitung $f'(x)=\frac12\cdot\left(x^4\right)'=\frac12\cdot 4x^3=2x^3$.

Die Summenregel bei Ableitungen

Die Summenregel der Ableitung lautet

$\left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g(x)$.

Wenn du die Summe (die Differenz) zweier, oder auch mehrerer, Funktionen ableiten möchtest, kannst du jeden einzelnen Term ableiten und die Ableitungen dann addieren (subtrahieren).

Nachweis der Summenregel

Auch die Summenregel kannst du mit Hilfe des Differentialquotienten und durch die Anwendung der Grenzwertsätze nachweisen:

$\begin{array}{rcl} \left(f(x_0)+g(x_0)\right)'&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{(f(x_0+h)+g(x_0+h))-(f(x_0)+g(x_0))}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x)+g(x_0+h)-g(x_0)}h\\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h+\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}h\\\ &=&f'(x_0)+g'(x_0) \end{array}$

Beispiele

  • $f(x)=x^2-x$ hat die Ableitung: $f'(x)=(x^2)'+(-x)'=2x+(-1)=2x-1$
  • $f(x)=x^4+x^3+x^2$ hat die Ableitung $f'(x)=4x^3+3x^2+2x$.

Ableitungen von ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion hat die Form

$f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$

mit $a_n\neq 0$. Der Grad einer solchen Funktion ist der höchste Exponent, also $n$. Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vom Grad $n$ hat den Grad $n-1$.

Abschließend siehst du hier noch, Schritt für Schritt, die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vom Grad $3$, einer kubischen Funktion.

$f(x)=\frac12x^3-4x^2+3x$

  • Mit der Summenregel gilt

$\quad~~~f'(x)=\left(\frac12x^3\right)'-\left(4x^2\right)'+\left(3x\right)'$

  • Nun kannst du die Faktorregel verwenden:

$\quad~~~f'(x)=\frac12\left(x^3\right)'-4\left(x^2\right)'+3\left(x\right)'$

  • Zuletzt wendest du die Potenzregel an:

$\quad~~~\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\frac12\cdot 3x^2-4\cdot 2x+3\cdot 1\\\ &=&\frac32x^2-8x+3 \end{array}$

  • Wenn du diese Ableitung nochmals ableitest, erhältst du die zweite Ableitung:

$\quad~~~f''(x)=3x-8$

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