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Vollständige Induktion – Erklärung an der Gauß'schen Summenformel 06:57 min

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Transkript Vollständige Induktion – Erklärung an der Gauß'schen Summenformel

Carl Friedrich Gauß war seiner Zeit voraus. In der Schule hat er sich nur gelangweilt. Aber so etwas sah der Lehrer gar nicht gern. Damit Gauß beschäftigt war, sollte er alle Zahlen von 1 bis 100 addieren. Doch dafür musste Gauß nicht lange überlegen! Wie hat er das so schnell geschafft? Schauen wir uns doch einmal an, was Gauß sich da ausgedacht hat! Wir wollen alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100 addieren. Innerhalb der Addition ist die Reihenfolge egal wir können die Zahlen also auch paarweise zusammenfassen: 1 plus 100 ergibt zusammen 101. Und 2 plus 99 ergibt auch 101. 3 plus 98 ? ebenfalls 101! Das funktioniert so für alle diese Paare. Und wie viele Paare ergeben sich aus hundert Zahlen? Hundert Halbe - also 50! Also muss die Summe insgesamt 100 Halbe mal 101 ergeben und das ist 5050. Wir können dieses Produkt auch anders schreiben. Nämlich als den größten Summanden — also 100 — mal den 'größten Summanden plus 1' und das Ganze geteilt durch 2. Vielleicht können wir dieses Schema auch bei anderen Summen anwenden? Addieren wir mal die Zahlen von 1 bis 5! Das Ergebnis ist 15. Dann überprüfen wir, ob unsere Vermutung hier auch funktioniert. Wir multiplizieren also den größten Summanden, 5, mit 'fünf plus eins' und teilen durch 2. Zusammengefasst ergibt das 30 Halbe also 15 - stimmt! Ob diese Methode auch für die Summe aller natürlichen Zahlen bis hin zu einer BELIEBIGEN ZAHL n funktioniert? Das beweisen wir mit Hilfe der vollständigen Induktion. Dieser Ausdruck heißt "Summenzeichen". Er bedeutet, dass du für DIESES k alle Zahlen von 1 bis n einsetzen sollst und sie dann addierst. Laut der Gauß'schen Summenformel ist das das Gleiche wie n mal 'n plus 1' Halbe. Aussagen über alle natürlichen Zahlen kannst du mit der vollständigen Induktion beweisen. Dafür kannst du immer nach einem Muster vorgehen: Du beginnst mit dem Induktionsanfang:
Hier nimmst du deine erste Zahl - in der Regel die 1 - und prüfst dafür die Aussage. Wenn die Aussage für die erste Zahl stimmt, kommt als nächster Schritt die Induktionsannahme. Man nennt sie auch Induktionsvoraussetzung. Dabei nimmst du an, dass die Aussage für irgendeine natürliche Zahl n stimmt. Als nächstes kommt der Induktionsschritt. Dabei ist es das Ziel, aus A von n zu folgern, dass die Aussage auch für 'n plus 1', also den Nachfolger von n, gilt. Das ist der wichtigste und meistens auch schwierigste Teil. Du musst nämlich die Induktionsannahme an irgendeiner Stelle benutzen, sonst läuft etwas falsch. Aber wenn dir das gelingt, hast du es fast geschafft! Denn jetzt kommt der Induktionsschluss! Weil du im Induktionsanfang gezeigt hast, dass die Aussage für die erste Zahl stimmt und du im Induktionsschritt bewiesen hast, dass die Aussage immer auch für die nächste Zahl stimmt muss sie für alle natürlichen Zahlen gelten! Und damit ist dein Beweis fertig – man sagt: quod erat demonstrandum, also: was zu beweisen war! Nun möchten wir wissen, ob die Formel von Gauß stimmt und zwar für alle natürlichen Zahlen n: Im Induktionsanfang untersuchen wir die Aussage für n gleich 1. Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 1 muss natürlich 1 ergeben
und das erhalten wir auch mit der Formel. In der Induktionsannahme nehmen wir nun an, dass die Gauß'sche Summenformel für IRGENDEIN n gilt. Nun der Induktionsschritt: wir untersuchen wir die Aussage für die darauffolgende Zahl "n plus 1". Wir wollen also zeigen, dass die Summenformel auch für 'n plus 1' gilt also, dass wir überall 'n' durch 'n plus 1' ersetzen können und die Gleichung immer noch stimmt. Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis "n plus 1" besteht zum einen Teil aus der Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n und zusätzlich aus dem letzten Summanden "n plus 1" Den lassen wir erst einmal stehen. Kommt dir dieser Ausdruck bekannt vor? Laut der Induktionsannahme können wir ihn durch dieses Produkt ersetzen. Nun fassen wir noch geschickt zusammen: Wir bringen beide Terme auf einen Nenner, und fassen sie zu einem Bruch zusammen. Fällt dir etwas auf? Wir können "n plus 1" ausklammern!
Und weil 'n plus 2' natürlich 'n plus 1 plus 1' ist haben wir genau die gesuchte Form gefunden. Also ist der Induktionsschritt geschafft. Damit sagt der Induktionsschluss dass die Formel für alle natürlichen Zahlen gilt. QED! Fassen wir doch noch einmal zusammen: Mit der Vollständigen Induktion kannst du Aussagen über alle natürlichen Zahlen beweisen Im Induktionsanfang überprüfst du die Aussage für die erste Zahl. Für die Induktionsannahme nimmst du an, dass die Aussage für irgendeine natürliche Zahl n gilt. Im Induktionsschritt schließt du aus dieser Aussage über n auf die Aussage über die nachfolgende Zahl "n plus 1". Und damit kannst du im Induktionsschluss sicher sagen, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Du kannst dir das Vorgehen wie Dominosteine vorstellen: Wenn du den ersten Stein umwirfst, ist das der Induktionsanfang und dass jeder Stein den nächsten mitnimmt, entspricht dem Induktionsschritt und dass sie dann alle umfallen, ist der Induktionsschluss. Gauß war eben wirklich seiner Zeit voraus und sein Lehrer – der war völlig raus.