30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1) 09:37 min

Textversion des Videos

Transkript Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1)

Hallo, mein Name ist Frank und ich werde in diesem Video eine Kurvendiskussion anhand einer Exponentialfunktion erklären. Die Punkte der Kurvendiskussion sind hier rechts angeschrieben. Dafür betrachte ich eine Funktion fa(x)=ex×(x + a) Das ist eine Kurvenschar mit den Scharparametern: a. Zu den Ableitungen: Die erste Ableitung führe ich jetzt hier mal vor: fa'(x)= ex×(x+a) + ex×1. Da kann ich jetzt ex ausklammern und erhalte: ex×(x + a + 1). Das schreibe ich nochmal hier auf: fa'(x)=ex×(x + a + 1) Ebenso erhalte ich die zweite Ableitung: fa'‘(x)=ex×(x + a + 3) und die dritte Ableitung: fa'‘‘(x)=ex×(x + a + 3). Dann komme ich im Folgenden zu den Achsenschnittpunkten. Da wären zuerst die Nullstellen: fa(x)=0 . Ich übernehme die Funktion: ex×(x + a)=0. Der Faktor wird ex wird nie null, also erhalte ich die Nullstelle: x = -a. Also Nullstelle N(-a|0). Der y-Achsenschnittpunkt, den bekommen wir dadurch, dass wir für x=0 einsetzen: fa(0)=e0×(0 + a) = a. Der Y-Achsenschnittpunkt Y(0|a). Nun komme ich zu den Extrema. Für die Extrema untersuche ich zuerst das notwendige Kriterium: (n) fa'(xE)=0 Ich übernehme auch hier die erste Ableitung: exE×(xE + a + 1). Wieder e hoch wird nicht null, also kann nur der andere Term null werden. Ich erhalte: xE = -a-1 Ob das jetzt ein Extrem ist, kommen wir, kommen wir durch das hinreichende Kriterium, setzte also –a-1 in die nächste Ableitung ein: (h) fa'‘(-a - 1)=e-a - 1 > 0 .Das ist ungleich null, insbesondere größer null. Die y-Koordinate erhalten wir durch einsetzen der Funktion. Also haben wir einen Tiefpunkt: TP(-a - 1|-e-a - 1) Damit haben wir den Tiefpunkt und werden uns im Folgenden die Wendepunkte anschauen. Nachdem wir die ersten Punkte “Ableitungen”, “Achsenschnittpunkte” und “Extrema” schon fertig haben, schauen wir uns jetzt die Wendepunkte an. Bei den Wendepunkten muss notwendigerweise gelten, die zweite Ableitung an der Stelle xw ist gleich null: (n) fa'‘(xw) = 0, Ich übernehme die zweite Ableitung: exw×(xw + a + 2) = 0.Wider exw wird nie null, das heißt: xw = -a - 2. Nun brauche ich noch das hinreichende Kriterium, um zu sehen, dass es wirklich ein Wendepunkt ist. Ich setze also -a - 2 in die dritte Ableitung ein. Da kommt also raus: (h) fa’’’(-a-2)=e-a - 2 und wenn ich hier x = -a - 2 einsetze bekomme ich 1. Also das ist ungleich 0. Wir haben also einen Wendepunkt gefunden. Die y-Koordinate bekommen wir in dem wir das -a - 2 in der Funktionsvorschrift einsetzen: WP (-a - 2/-2e-a - 2) Damit haben wir auch die Wendepunkte. Und jetzt schaue ich mir das Grenzwertverhalten an. Einmal betrachte ich den Grenzwert: limx->∞ fa(x) und einmal limx->-∞ fa(x). Wenn ich für x in der Funktion immer größere Werte einsetze, geht beides gegen unendlich, ich bekomme also insgesamt unendlich: limx->∞ fa(x)=“∞“ und wenn ich immer größere negative Werte einsetze geht die Funktion gegen null: limx->-∞ fa(x) = 0. Nachdem ich auch die Grenzwerte fertig habe, komme ich im Folgenden zur Skizze. So, nachdem wir diese Punkte alle betrachtet haben, komme ich sozusagen als krönender Abschluss einer Kurvendiskussion. Hier haben wir dann noch den besonderen Fall einer Kurvenschar, das heißt ich werde jetzt den Verlauf der Funktion für verschiedene Scharparameter a zeichnen. Dabei beginne ich bei a = null. Und du kannst dir der Einfachheit halber immer die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt anschauen. Für a = null stimmen die beiden überein. Das heißt die liegen im Koordinatenursprung und die Funktion hat diesen Verlauf. Was du hier schon sehen kannst, ist das Grenzwertverhalten. limx->-∞ fa(x) = 0. Also hier. limx->∞ fa(x)=“∞“, also hier. Nun schaue ich mir den Parameter a = 1 an. Wäre die Nullstelle (-1|0), also da. Und der y-Achsenabschnitt (0|1) also da. Der Verlauf der Funktion ist dann so. Zu guter Letzt schaue ich mir noch einen negativen Parameter an, also a = -1. Die Nullstelle wäre (1|0) und der y-Achsenabschnitt (0|-1). Das ist auch gleichzeitig der Tiefpunkt dieser Funktion. Wir haben also diesen Verlauf. Ich fasse noch einmal kurz zusammen. In diesem Video habe ich eine Kurvendiskussion mit einer Exponentialfunktion durchgeführt. Die einzelnen Punkte der Kurvendiskussion siehst du hier rechts. Und habe insbesondere, da wir hier eine Kurvenschar haben, den Verlauf in Abhängigkeit des Parameters hier nochmal. Ich hoffe, du konntest alles gut verstehen. Danke dir für deine Aufmerksamkeit und bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

1 Kommentar
  1. Bestens erklärt. Dankeschön ; )

    Von Lukaskrieger00, vor 11 Monaten

Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen bei einer Kurvendiskussion.

    Tipps

    Es müssen dreimal Nullstellen berechnet werden:

    • die der Funktion,
    • die der 1. Ableitung, für die Extrema, und
    • die der 2. Ableitung, für die Wendepunkte.

    Wenn die 1. Ableitung $0$ ist, heißt dies nur, dass eine waagerechte Tangente an der entsprechenden Stelle vorliegt. Es muss noch kein Extremum sein.

    Auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente.

    Beachte, dass die Kriterien bei den Extrema und Wendepunkten sehr ähnlich aussehen.

    Lösung

    Bei einer Kurvendiskussion müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden. Die Reihenfolge kann dabei verändert werden, wobei die Ableitungen für die Extrema und Wendepunkte benötigt werden.

    1. Zunächst werden die ersten drei Ableitungen benötigt.
    2. Der Graph der Funktion kann die y-Achse in einem Punkt schneiden, dem y-Achsenschnittpunkt. Diesen erhält man, indem man $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzt. Es kann mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse geben, die Nullstellen. Dafür muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.
    3. Extrema: Es sind zwei Kriterien zu untersuchen: (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$. Dabei steht „(n)“ für notwendig und „(h)“ für hinreichend.
    4. Wendepunkte: Es sind zwei Kriterien zu untersuchen: (n) $f''(x_W)=0$ und (h) $f'''(x_W)\neq0$.
    5. Die Grenzwerte der Funktion für $x \to ±\infty$ werden berechnet.
    6. Zu guter Letzt kann der Graph der Funktion mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse und gegebenenfalls ergänzend einer Wertetabelle skizziert werden.

  • Bestimme den Wendepunkt der Funktion.

    Tipps

    „notwendiges“ Kriterium $f''(x_W)=0$ für Wendepunkte bedeutet,

    • dass, sofern dieses Kriterium nicht erfüllt ist, keine Wendepunkte vorhanden sind.
    • wenn das Kriterium erfüllt ist, muss noch das hinreichende Kriterium $f'''(x_W)\neq 0$ untersucht werden.

    Das notwendige Kriterium ist immer das Lösen einer Gleichung (hier $f''(x)=0$); das hinreichende das Einsetzen der Lösung(en) dieser Gleichung in die 3. Ableitung.

    Um den Wendepunkt anzugeben, muss noch zu der x-Koordinate die y-Koordinate durch Einsetzen in der Funktionsgleichung berechnet werden.

    Lösung

    Wendepunkte müssen die notwendige Bedingung $f''(x_W)=0$ und die hinreichende Bedingung $f'''(x_W)\neq0$ erfüllen. Wir berechnen:

    $\begin{align*} &&f''_a(x_W)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^{x_W}(x_W+a+2)&=0 &|&~e^{x_W}\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x_W+a+2&=0 &|&~-a-2\\ &\Leftrightarrow&x_W&=-a-2. \end{align*}$

    Einsetzen von $x_W=-a-2$ in $f'''_a(-a-2)=e^{-a-2}\neq0$ ergibt, dass auch die notwendige Bedingung erfüllt ist.

    Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $-a-2$ in die Funktionsgleichung $f_a(x)$. Dies führt zum Wendepunkt $WP(-a-2|-2e^{-a-2})$.

  • Gib den y-Achsenschnittpunkt, die Nullstelle, den Extrem- und den Grenzwert für $x\to \infty$ der Funktion an.

    Tipps

    Der y-Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse, also ist die x-Koordinate dieses Punktes $0$.

    Die Nullstelle liegt auf der x-Achse, also ist die y-Koordinate dieses Punktes $0$.

    Für Extrema gilt

    • (notwendig) $f'(x_E)=0$ und
    • (hinreichend) $f''(x_E)\neq 0$.

    Für Wendepunkte gilt

    • (notwendig) $f''(x_W)=0$ und
    • (hinreichend) $f'''(x_W)\neq 0$.

    Lösung

    Wir wollen die Achsenschnittpunkte, die Extrema und das Grenzverhalten der Funktionsschar $f_a(x)=e^x\cdot (x+a)$ berechnen.

    • y-Achsenschnittpunkt: Es muss $x=0$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden: $y=e^0(0+a)=a$, also $Y(0|a)$.
    • Nullstelle: Es muss die Gleichung $f_a(x)=0$ gelöst werden.
    $\begin{align*} &&f_a(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^x(x+a)&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x+a&=0 &|&~-a\\ &\Leftrightarrow&x&=-a. \end{align*}$

    Also $N(-a|0)$.

    • Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$.
    $\begin{align*} &&f'_a(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^x(x+a+1)&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x+a+1&=0 &|&~-a-1\\ &\Leftrightarrow&x_E&=-a-1. \end{align*}$

    Einsetzen von $x_E=-a-1$ in

    • $f''_a(-a-1)=e^{-a-1}>0$
    • führt zu $TP(-a-1|-e^{-a-1})$. Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $-a-1$ in der Funktionsgleichung $f_a(x)$.
    • Der Grenzwert kann zum Beispiel durch Testeinsetzen berechnet werden. Das heißt man setzt immer größere positive $x$ in der Funktionsgleichung ein und stellt eine Vermutung über den Grenzwert (zum Beispiel für $a=1$, der Grenzwert ist für alle $a$ gleich) an:
    $\begin{array}{l|c|c|c} x& 10&100&\rightarrow \infty\\ \hline f(x)&242291,12…&2,71…\cdot 10^{45}&\rightarrow \infty \end{array}$

    Es liegt der uneigentliche Grenzwert, „$+\infty$“, vor.

  • Entscheide, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört.

    Tipps

    Der y-Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse, also ist $x=0$.

    Für die Schnittpunkte mit der x-Achse gilt $y=0$.

    Für Extrema müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

    • (n) $f'(x_E)=0$
    • (h) $f''(x_E)\neq 0$.
    • Bei Tiefpunkten gilt $f''(x_E)>0$ und bei Hochpunkten $f''(x_E)<0$.
    • Angabe des Extrempuntkes $E(x_E|f(x_E))$.

    Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen.

    Lösung

    Der rote Funktionsgraph besitzt den y-Achsenschnittpunkt $Y(0|3)$ und den x-Achsenschnittpunkt $N(-1,5|0)$. Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen: Die zugehörige Funktion lautet $f(x)=(2x+3)e^x$.

    Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt. Dies erhält man mit der Produktregel:

    $\begin{align*} f'(x)&=2e^x+(2x+3)e^x\\ &=(2x+5)e^x\\ f''(x)&=2e^x+(2x+5)e^x\\ &=(2x+7)e^x. \end{align*}$

    Für Extrema muss die 1. Ableitung $0$ sein:

    $\begin{align*} (2x+5)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ 2x+5&=0 &|&~-5~ |~:2\\ x_E&=-2,5. \end{align*}$

    Dieses $x$ wird in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und um welches. Dann wird $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und man erhält:

    • $TP(-2,5|-0,16)$.
    Da der blaue Funktionsgraph zwei Nullstellen besitzt, muss das entsprechende Polynom, welches ein Faktor der Funktion ist, mindestens quadratisch sein. Der y-Achsenschnittpunkt ist $Y(0|-1)$ und x-Achsenschnittpunkte sind $N_1(-1|0)$ sowie $N_2(1|0)$.

    Die einzige Funktion, die dies erfüllt ist $g(x)=(x^2-1)e^x$.

    Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt. Dies erhält man mit der Produktregel:

    $\begin{align*} f'(x)&=2xe^x+(x^2-1)e^x\\ &=(x^2+2x-1)e^x\\ f''(x)&=(2x+2)e^x+(x^2+2x-1)e^x\\ &=(x^2+4x+1)e^x. \end{align*}$

    Für Extrema muss die 1. Ableitung $0$ sein:

    $\begin{align*} (x^2+2x-1)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ x^2+2x-1&=0 &|&~\text{p-q-Formel}\\ x_{E1}&=-1+\sqrt2≈0,41\\ x_{E2}&=-1-\sqrt2≈-3,41. \end{align*}$

    Beide $x$ werden in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um Extrema handelt und um welche. Dann werden die $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und man erhält:

    • $TP(0,41|-1,25)$ sowie $HP(-2,41|0,43)$.

  • Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Zur Ableitung eines Produktes zweier Funktionen wird die Produktregel angewendet:

    $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

    oder in der Kurzschreibweise $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u \cdot v'$.

    Für die Exponentialfunktion $e^x$ gilt $(e^x)'=e^x$.

    Da beim Anwenden der Produktregel zum Beispiel auf die Funktion $f(x)=x e^x$ der zweite Faktor sowohl als Funktion als auch als Ableitung erhalten bleibt, kann dieser ausgeklammert werden:

    $\begin{align*} (x e^x)'&=1 e^x+xe^x\\ &=(1+x)e^x\\ &=(x+1)e^x. \end{align*}$

    Ebenso kann in der 2. und 3. Ableitung der Faktor $e^x$ ausgeklammert werden.

    Die 2. Ableitung ist die Ableitung der 1. Ableitung.

    Die 3. Ableitung ist die Ableitung der 2. Ableitung.

    Lösung

    Zur Berechnung der 1. Ableitung wird

    • zum einen die Produktregel $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u \cdot v'$ und
    • zum anderen $(e^x)'=e^x$ sowie $(x^2)'=2x$ verwendet.
    $\begin{align*} f'(x)&=2x e^x+x^2 e^x\\ &=(2x+x^2)e^x\\ &=(x^2+2x)e^x. \end{align*}$

    Dabei wurde der Faktor $e^x$ ausgeklammert.

    Ebenso können die 2. und 3. Ableitung berechnet werden.

    $\begin{align*} f''(x)&=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x\\ &=(2x+2+x^2+2x)e^x\\ &=(x^2+4x+2)e^x. \end{align*}$

    $\begin{align*} f'''(x)&=(2x+4)e^x+(x^2+4x+2)e^x\\ &=(2x+4+x^2+4x+2)e^x\\ &=(x^2+6x+6)e^x. \end{align*}$

  • Ermittle die Schnittpunkte mit der x-Achse und die Extrem- und Wendepunkte der Funktion.

    Tipps

    Die ersten drei Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f'(x)&=(x^2+2x)e^x\\ f''(x)&=(x^2+4x+2)e^x \\ f'''(x)&=(x^2+6x+6)e^x \end{align*}$

    Für Extrema müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

    • (n) $f'(x_E)=0$
    • (h) $f''(x_E)\neq 0$.
    • Für $f''(x_E)>0$ haben wir einen Tiefpunkt und für $f''(x_E)<0$ einen Hochpunkt.
    • Angabe des Extrempunktes $E(x_E|f(x_E))$.

    Für Wendepunkte müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

    • (n) $f''(x_W)=0$
    • (h) $f'''(x_W)\neq 0$.
    • Angabe des Wendepunktes $WP(x_W|f(x_W))$.

    Es gilt $e^{-2}\approx 0,13533 \approx 0,14$ und $\sqrt{2}\approx 1,41421 \approx 1,41$.

    Lösung

    Die ersten drei Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f'(x)&=(x^2+2x)e^x\\ f''(x)&=(x^2+4x+2)e^x \\ f'''(x)&=(x^2+6x+6)e^x \end{align*}$

    Zunächst werden die Nullstellen berechnet. Es muss gelten

    $\begin{align*} &&f(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&x^2e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2&=0 &|&~\sqrt{}\\ &\Leftrightarrow&x&=0. &\end{align*}$

    Die Nullstelle ist $x=0$ und somit ist der Schnittpunkt mit der x-Achse $N(0|0)$.

    Sowohl für die Extrema als auch für Wendepunkte müssen jeweils ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium untersucht werden:

    • Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$.
    $\begin{align*} &&f'(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&(x^2+2x)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2+2x&=0\\ &\Leftrightarrow&x(x+2)&=0\\ &\Leftrightarrow&x&=0\\ &\qquad \qquad \text{oder} &x&=-2. &\end{align*}$

    Jede dieser beiden x-Koordinaten muss in die 1. Ableitung eingesetzt werden:

    $\mathbf{x_{E1}=0}$: $f''(0)=2e^0=2>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate ist $0$. Also ist $TP(0|0)$ ein Tiefpunkt.

    $\mathbf{x_{E2}=-2}$: $f''(-2)=((-2)^2+2 4\cdot(-2)+2)e^{-2}=-2e^{-2}<0$. Es liegt also ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=(-2)^2e^{-2}≈0,54$. Also ist $HP(-2|0,54)$ ein Hochpunkt.

    • Wendepunkte: Der Ansatz lautet (n) $f''(x_W)=0$ und (h) $f'''(x_W)\neq0$.
    $\begin{align*} &&f''(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&(x^2+4x+2)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2+4x+2&=0\\ &\Leftrightarrow&x_{1/2}&=-\frac42±\sqrt{\left(\frac42\right)^2-2}\\ &\Leftrightarrow &x_{W1}&=-2+\sqrt{2}≈-0,59\\ &&x_{W2}&=-2-\sqrt{2}≈-3,41. \end{align*}$

    Jede dieser beiden x-Koordinaten muss in die 3. Ableitung eingesetzt werden:

    • $\mathbf{x_{W1}=-0,59}$: $f'''(-0,59)≈1,56\neq0$. Es liegt also ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen von $x=-0,59$ in der Funktionsgleichung. Der erste Wendepunkt ist $WP_1(-0,59|0,19)$.
    • $\mathbf{x_{W2}=-3,41}$: $f'''(-3,41)≈-0,09\neq0$. Auch hier liegt also ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ergibt sich wieder durch Einsetzen von $x=-3,41$ in der Funktionsgleichung. Der zweite Wendepunkt ist $WP_2(-3,41|0,38)$.