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Geometrische Beweise – Erklärung am Satz des Thales 05:49 min

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Transkript Geometrische Beweise – Erklärung am Satz des Thales

Thales war ein bewanderter Mann. Aber wirklich gepackt hat ihn nur eines: Errichtet man in einem Halbkreis ein Dreieck mit dem Durchmesser als Hypotenuse und dem dritten Punkt auf dem Kreisbogen, bilden diese beiden Seiten einen rechten Winkel. Doch warum ist das so? Um sich in Ruhe Gedanken darüber machen zu können, zog sich Thales an seinen liebsten Talsee zurück. Hier kamen ihm immer die besten Ideen. Und manchmal auch eine besondere Inspiration. Inspiration hilft immer, und besonders bei geometrischen Beweisen. Was Thales da beweisen will, kennen wir heute als den Satz des Thales. Der besagt: Hat man einen Halbkreis mit dem Durchmesser AB und ergänzt man irgendwo auf dem Halbkreis einen dritten Punkt C so bilden die Strecken AC und BC einen rechten Winkel bei C. Egal, wo C liegt – natürlich nicht auf A oder auf B. Egal, wie lang AB ist. Immer liegt bei C ein rechter Winkel. Und das wollen wir jetzt beweisen. Beweise sind in der Mathematik sehr wichtig: Nur durch einen Beweis kann man sich wirklich sicher sein, dass eine Aussage auch stimmt. Es gibt verschiedene Arten, etwas zu beweisen. Dabei ist das wichtigste Hilfsmittel immer die Logik! Aber in der Geometrie herrscht eine Regel: man darf nur zwei Werkzeuge benutzen: Einen Zirkel und ein Lineal ohne Längenangaben. Natürlich musst du dein Lineal jetzt nicht umtauschen – man darf einfach nichts messen: keine Längen, keine Flächen und auch keine Winkel. Stattdessen darf man konstruieren. Vielleicht entdeckt man etwas wieder, das man schon kennt oder man benutzt Symmetrie. Denn was Thales im Talsee sieht, hilft bei seinem Beweis: Wir fangen also beim Satz des Thales an und legen los mit der Konstruktion! Denk daran: wir wollen beweisen, dass DIESER Winkel hier ein rechter Winkel ist. Wegen der Symmetrie erweitern wir zunächst den Halbkreis auf einen ganzen Kreis. Dazu brauchen wir den Mittelpunkt der Strecke AB. Den finden wir, indem wir mit dem Zirkel einen Radius einstellen, der größer ist als die Hälfte der Strecke AB und dann ohne den Radius zu verändern Kreisbögen um A und um B zeichnen, die sich zweimal schneiden. Die Schnittpunkte verbinden wir mit dem Lineal. Wo diese Verbindung AB schneidet, liegt der Mittelpunkt - wir nennen ihn M. Dort stechen wir den Zirkel ein, stellen den Radius auf einen der Endpunkte ein, und vervollständigen den Kreis. Jetzt konstruieren wir eine Punktspiegelung von C am Mittelpunkt M. Wir zeichnen eine Gerade durch C und M. Dort, wo sie die untere Hälfte des Kreises schneidet, liegt der gespiegelte Punkt. Wir nennen ihn D. Fällt dir schon etwas auf? Wenn wir D mit A und mit B verbinden ergibt die Figur ADBC ein Parallelogramm. Sie ist deshalb ein Parallelogramm, weil diese beiden Seiten und diese beiden zueinander parallel sind – das folgt aus der Spiegelung. Es ist aber nicht irgendein Parallelogramm. Betrachten wir die Diagonalen AB und DC. Die sind beide Durchmesser des Kreises und damit gleich lang! Welches Parallelogramm hat gleich lange Diagonalen? ADBC ist ein Rechteck! Rechtecke sind toll, insbesondere, weil alle ihre Winkel rechte Winkel sind. Und damit muss auch der Winkel bei C ein rechter Winkel sein! Das ist genau, was wir beweisen wollten! Also, lass uns zusammenfassen, wie das mit den geometrischen Beweisen so funktioniert. Wie beim Beweis des Satz des Thales, muss man sich zunächst genau klar machen, was man eigentlich zeigen will – hier eben, dass DIESER Winkel immer ein rechter Winkel ist, egal, wo auf dem Kreisbogen C liegt. Dann benutzt man nur Zirkel, Lineal und seine Phantasie, um mit Hilfe von Symmetrie oder Ähnlichkeit etwas zu konstruieren, das uns weiterhilft. Wir haben den Kreis vervollständigt und dann D als Punktspiegelung von C am Mittelpunkt M konstruiert. Je mehr Eigenschaften von geometrischen Figuren man kennt, desto leichter fällt es, sie geschickt zu benutzen. Wir wussten zum Beispiel, dass diese Seiten parallel und die Diagonalen gleich lang sein mussten. Also war die konstruierte Figur ein Rechteck – und das hat in allen Ecken rechte Winkel. Manchmal muss man bei geometrischen Beweisen auch ein bisschen rechnen oder Verhältnisse bestimmen. Zum Beispiel beim Satz des Pythagoras. Immer aber ist es bei geometrischen Beweisen erlaubt, zu skizzieren, kreativ und neugierig zu sein. Dass die Bäume genau im richtigen Moment umgefallen sind war wirklich toTHALES Glück! Oder – etwa nicht?

Geometrische Beweise – Erklärung am Satz des Thales Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrische Beweise – Erklärung am Satz des Thales kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme, welche Aussagen auf den geometrischen Beweis zutreffen.

    Tipps

    Eine Theorie muss für alle Exemplare einer Figur wahr sein, nicht nur für ein Beispielexemplar.

    Es sind nur ein Zirkel und ein Lineal ohne Längenangaben als Hilfsmittel erlaubt.

    Lösung

    Folgende Aussagen über den geometrischen Beweis treffen zu:

    • Ein geometrischer Beweis beweist eine Behauptung mit Hilfe von Eigenschaften geometrischer Figuren und Logik.
    • Manchmal muss man bei einem geometrischen Beweis auch ein wenig rechnen oder Verhältnisse bestimmen.
    • Durch Symmetrie oder Ähnlichkeit konstruiert man etwas, das bei der Überprüfung der Behauptung weiterhilft.
    • Je mehr Eigenschaften von geometrischen Figuren man kennt, desto leichter ist es, sie bei einem geometrischen Beweis zu benutzen.

    Und diese Aussagen treffen nicht zu:

    • Bei einem geometrischen Beweis muss man unbedingt Längen, Flächen und Winkel messen.
    Im Gegenteil. Bei einem geometrischen Beweis darfst du überhaupt nichts messen. Nur Konstruieren ist erlaubt!
    • Bei einem geometrischen Beweis reicht es, die Behauptung an einem Beispiel zu testen, um sie als wahr zu bestätigen.
    Die Behauptung soll nicht nur auf ein Beispiel zutreffen, sondern auf alle möglichen Fälle der Figur, um die es in der Behauptung geht. Eine Behauptung, die von einem rechtwinkligen Dreieck handelt, muss also auf alle möglichen konstruierbaren rechtwinkligen Dreiecke zutreffen - deshalb ist es nicht ausreichend, sie durch ein Beispiel zu beweisen.

    Es ist aber sehr wohl möglich, eine Behauptung durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen. So könntest du die Behauptung „Alle Quadrate haben einen Flächeninhalt von $1\,\text{m}^2$.“ aufstellen. Doch dann muss dir nur ein einziges Quadrat gezeigt werden, das nicht diesen Flächeninhalt hat, und du weißt: Deine Behauptung ist falsch!

  • Gib wieder, was der Satz des Thales beschreibt.

    Tipps

    Zuerst beschreibt man die Ausgangsbedingungen, danach das Vorgehen.

    Lösung

    Davon handelt der Satz des Thales:

    Es ist ein Halbkreis gegeben. Den Durchmesser kann man zum Beispiel $\overline{AB}$ nennen. Man kann irgendwo auf dem Halbkreis einen Punkt $C$ einzeichnen, verbunden mit $A$ und $B$ wird sich immer ein rechtwinkliges Dreieck ergeben. $C$ darf aber nicht auf $A$ oder $B$ liegen.

  • Schildere, wie man den Satz des Thales geometrisch beweist.

    Tipps

    Eine Strecke wird immer nach ihrem Start- und Endpunkt benannt. Die Strecke zwischen den Punkten $X$ und $Y$ wäre also $\overline{XY}$ oder $\overline{YX}$.

    Lösung

    Die Behauptung, die zu beweisen ist, lautet: „Hat man einen Halbkreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ und ergänzt irgendwo auf dem Halbkreis einen dritten Punkt $C$, so bilden die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ einen rechten Winkel bei $C$, egal wo $C$ liegt, solange es nicht auf $A$ oder $B$ liegt.“
    Man kann hier Symmetrie benutzen, um das zu überprüfen. Dazu wird zunächst der Kreis vervollständigt.

    Um den Kreis zu vervollständigen, benötigt man den Mittelpunkt $M$. Den findet man, indem man Kreisbögen um $A$ und $B$ zeichnet, die sich zwei mal schneiden. Man verbindet diese Schnittpunkte und dort, wo die Gerade $\overline{AB}$ schneidet, liegt $M$.

    Man legt den Zirkel am Mittelpunkt an und stellt als Radius entweder $\overline{AM}$ oder $\overline{BM}$ ein. So vervollständigt man den Kreis. Mit Hilfe einer Punktspiegelung von $C$ an $M$ kann man dann den gegenüberliegenden Punkt $D$ bestimmen und die Gerade $\overline{CD}$ zeichnen.

    Verbindet man die vier Punkte, ergibt sich das Parallelogramm $ADBC$. Die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{DB}$ sowie $\overline{AD}$ und $\overline{CB}$ sind parallel zueinander. Außerdem sind die Diagonalen $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ gleich lang. Das bedeutet, dass $ADBC$ ein Rechteck ist.

    Da man jetzt weiß, dass hier ein Rechteck vorliegt, bezieht man weitere Eigenschaften eines Rechtecks in den Beweis ein. Zum Beispiel hat ein Rechteck $4$ rechte Winkel. Damit muss dann auch der Winkel bei $C$ ein rechter Winkel sein und der Satz des Thales ist somit bewiesen. Man sagt: "q.e.d."

  • Untersuche, ob die abgebildeten Flächen kongruent sind.

    Tipps

    Der Stufenwinkelsatz besagt: Wenn zwei parallele Geraden $x$ und $y$ von einer dritten Gerade $z$ geschnitten werden, so heißen die Winkel an den Parallelen, die die gleiche Lage haben, Stufenwinkel. Sie sind gleich groß.

    Schneidet eine Gerade $z$ zwei Parallelen $x$ und $y$, so heißen die Winkel, die an den Parallelen eine genau entgegengesetzte Lage haben, Wechselwinkel. Diese sind gleich groß.

    Der Kongruenzsatz WSW bezeichnet den Umstand, dass mehrere Dreiecke kongruent sind, wenn sie die gleiche Länge einer Seite und gleich große anliegende Winkel haben.

    Lösung
    1. Zuerst untersuchen wir, ob die gelben Flächen ein Kongruenzverhältnis haben.
    2. Der Winkel des unteren Dreiecks bei $A$ sowie der Winkel des oberen Dreiecks bei $M$ sind Stufenwinkel und damit gleich groß. Dasselbe gilt für den Winkel des unteren Dreiecks bei $M$ und den Winkel des oberen Dreiecks bei $C$.
    3. Und da $M$ die Strecke $\overline{AC}$ genau in der Mitte teilt, müssen $\overline{AM}$ und $\overline{CM}$ gleich lang sein. Nach dem Kongruenzsatz WSW ist damit die Kongruenz der beiden gelben Dreiecke bewiesen.
    4. Nun wird die rote Fläche untersucht: da die Strecken $\overline{MD}$ und $\overline{EB}$ sowie $\overline{ME}$ und $\overline{DB}$ parallel sind, ist das rote Viereck $DBEM$ ein Parallelogramm.
    5. Das bedeutet, dass die beiden im Parallelogramm enthaltenen roten Dreiecke kongruent sind, da diese Dreiecke eine gemeinsame Seite und gleiche Wechselwinkel an parallelen Geraden besitzen.
    6. Jetzt soll die Kongruenz von einem gelben und einem roten Dreieck nachgewiesen werden. Hier kann man nach dem Wechselwinkelsatz schlussfolgern, dass die Dreiecke $ADM$ und $EBD$ kongruent sind.
    7. Daraus folgt, dass alle vier Dreiecke kongruent sind.
    8. Weil die gelbe Fläche aus zwei Dreiecken besteht und auch die rote Fläche aus zwei Dreiecken besteht, sind die gelbe und die rote Fläche gleich groß, q.e.d.
  • Entscheide, welche Eigenschaft zu welcher geometrischen Figur bzw. welchem Gesetz gehört.

    Tipps

    Ein Viereck hat immer eine Innenwinkelsumme von $360^\circ$.

    Eine Raute hat vier gleich lange Seiten.

    Lösung

    Die Summe der Innenwinkel beträgt immer $180^\circ$.
    $\rightarrow$ Dreieck

    Ein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleich groß. Eine Diagonale wird durch die andere halbiert.
    $\rightarrow$ Drachen

    Alle Winkel sind rechtwinklig und alle Seiten gleich lang.
    $\rightarrow$ Quadrat

    Mehrere Figuren sind deckungsgleich, sie stimmen in Form und Größe überein.
    $\rightarrow$ Kongruenz

    Diese Figur berührt jede Seite eines Vielecks von innen genau ein Mal.
    $\rightarrow$ Inkreis

  • Prüfe den Satz des Pythagoras mit Hilfe eines geometrischen Beweises.

    Tipps

    Die Hypothenuse ist die längste Seite eines Dreiecks.

    Wenn zwei Figuren kongruent sind, bedeutet das anschaulich Folgendes: Du kannst sie mit der Schere ausschneiden und dann so übereinanderlegen, dass sie genau aufeinander passen, ohne dass eine Figur an den Seiten übersteht. Umgangssprachlich sind sie also „gleich groß“ bzw. einfach „gleich“.

    Lösung

    Gegeben ist dieses rechtwinklige Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ sowie der Hypothenuse $c$.

    Zunächst wird versucht, das Hypothenusenquadrat $c^2$ zu einem großen Quadrat zu ergänzen. Dazu werden $4$ Dreiecke verwendet, die kongruent sind zum Ausgangsdreiecks. Man kann sehen, dass so ein neues, größeres Quadrat entsteht.

    Nun nimmt man die beiden Kathetenquadrate $a^2$ und $b^2$ und versucht ebenfalls, diese zu einem großen Quadrat zu ergänzen. Dazu verwendet man auch $4$ Dreiecke, die kongruent zum Ausgangsdreieck sind. $a^2$ und $b^2$ lassen sich auf diese Weise ebenso zu einem neuen, größeren Quadrat ergänzen.

    Was lässt sich daraus schließen?
    In der ersten Figur ergänzt sich die orange Fläche mit der grünen Fläche zu einem Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$. Und in der zweiten Figur ergeben die orange Fläche mit der roten und blauen Fläche dasselbe Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$.
    Da die orange Fläche in beiden Figuren gleich groß ist, bedeutet: Die grüne Fläche muss genauso groß sein wie die rote und blaue Fläche zusammen.
    Damit ist der Satz des Pythagoras bewiesen. q.e.d.