Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1)

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.1 / 25 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Frank Steiger
Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen bei einer Kurvendiskussion.

    Tipps

    Es müssen dreimal Nullstellen berechnet werden:

    • die der Funktion,
    • die der 1. Ableitung, für die Extrema, und
    • die der 2. Ableitung, für die Wendepunkte.

    Wenn die 1. Ableitung $0$ ist, heißt dies nur, dass eine waagerechte Tangente an der entsprechenden Stelle vorliegt. Es muss noch kein Extremum sein.

    Auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente.

    Beachte, dass die Kriterien bei den Extrema und Wendepunkten sehr ähnlich aussehen.

    Lösung

    Bei einer Kurvendiskussion müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden. Die Reihenfolge kann dabei verändert werden, wobei die Ableitungen für die Extrema und Wendepunkte benötigt werden.

    1. Zunächst werden die ersten drei Ableitungen benötigt.
    2. Der Graph der Funktion kann die y-Achse in einem Punkt schneiden, dem y-Achsenschnittpunkt. Diesen erhält man, indem man $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzt. Es kann mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse geben, die Nullstellen. Dafür muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.
    3. Extrema: Es sind zwei Kriterien zu untersuchen: (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$. Dabei steht „(n)“ für notwendig und „(h)“ für hinreichend.
    4. Wendepunkte: Es sind zwei Kriterien zu untersuchen: (n) $f''(x_W)=0$ und (h) $f'''(x_W)\neq0$.
    5. Die Grenzwerte der Funktion für $x \to ±\infty$ werden berechnet.
    6. Zu guter Letzt kann der Graph der Funktion mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse und gegebenenfalls ergänzend einer Wertetabelle skizziert werden.

  • Gib den y-Achsenschnittpunkt, die Nullstelle, den Extrem- und den Grenzwert für $x\to \infty$ der Funktion an.

    Tipps

    Der y-Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse, also ist die x-Koordinate dieses Punktes $0$.

    Die Nullstelle liegt auf der x-Achse, also ist die y-Koordinate dieses Punktes $0$.

    Für Extrema gilt

    • (notwendig) $f'(x_E)=0$ und
    • (hinreichend) $f''(x_E)\neq 0$.

    Für Wendepunkte gilt

    • (notwendig) $f''(x_W)=0$ und
    • (hinreichend) $f'''(x_W)\neq 0$.

    Lösung

    Wir wollen die Achsenschnittpunkte, die Extrema und das Grenzverhalten der Funktionsschar $f_a(x)=e^x\cdot (x+a)$ berechnen.

    • y-Achsenschnittpunkt: Es muss $x=0$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden: $y=e^0(0+a)=a$, also $Y(0|a)$.
    • Nullstelle: Es muss die Gleichung $f_a(x)=0$ gelöst werden.
    $\begin{align*} &&f_a(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^x(x+a)&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x+a&=0 &|&~-a\\ &\Leftrightarrow&x&=-a. \end{align*}$

    Also $N(-a|0)$.

    • Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$.
    $\begin{align*} &&f'_a(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^x(x+a+1)&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x+a+1&=0 &|&~-a-1\\ &\Leftrightarrow&x_E&=-a-1. \end{align*}$

    Einsetzen von $x_E=-a-1$ in

    • $f''_a(-a-1)=e^{-a-1}>0$
    • führt zu $TP(-a-1|-e^{-a-1})$. Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $-a-1$ in der Funktionsgleichung $f_a(x)$.
    • Der Grenzwert kann zum Beispiel durch Testeinsetzen berechnet werden. Das heißt man setzt immer größere positive $x$ in der Funktionsgleichung ein und stellt eine Vermutung über den Grenzwert (zum Beispiel für $a=1$, der Grenzwert ist für alle $a$ gleich) an:
    $\begin{array}{l|c|c|c} x& 10&100&\rightarrow \infty\\ \hline f(x)&242291,12…&2,71…\cdot 10^{45}&\rightarrow \infty \end{array}$

    Es liegt der uneigentliche Grenzwert, „$+\infty$“, vor.

  • Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Zur Ableitung eines Produktes zweier Funktionen wird die Produktregel angewendet:

    $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

    oder in der Kurzschreibweise $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u \cdot v'$.

    Für die Exponentialfunktion $e^x$ gilt $(e^x)'=e^x$.

    Da beim Anwenden der Produktregel zum Beispiel auf die Funktion $f(x)=x e^x$ der zweite Faktor sowohl als Funktion als auch als Ableitung erhalten bleibt, kann dieser ausgeklammert werden:

    $\begin{align*} (x e^x)'&=1 e^x+xe^x\\ &=(1+x)e^x\\ &=(x+1)e^x. \end{align*}$

    Ebenso kann in der 2. und 3. Ableitung der Faktor $e^x$ ausgeklammert werden.

    Die 2. Ableitung ist die Ableitung der 1. Ableitung.

    Die 3. Ableitung ist die Ableitung der 2. Ableitung.

    Lösung

    Zur Berechnung der 1. Ableitung wird

    • zum einen die Produktregel $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u \cdot v'$ und
    • zum anderen $(e^x)'=e^x$ sowie $(x^2)'=2x$ verwendet.
    $\begin{align*} f'(x)&=2x e^x+x^2 e^x\\ &=(2x+x^2)e^x\\ &=(x^2+2x)e^x. \end{align*}$

    Dabei wurde der Faktor $e^x$ ausgeklammert.

    Ebenso können die 2. und 3. Ableitung berechnet werden.

    $\begin{align*} f''(x)&=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x\\ &=(2x+2+x^2+2x)e^x\\ &=(x^2+4x+2)e^x. \end{align*}$

    $\begin{align*} f'''(x)&=(2x+4)e^x+(x^2+4x+2)e^x\\ &=(2x+4+x^2+4x+2)e^x\\ &=(x^2+6x+6)e^x. \end{align*}$

  • Ermittle die Schnittpunkte mit der x-Achse und die Extrem- und Wendepunkte der Funktion.

    Tipps

    Die ersten drei Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f'(x)&=(x^2+2x)e^x\\ f''(x)&=(x^2+4x+2)e^x \\ f'''(x)&=(x^2+6x+6)e^x \end{align*}$

    Für Extrema müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

    • (n) $f'(x_E)=0$
    • (h) $f''(x_E)\neq 0$.
    • Für $f''(x_E)>0$ haben wir einen Tiefpunkt und für $f''(x_E)<0$ einen Hochpunkt.
    • Angabe des Extrempunktes $E(x_E|f(x_E))$.

    Für Wendepunkte müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

    • (n) $f''(x_W)=0$
    • (h) $f'''(x_W)\neq 0$.
    • Angabe des Wendepunktes $WP(x_W|f(x_W))$.

    Es gilt $e^{-2}\approx 0,13533 \approx 0,14$ und $\sqrt{2}\approx 1,41421 \approx 1,41$.

    Lösung

    Die ersten drei Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f'(x)&=(x^2+2x)e^x\\ f''(x)&=(x^2+4x+2)e^x \\ f'''(x)&=(x^2+6x+6)e^x \end{align*}$

    Zunächst werden die Nullstellen berechnet. Es muss gelten

    $\begin{align*} &&f(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&x^2e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2&=0 &|&~\sqrt{}\\ &\Leftrightarrow&x&=0. &\end{align*}$

    Die Nullstelle ist $x=0$ und somit ist der Schnittpunkt mit der x-Achse $N(0|0)$.

    Sowohl für die Extrema als auch für Wendepunkte müssen jeweils ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium untersucht werden:

    • Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$.
    $\begin{align*} &&f'(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&(x^2+2x)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2+2x&=0\\ &\Leftrightarrow&x(x+2)&=0\\ &\Leftrightarrow&x&=0\\ &\qquad \qquad \text{oder} &x&=-2. &\end{align*}$

    Jede dieser beiden x-Koordinaten muss in die 1. Ableitung eingesetzt werden:

    $\mathbf{x_{E1}=0}$: $f''(0)=2e^0=2>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate ist $0$. Also ist $TP(0|0)$ ein Tiefpunkt.

    $\mathbf{x_{E2}=-2}$: $f''(-2)=((-2)^2+2 4\cdot(-2)+2)e^{-2}=-2e^{-2}<0$. Es liegt also ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=(-2)^2e^{-2}≈0,54$. Also ist $HP(-2|0,54)$ ein Hochpunkt.

    • Wendepunkte: Der Ansatz lautet (n) $f''(x_W)=0$ und (h) $f'''(x_W)\neq0$.
    $\begin{align*} &&f''(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&(x^2+4x+2)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2+4x+2&=0\\ &\Leftrightarrow&x_{1/2}&=-\frac42±\sqrt{\left(\frac42\right)^2-2}\\ &\Leftrightarrow &x_{W1}&=-2+\sqrt{2}≈-0,59\\ &&x_{W2}&=-2-\sqrt{2}≈-3,41. \end{align*}$

    Jede dieser beiden x-Koordinaten muss in die 3. Ableitung eingesetzt werden:

    • $\mathbf{x_{W1}=-0,59}$: $f'''(-0,59)≈1,56\neq0$. Es liegt also ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen von $x=-0,59$ in der Funktionsgleichung. Der erste Wendepunkt ist $WP_1(-0,59|0,19)$.
    • $\mathbf{x_{W2}=-3,41}$: $f'''(-3,41)≈-0,09\neq0$. Auch hier liegt also ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ergibt sich wieder durch Einsetzen von $x=-3,41$ in der Funktionsgleichung. Der zweite Wendepunkt ist $WP_2(-3,41|0,38)$.
  • Bestimme den Wendepunkt der Funktion.

    Tipps

    „notwendiges“ Kriterium $f''(x_W)=0$ für Wendepunkte bedeutet,

    • dass, sofern dieses Kriterium nicht erfüllt ist, keine Wendepunkte vorhanden sind.
    • wenn das Kriterium erfüllt ist, muss noch das hinreichende Kriterium $f'''(x_W)\neq 0$ untersucht werden.

    Das notwendige Kriterium ist immer das Lösen einer Gleichung (hier $f''(x)=0$); das hinreichende das Einsetzen der Lösung(en) dieser Gleichung in die 3. Ableitung.

    Um den Wendepunkt anzugeben, muss noch zu der x-Koordinate die y-Koordinate durch Einsetzen in der Funktionsgleichung berechnet werden.

    Lösung

    Wendepunkte müssen die notwendige Bedingung $f''(x_W)=0$ und die hinreichende Bedingung $f'''(x_W)\neq0$ erfüllen. Wir berechnen:

    $\begin{align*} &&f''_a(x_W)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^{x_W}(x_W+a+2)&=0 &|&~e^{x_W}\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x_W+a+2&=0 &|&~-a-2\\ &\Leftrightarrow&x_W&=-a-2. \end{align*}$

    Einsetzen von $x_W=-a-2$ in $f'''_a(-a-2)=e^{-a-2}\neq0$ ergibt, dass auch die notwendige Bedingung erfüllt ist.

    Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $-a-2$ in die Funktionsgleichung $f_a(x)$. Dies führt zum Wendepunkt $WP(-a-2|-2e^{-a-2})$.

  • Entscheide, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört.

    Tipps

    Der y-Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse, also ist $x=0$.

    Für die Schnittpunkte mit der x-Achse gilt $y=0$.

    Für Extrema müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

    • (n) $f'(x_E)=0$
    • (h) $f''(x_E)\neq 0$.
    • Bei Tiefpunkten gilt $f''(x_E)>0$ und bei Hochpunkten $f''(x_E)<0$.
    • Angabe des Extrempuntkes $E(x_E|f(x_E))$.

    Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen.

    Lösung

    Der rote Funktionsgraph besitzt den y-Achsenschnittpunkt $Y(0|3)$ und den x-Achsenschnittpunkt $N(-1,5|0)$. Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen: Die zugehörige Funktion lautet $f(x)=(2x+3)e^x$.

    Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt. Dies erhält man mit der Produktregel:

    $\begin{align*} f'(x)&=2e^x+(2x+3)e^x\\ &=(2x+5)e^x\\ f''(x)&=2e^x+(2x+5)e^x\\ &=(2x+7)e^x. \end{align*}$

    Für Extrema muss die 1. Ableitung $0$ sein:

    $\begin{align*} (2x+5)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ 2x+5&=0 &|&~-5~ |~:2\\ x_E&=-2,5. \end{align*}$

    Dieses $x$ wird in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und um welches. Dann wird $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und man erhält:

    • $TP(-2,5|-0,16)$.
    Da der blaue Funktionsgraph zwei Nullstellen besitzt, muss das entsprechende Polynom, welches ein Faktor der Funktion ist, mindestens quadratisch sein. Der y-Achsenschnittpunkt ist $Y(0|-1)$ und x-Achsenschnittpunkte sind $N_1(-1|0)$ sowie $N_2(1|0)$.

    Die einzige Funktion, die dies erfüllt ist $g(x)=(x^2-1)e^x$.

    Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt. Dies erhält man mit der Produktregel:

    $\begin{align*} f'(x)&=2xe^x+(x^2-1)e^x\\ &=(x^2+2x-1)e^x\\ f''(x)&=(2x+2)e^x+(x^2+2x-1)e^x\\ &=(x^2+4x+1)e^x. \end{align*}$

    Für Extrema muss die 1. Ableitung $0$ sein:

    $\begin{align*} (x^2+2x-1)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ x^2+2x-1&=0 &|&~\text{p-q-Formel}\\ x_{E1}&=-1+\sqrt2≈0,41\\ x_{E2}&=-1-\sqrt2≈-3,41. \end{align*}$

    Beide $x$ werden in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um Extrema handelt und um welche. Dann werden die $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und man erhält:

    • $TP(0,41|-1,25)$ sowie $HP(-2,41|0,43)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.102

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.921

Lernvideos

37.022

Übungen

34.285

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden