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Widerspruchsbeweise – Unendlichkeit der Primzahlen 05:47 min

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Transkript Widerspruchsbeweise – Unendlichkeit der Primzahlen

Was für ein prima Wetter! Euklid genießt einen Tag am Strand. Ob er über seine Primadonna nachdenkt? Oder die Primeln in seinem Garten? Nein, über Primzahlen! Gibt es davon so viele wie Sand am Meer oder vielleicht noch mehr? Unendlich viele Primzahlen gibt es sogar! Und das zeigen wir mit einem Widerspruchsbeweis. Wie funktioniert das nochmal mit diesen Primzahlen? Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch eins und durch sich selbst teilbar sind! Also zum Beispiel 2 oder 3, 4 aber nicht, 5 schon, 7 und 11 und so weiter. Und die 1 ist auch keine Primzahl. Um zu überprüfen, ob eine Zahl keine Primzahl ist, benutzt du die Primfaktorzerlegung: Du teilst die Zahl durch alle kleineren Primzahlen. Wenn es dabei keinen Rest gibt ist die Zahl teilbar durch diese Primzahl und damit selbst keine Primzahl. Aber wie können wir denn jetzt sicher sein, dass es unendlich viele Primzahlen gibt? Um wirklich etwas ohne Zweifel wissen zu können, benutzt man in der Mathematik Beweise. Und eine besondere Art des Beweises ist der Widerspruchsbeweis. Dazu rufen wir uns nochmal genau die Aussage ins Gedächtnis, die wir beweisen wollen nämlich, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Und anstatt das direkt zu beweisen, gehen wir beim Widerspruchsbeweis von der logischen Verneinung aus! Weil wir bei diesem Verfahren nicht direkt vorgehen, heißt es auch indirekter Beweis. Bei logischen Verneinungen muss man aufpassen: Die Verneinung muss wirklich alles enthalten, was nicht die ursprüngliche Aussage ist. Zum Beispiel ist die Verneinung der Aussage "heute scheint die Sonne" eben nicht so etwas wie "heute ist es bewölkt", sondern schlicht "heute scheint die Sonne nicht". Die logische Verneinung der Aussage "es gibt unendlich viele Primzahlen" lautet "es gibt nur endlich viele Primzahlen". Wir nennen diese verneinte Aussage dann "Gegenannahme". Die Idee dieses Beweisverfahrens ist es, nun von der Gegenannahme aus zu einem Widerspruch zu gelangen. Wenn wir mit korrekten Schlüssen einen Widerspruch finden, muss die Gegenannahme falsch sein. Und da unsere Gegenannahme ja die Verneinung unserer gewünschten Aussage war, muss die also stimmen. Okay, das klingt kompliziert wir versuchen es einfach mal! Also: die Gegenannahme lautet: es gibt nur endlich viele Primzahlen. Dann gibt es auch eine größte Primzahl! Die nennen wir P. Also können wir alle Primzahlen, die es gibt, in eine Liste packen die Liste kann sehr lang sein, aber sie endet mit P, der größten Primzahl. Was können wir mit dieser Liste anfangen? Wenn wir alle Primzahlen auf der Liste miteinander multiplizieren und dann noch 1 addieren was ist das für eine Zahl? Nennen wir sie doch mal Omega, das klingt schön ominös. Irgendwie müssen wir eine Eigenschaft von Primzahlen benutzen, bis jetzt haben wir sie ja nur aufgelistet. Versuchen wir's mal mit der Primfaktorzerlegung. Was sind denn die Primfaktoren von Omega? Wenn wir Omega durch 2 teilen, ist dieses Produkt durch 2 teilbar aber weil wir noch 1 addieren, haben wir einen Rest von 1. Wenn wir durch 3 teilen, ist das Produkt wieder durch 3 teilbar, und wegen "plus 1" haben wir wieder einen Rest von 1 und so weiter bis P – da ist wieder das Produkt durch P teilbar und es bleibt ein Rest von 1. Egal, durch welche der Primzahlen wir Omega teilen, immer bleibt ein Rest von 1. Also ist Omega durch keine einzige Primzahl teilbar! Na aber Moment mal! Entweder ist Omega dann selbst eine Primzahl, weil Omega durch keine einzige Primzahl teilbar ist. Oder Omega hat noch eine Primzahl als Teiler, die nicht zwischen 2 und P liegt, sondern zwischen P und Omega. Aber beides kann nicht stimmen, denn unsere Liste sollte alle Primzahlen enthalten. Und da waren wir uns wiederum sicher, denn sie besteht aus allen Primzahlen von 2 bis hin zu P, der größten Primzahl. Die Existenz der größten Primzahl P haben wir aus der Gegenannahme gefolgert, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt. Dann muss diese Gegenannahme also falsch gewesen sein! Und deshalb können wir schließen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt! Beweis fertig – q.e.d. Also nochmal im Überblick: wie funktioniert ein Widerspruchsbeweis? Zuerst müssen wir die Aussage, die wir beweisen wollen, logisch verneinen. Das ist dann unsere Gegenannahme. Aus ihr versuchen wir mit logisch richtigen Schritten zu einem Widerspruch zu gelangen. Wenn wir das schaffen, war die Gegenannahme falsch und deshalb muss die ursprüngliche Aussage wahr gewesen sein! Ein ziemlich mächtiges Verfahren ist das wenn du etwas beweisen musst und nicht direkt auf eine Idee kommst, versuchs mal indirekt! Euklids prima Stimmung wird leider etwas getrübt denn auch, wenn er jetzt sicher weiß, dass es unendlich viele Primzahlen gibt findet seine Primadonna es gar nicht prima, dass er den ganzen Tag faul am Strand lag. Zur Strafe verdonnert sie ihn, den Strand zu fegen sein Widerspruch wurde nicht akzeptiert!

1 Kommentar
  1. Default

    Ich finde es einfach nur toll
    DANKE

    Von Mousaalbakour 1975, vor etwa 2 Monaten