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Scharen von Logarithmusfunktionen – Kurvendiskussion 11:10 min

Textversion des Videos

Transkript Scharen von Logarithmusfunktionen – Kurvendiskussion

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich eine Kurvendiskussion mit einer Logarithmusfunktion durchführen. Und diesmal verwende ich eine Logarithmusfunktion mit einem Parameter. Also fa(x) = x * (ln(x) + a), der Parameter a sei eine reelle Zahl und der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge der positiven reellen Zahlen, da ln(x) nur für positive reelle Zahlen definiert ist. Zuerst einmal schaue ich mir die Ableitungen an. Die erste Ableitung erhältst du durch die Produktregel fa’(x) ist gleich Ableitung des ersten Faktors ist eins, den zweiten Faktor ln(x)+a schreibe ich einfach ab. Plus der erste Faktor x mal die Ableitung des zweiten Faktors ist eins geteilt durch x. Du siehst, hier können wir x rauskürzen und erhalten dann als erste Ableitung ln(x)+a+1. Die schreibe ich dann mal hier unter “Ableitung” drunter, fa’(x)=ln(x)+a+1. Die zweite Ableitung bekomme ich durch die Ableitung von ln(x). Die ist 1/x und was du hier schon sehen kannst, die zweite Ableitung wird nicht null. Das heißt, wir brauchen gar keine dritte Ableitung, weil die bräuchten wir nur für die Wendepunkte. Damit sind wir mit den Ableitungen durch und ich komme zu den Achsenschnittpunkten. Einmal der y-Achsenschnittpunkt, dafür würde ich x = 0 einsetzen, da aber x = 0 gar nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keinen y-Achsenschnittpunkt und ich schaue mir den x-Achsenschnittpunkt an, oder die x-Achsenschnittpunkte, also die Nullstellen. Dafür löse ich die Gleichung fa(x) = 0. Ich übernehme die Funktion, also x * (ln(x) + a), das Ganze in Klammern, gleich null. Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Wir hätten also x1 = 0. Das liegt allerdings nicht im Definitionsbereich. Oder aber ln(x2) + a = 0. Um diese Gleichung zu lösen brauche ich die Eigenschaften, die ich hier oben angeschrieben habe. Ich erhalte also als Nullstelle x2 = e-a. Die Nullstelle trage ich hier ein, e-a und die y-Koordinate null. Und das können wir uns jetzt schon mal anschauen, ich mache das jetzt mal exemplarisch für a = -1. Hier haben wir ein Koordinatensystem und für a = -1 haben wir die Nullstelle hier. Gut. Im Folgenden komme ich zu Extrema, Wendepunkte und Grenzwerten. So, nun komme ich zu den Extrema der Funktion. Notwendigerweise muss die erste Ableitung für ein Extremum null sein. Ich übernehme die erste Ableitung ln(xe) + a + 1 = 0. Und erhalte, wieder mit den Regeln, die ich hier oben stehen habe, xe = e-a-1. Ob das jetzt tatsächlich ein Extremum ist bekommen wir durch das hinreichende Kriterium. Ich setze also in der zweiten Ableitung der Funktion e-a-1 ein und erhalte, weil es ja 1 / x ist, e-a+1. e-a+1 ist ungleich null, da e hoch was auch immer immer ungleich null ist und es ist insbesondere größer null, das heißt wir haben einen Tiefpunkt gefunden. Die x-Koordinaten des Tiefpunktes siehst du hier, also e-a-1 und die y-Koordinate erhältst du durch Einsetzen in der Funktion. Hier kommt -1 raus und dann steht hier e-a-1. Auch den Tiefpunkt kannst du jetzt schon einmal exemplarisch für a = -1 hier im Koordinatensystem sehen, den haben wir hier. Nun schaue ich mir die Wendepunkte an. Für die Wendepunkte muss notwendigerweise die zweite Ableitung gleich null sein. Da die zweite Ableitung aber 1 / x ist, siehst du, das kann nie null werden. Und wir haben keine Wendepunkte. Bevor ich zur Skizze komme schaue ich mir die Grenzwerte an. Da haben wir einmal den Grenzwert x->0, fa(x). Wir betrachten hier den Grenzwert gegen null, da der Definitionsbereich die Menge der positiven reellen Zahlen ist, und der Grenzwert x->∞ fa(x). Wenn wir x->0 gehen lassen, geht dieser Faktor gegen null, dieser gegen -∞, aber der geht schneller. Also kommt null raus. Und wenn wir x->∞ gehen lassen gehen beide Faktoren gegen ∞, das heißt wir bekommen den Grenzwert ∞. Auch diese Grenzwerte habe ich schon mal im Koordinatensystem eingetragen. Der Grenzwert limes x->0, fa(x) = 0, den siehst du hier, so. Und den Grenzwert x->∞, fa(x) = ∞, den siehst du hier. So, abschließend werde ich mir die Skizze anschauen, also ich ergänze für a = -1 den Verlauf der Funktion und werde für zwei weitere Parameter a die Funktion zeichnen. So, nachdem wir alles soweit vorbereitet haben und ich auch schon die ersten Punkt für a = -1 im Koordinatensystem eingetragen habe, können wir jetzt zuerst einmal uns den Verlauf für a = -1 anschauen. Du siehst also hier, die Funktion geht hier durch den Tiefpunkt und hier die Nullstelle und verläuft so. Und nun schaue ich mir noch zwei weitere Parameter an, einmal a = 0 und recht leicht kannst du das hier bei der Nullstelle sehen, für a = 0 kommt da die Nullstelle (1/0) heraus. Also hier. Und wir hätten dann diesen Verlauf. Und zu guter Letzt schaue ich mir jetzt nochmal für a = 1 an. Und wir bekommen diesen Verlauf. Und was ich jetzt noch machen werde ist, ich schaue mir mal die Ortskurve an. Das heißt, die Ortskurve der Extrema, ich schaue mir die x-Koordinate an, x ist also e-a-1. Und diese x-Koordinate forme ich nach a um und erhalte dann a=-ln(x) - 1. Und wenn ich diesen Parameter a in der y-Koordinate einsetze, die y-Koordinate siehst du hier, die steht da, y=-e-a, a = (-ln(x) - 1) und das Ganze -1. Das Minus tauscht hier das Vorzeichen um, also - -ln(x) ist +ln(x), - -1 ist +1, -1 ist 0. Also steht das hier. Und hier nochmal stehen eln(x) ist x, also käme da –x raus. Die Ortskurve wäre dann also –x. Das könntest du auch hier in den Extrema direkt sehen, die x-Koordinate ist e-a-1 und die y-Koordinate ist eigentlich dasselbe bis auf das Vorzeichen. Und auch diese Ortskurve habe ich schon mal in diesem Koordinatensystem vorbereitet, die verläuft so. Und du kannst recht gut sehen, dass die Extrema der einzelnen Funktionsgraphen auf dieser Ortskurve liegen. Ich fasse dann nochmal kurz zusammen, was ich in diesem Video getan habe: Ich habe eine Kurvendiskussion für eine Logarithmusfunktion mit einem Scharparameter durchgeführt. Die einzelnen Punkte hängen wieder von dem Parameter ab und das heißt, ich bekomme, wie du da sehen kannst, verschiedene Funktionsverläufe. Nun hoffe ich, dass du alles verstehen konntest und bedanke mich für deine Aufmerksamkeit und freue mich über Fragen und Anregungen, dein Frank.

Scharen von Logarithmusfunktionen – Kurvendiskussion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scharen von Logarithmusfunktionen – Kurvendiskussion kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Nullstelle und die Grenzwerte der Funktionenschar $f_a(x)$.

    Tipps

    Zur Bestimmung der Nullstellen muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.

    Achte darauf, dass die Lösungen, welche du erhältst, auch im Definitionsbereich liegen.

    Die Grenzwerte können zum Beispiel durch Testeinsetzen berechnet werden.

    Lösung

    Nullstellen - es muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden:

    $\begin{align*} &&x(\ln(x)+a)&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &\text{oder}&\ln(x)+a&=0 &|& -a\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)&=-a &|& e^{(~)}\\ &\Leftrightarrow&x_2&=e^{-a}. \end{align*}$

    $x_1=0$ liegt nicht im Definitionsbereich. Deshalb gibt es nur die Nullstelle $N(e^{-a}|0)$.

    Zur Bestimmung der Grenzwerte kann das Verfahren des Testeinsetzens verwendet werden. Hier wird dieses Verfahren jeweils für $a=1$ angewendet. Die Grenzwerte sind unabhängig von dem Parameter:

    $\mathbf{\lim\limits_{x\to 0} f_1(x)=0}$, denn

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x& 0,1&0,01&0,001&\rightarrow 0\\ \hline f_1(x)&-0,13...&-0,036...&-0,0059...&\rightarrow 0 \end{array}$

    $\mathbf{\lim\limits_{x\to \infty} f_1(x)=„\infty“}$, denn

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x& 10&100&1000&\rightarrow \infty\\ \hline f_1(x)&33,02...&560,51...&7907,75...&\rightarrow \infty \end{array}$

  • Untersuche die Funktionenschar auf Extrema.

    Tipps

    Die ersten beiden Ableitungen der Funktion sind

    $\begin{align*} f'_a(x)&=\ln(x)+a+1\\ f''_a(x)&=\frac1x. \end{align*}$

    Die 1. Ableitung muss $0$ sein und die 2. Ableitung ungleich $0$.

    Wenn die 2. Ableitung

    • größer ist als $0$, liegt ein Tiefpunkt vor.
    • kleiner ist als $0$, liegt ein Hochpunkt vor.

    Lösung

    Die ersten beiden Ableitungen der Funktion sind gegeben durch

    $\begin{align*} f_a(x)&=x(\ln(x)+a)\\ f'_a(x)&=\ln(x)+a+x\cdot \frac1x\\ &=\ln(x)+a+1\\ f''_a(x)&=\frac1x. \end{align*}$

    Extrema: Es lautet (n) $f_a'(x_E)=0$ und (h) $f_a''(x_E)\neq 0$:

    $\begin{align*} &&\ln(x)+a+1&=0~|~-a-1\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)&=-a-1~/~e^{()}\\ &\Leftrightarrow&x_E&=e^{-a-1}. \end{align*}$

    Dieses $x_E$ muss in der 2. Ableitung eingesetzt werden, um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt:

    $f''_a(e^{-a-1})=\large{\frac1{e^{-a-1}}}=e^{a+1}>0$

    Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die $y$-Koordinate des Tiefpunktes ist

    $y=e^{-a-1}(\ln(e^{-a-1})+a)=e^{-a-1}(-a-1+a)=-e^{-a-1}$.

    Damit ist der Tiefpunkt $TP(e^{-a-1}|-e^{-a-1})$ der Funktionenschar gefunden. Dieser Tiefpunkt hängt von dem Parameter $a$ ab.

    Hier ist der Graph der Funktion $f_{-1}(x)$ also für $a=-1$ zu erkennen. Der Tiefpunkt ist $TP(1|-1)$.

  • Gib die Ortskurve der Extrema an.

    Tipps

    Löse die $x$-Koordinate des Tiefpunktes nach dem Parameter $a$ auf und setze diesen in die $y$-Koordinate des Tiefpunktes ein.

    Die Ortskurve ist nicht abhängig vom Parameter $a$.

    Lösung

    Auf der Ortskurve der Extrema liegen alle Extrema für verschiedene Parameter $a$.

    Zunächst wird die $x$-Koordinate der Extrema nach $a$ umgeformt:

    $\begin{align*} &&x&=e^{-a-1}&~|~&ln(~)\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)&=-a-1&~|~&+a-\ln(x)\\ &\Leftrightarrow&a&=-\ln(x)-1. \end{align*}$

    Dieses $a$ wird in der $y$-Koordinate eingesetzt:

    $\begin{align*} y&=-e^{-(-\ln(x)-1)-1}\\ y&=-e^{\ln(x)}\\ y&=-x. \end{align*}$

    Die Ortskurve der Extrema lautet also $y=-x$. Sie ist in dem Bild orange eingezeichnet.

  • Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte.

    Tipps

    Nimm die $x$-Koordinate des Wendepunktes und stelle sie nach $a$ um. Setzte danach $a$ in die $y$-Koordinate ein.

    Es gilt $e^{\ln(x)}=x$.

    Es gilt $\ln(x^y)=y\cdot \ln(x)$.

    Die Gleichung der Ortskurve enthält keinen Ausdruck mit $e$.

    Lösung

    Löse die $x$-Koordinate des Wendepunktes nach dem Parameter $a$ auf:

    $\begin{align*} && x&=e^{1-a} &|& ln(~)\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)&=1-a &|& +a~|~-\ln(x)\\ &\Leftrightarrow&a&=1-\ln(x). \end{align*}$

    Dieses $a$ wird in die $y$-Koordinate des Wendepunktes eingesetzt.

    $\begin{align*} y&=2e^{1-\ln(x)-1}\\ &=2e^{-\ln(x)}\\ &=2e^{\ln(x^{-1})}\\ &=2x^{-1}\\ &=\frac2x. \end{align*}$

    Die Ortskurve ist damit $y=\frac2x$.

  • Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktionenschar $f_a(x)$.

    Tipps

    Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist $(\ln(x))'=\frac1x$.

    Die Kettenregel lautet $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Zum Beispiel ist $(\ln(x)^3)'=3\ln(x)^2\cdot \frac1x$.

    Die Quotientenregel lautet in der Kurzschreibweise $\Large{\left( \frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}}$.

    Lösung

    Zur Berechnung der Ableitungen werden

    • $(\ln(x))'=\frac1x$,
    • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ sowie
    • die Quotientenregel $\large{\left( \frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}}$
    angewendet.

    $\begin{align*} f_a(x)&=(\ln(x)+a)^2\\ f_a'(x)&=2(\ln(x)+a)\cdot \frac1x\\ &=\frac{2(\ln(x)+a)}{x}\\ f_a''(x)&=\frac{\frac2x\cdot x-2(\ln(x)+a)}{x^2}\\ &=\frac{-2\ln(x)+2-2a}{x^2}\\ f_a'''(x)&=\frac{-\frac2x\cdot x^2-(-2\ln(x)+2-2a)\cdot2x}{x^4}\\ &=\frac{4\ln(x)-6+4a}{x^3}. \end{align*}$

  • Untersuche die Funktionenschar auf Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen.

    Tipps

    Die ersten drei Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f_a(x)&=(\ln(x)+a)^2\\ f_a'(x)&=\frac{2(\ln(x)+a)}{x}\\ f_a''(x)&=\frac{-2\ln(x)+2-2a}{x^2}\\ f_a'''(x)&=\frac{4\ln(x)-6+4a}{x^3}. \end{align*}$

    Für Nullstellen muss die Gleichung $f_a(x)=0$ gelöst werden.

    Für Extremstellen muss die Gleichung $f_a'(x)=0$ gelöst werden.

    Für Wendestellen muss die Gleichung $f_a''(x)=0$ gelöst werden.

    Runde so: $e^1=2,718281828... \approx 2,72$

    Lösung

    Die ersten drei Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f_a(x)&=(\ln(x)+a)^2\\ f_a'(x)&=\frac{2(\ln(x)+a)}{x}\\ f_a''(x)&=\frac{-2\ln(x)+2-2a}{x^2}\\ f_a'''(x)&=\frac{4\ln(x)-6+4a}{x^3}. \end{align*}$

    Nullstellen: Der Ansatz lautet $f_a(x)=0$:

    $\begin{align*} &&(\ln(x)+a)^2&=0\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)+a&=0 &|& -a\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)&=-a &|& -e^{(~)}\\ &\Leftrightarrow&x_N&=e^{-a}. \end{align*}$

    Für $a=1$ ist $x_N=\frac1e\approx 0,37$.

    Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f_a'(x_E)=0$ und (h) $f_a''(x_E)\neq0$:

    Da die 1. Ableitung $f_a'(x)=\frac{2(\ln(x)+a)}{x}$ ist und ein Bruch nur $0$ wird, wenn der Nenner $0$ wird, hat die 1. Ableitung die gleiche Nullstelle wie die Funktion $x_E=e^{-a}$ und für $a=1$ gilt $x_E\approx0,37$.

    Ob wirklich ein Extremum vorliegt, kann man überprüfen, indem man die $x$-Koordinate in der 2. Ableitung einsetzt.

    $f''_a(e^{-a})=\frac{-2\ln(e^{-a})+2-2a}{(e^{-a})^2}=2e^{2a}>0$. Also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP(e^{-a}|0)$.

    Wendepunkte: Der Ansatz lautet (n) $f_a''(x_W)=0$ und (h) $f_a'''(x_W)\neq0$:

    $\begin{align*} &&\frac{-2\ln(x)+2-2a}{x^2}&=0\\ &\Leftrightarrow&-2\ln(x)+2-2a&=0 &|& +2a-2\\ &\Leftrightarrow&-2\ln(x)&=2a-2 &|& :(-2)\\ &\Leftrightarrow&\ln(x)&=1-a &|& e^{(~)}\\ &\Leftrightarrow&x_W&=e^{1-a}. \end{align*}$.

    Ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt, kann man überprüfen, indem man die $x$-Koordinate in der 3. Ableitung einsetzt.

    $f'''_a(e^{1-a})=\frac{4\ln(e^{1-a})-6+4a}{(e^{1-a})^3}=-2e^{3(a-1)}\neq 0$.

    Also liegt ein Wendepunkt vor: $WP(e^{1-a}|1)$. Dieser ist für $a=1$: $WP(1|1)$.

    In dem Bild kannst du den Funktionsgraphen der Funktion für $a=1$ erkennen. Du kannst die drei gerade ausgerechneten Punkte gut erkennen.