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Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen 07:23 min

Textversion des Videos

Transkript Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir Funktionen mit mehreren Veränderlichen zeigen und dabei die Kettenregel betrachten, das ist eine Ableitungsregel. Die Kettenregel kennst du bereits bei Funktionen mit einer Veränderlichen, die besagt, wenn du eine verkettete Funktion hast, h(x)=g(f(x)). g ist die äußere Funktion und f ist die innere Funktion. Dann ist die Ableitung dieser Funktion gerade die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion. Und ich schaue mir jetzt die Kettenregel bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen an, wobei auch noch ein Parameter in dieser Funktion steht. Das heißt die Funktion z, in dem Fall mit zwei Veränderlichen, x und y, hängt nicht nur von dem x und y ab, sondern das x und y hängt nochmal von einem Parameter t aus dem Bereich der reellen Zahlen ab. Und dann ist die Ableitung dieser Funktion nach dem Parameter, also dz nach dt, was auch das selbe ist wie df nach dt, nichts anderes als die partielle Ableitung erster Ordnung der Funktion nach x mal die Ableitung von x nach t plus die partielle Ableitung erster Ordnung von f nach y mal die Ableitung von y nach t. Und ich werde dir jetzt anhand von zwei Beispielen diese Kettenregel vorführen. Das erste Beispiel siehst du hier schon mal angeschrieben. Das wäre f(x;y) = 2x + y² + y3. Du siehst, wir brauchen die partiellen Ableitungen erster Ordnung nach x und nach y. Die sind hier abkürzend geschrieben mit fx, das ist 2, und fy ist 2y+3y2. x ist dabei t und y ist t². Und jetzt schreibe ich mir mal die Ableitung dann auf, dz nach dt wäre dann die partielle Ableitung erster Ordnung von f nach x. Also 2 mal die Ableitung von x nach t, x ist gerade t, die Ableitung davon ist 1. Plus die partielle Ableitung erster Ordnung von f nach y, die steht hier, die ist 2y + 3y² mal die Ableitung von y nach t, y ist nun t², also ist die Ableitung davon 2t. Und jetzt kann ich das noch ausmultiplizieren und ausrechnen und habe dann die Ableitung, das wäre dann 2 + 2y * 2t = 4yt + 6y²t. Und jetzt setze ich für y noch t² ein und habe dann da stehen, das ist 2 + 4y, y ist t². t² * t = t³, also 2 + 4t³ + 6t5 y ist t², also ist es y², t4t ist t5. Das wäre also die Ableitung dieser Funktion nach der Kettenregel. Und ich mache bei diesem Beispiel mal eine Probe. Also diese Funktion f könnte ich ja auch direkt in Abhängigkeit von t aufschreiben. Die ist ja 2 * x, x ist aber t, also 2t + y², y ist t², also ist y² = t4. Plus y³, y ist t², also ist y³ t6. 2t + t4 + t6. Und wenn ich diese Funktion jetzt ableite, das ist dann die Potenzregel bei der Differenziation, bleibt hier die 2 stehen. Plus, Ableitung von t4 ist 4, mal t³, die Ableitung von t6 ist 6, mal t5. Und du siehst, das ist das Gleiche wie hier. Das war jetzt die Probe für das erste Beispiel. Im Folgenden werde ich dir ein weiteres Beispiel zeigen. So, dann mache ich weiter mit dem zweiten Beispiel. Das siehst du hier schon angeschrieben, f(x;y) = x² + y, dabei ist x = sin(t) und y = cos(t). Und auch hier, ich brauche wieder die partielle Ableitung erster Ordnung nach x und die partielle Ableitung erster Ordnung nach y. Die habe ich hier schon wieder aufgeschrieben abkürzend, fx= 2x, denn die Abkürzung von x² ist 2x und fy = 1. Und dann kann ich wieder diese Regel hier anwenden, um diese Funktion abzuleiten. Also die Ableitung von z nach t ist die partielle Ableitung erster Ordnung von x, also 2x mal die Ableitung von x nach t, x = sin(t), die Ableitung von sin(t) ist cos(t) von t, plus die partielle Ableitung erster Ordnung nach y, die steht hier, also 1, mal die Ableitung von y nach t, y = cos(t), die Ableitung von cos(t) ist -sin(t). dz/dt = 2 x * cos(t) + 1 * (-sin(t)). Und jetzt können wir noch hier für x Sinus einsetzen, also steht da 2 * sin(t)cos(t) - sin(t). Und damit hätten wir die partielle Ableitung der Funktion f, also z = f(x;y) nach t und auf die Probe verzichte ich diesmal. Ich fasse nochmal kurz zusammen, was du in diesem Video gelernt hast: Ich habe Funktionen mit mehreren Veränderlichen betrachtet und dabei die Kettenregel, die siehst du hier nochmal angeschrieben, im eindimensionalen Fall, und hier die Kettenregel mit einem Parameter, das heißt die Funktion hängt von zwei Variablen x und y ab, welche wiederum von einem Parameter t aus R abhängen. Und dann ist die Kettenregel mit dieser Formel gegeben. Ich habe dir diese Kettenregel an zwei Beispielen vorgeführt, die siehst du hier noch angeschrieben, und die Ableitung des zweiten Beispiels auch noch. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen, bis zum nächsten Mal, dein Frank.

3 Kommentare
  1. Hallo Laura. Das ist meine Schrift: Da steht delta f. Das t hat bei mir unten immer einen Bogen. Hoffe, du bist nicht zu irritiert.

    Von Frank Steiger, vor etwa 4 Jahren
  2. Ok, ich habe das Video nochmal angeschaut und er sagt auch immer f ... dann habe ich es einfach nicht lesen können.

    Von Laura V., vor etwa 4 Jahren
  3. Die Kettenregel in unserem Fall hat einen Fehler: da steht ... +delta t/ delta y, aber da muss ja delta f/ delta y stehen... Ist mir nach der Übung aufgefallen :)

    Von Laura V., vor etwa 4 Jahren

Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib allgemein die Ableitung $\frac{dz}{dt}$ einer Funktion mit mehreren Veränderlichen an.

    Tipps

    Beachte, dass die partiellen Ableitung nach $x$ mit $\frac{\delta f}{\delta x}$ bezeichnet wird.

    Zuerst muss nach jeder der beiden Veränderlichen partiell abgeleitet werden.

    Jede der Veränderlichen muss noch nach $t$ abgeleitet werden.

    Kennst du noch die Kettenregel für Funktionen mit einer Veränderlichen? Vielleicht erkennst du etwas wieder:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Lösung

    Um die Funktion $z(t)$ nach $t$ abzuleiten, benötigt man zunächst die partiellen Ableitungen der Funktion nach den beiden Veränderlichen $x$ sowie $y$. Dann werden diese Veränderlichen jeweils auch noch nach $t$ abgeleitet.

    Letztlich ergibt sich die folgende Ableitung:

    $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

  • Berechne die Ableitung der Funktion $z(t)=f(x(t);y(t))=2x(t)+y(t)^2+y(t)^3$ mit $x(t)=t$ und $y(t)=t^2$.

    Tipps

    Verwende die Kettenregel

    $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

    Du berechnest die partielle Ableitung einer Funktion nach einer Veränderlichen, indem du die andere Veränderliche als konstant annimmst. Nun wendest du die bekannten Ableitungsregeln an.

    Lösung

    Wir wollen die Funktion $z(t)=f(x(t);y(t))=2x(t)+y(t)^2+y(t)^3$ mit $x(t)=t$ und $y(t)=t^2$ näher untersuchen. Zunächst werden die partiellen Ableitungen von $f$ bestimmt:

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=2$
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=2y+3y^2$
    Nun wird jede der Veränderlichen nach $t$ abgeleitet. Da die Veränderlichen in Abhängigkeit zu $t$ stehen, ist dies nicht schwer:

    • $\frac{dx}{dt}=1$ sowie
    • $\frac{dy}{dt}=2t$.
    Nun kann die Kettenregel angewendet werden:

    $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

    Also ist $\frac{dz}{dt}=2+4y(t)\cdot t+6y(t)^2\cdot t$.

    Nun kann noch $y(t)=t^2$ eingesetzt werden und man erhält:

    $\frac{dz}{dt}=2+4t^2\cdot t+6(t^2)^2\cdot t=2+4t^3+6t^5$.

  • Leite die Funktion $f(x;y)=2x^2y-3xy^3$ partiell nach $x$ und $y$ ab.

    Tipps

    Wenn du nach $x$ partiell ableiten möchtest, betrachtest du $y$ als konstant.

    Schaue dir das folgende Beispiel an $f(x;y)=3xy-2x^2y$.

    Es ist $\frac{\delta f}{\delta x}=3y-4xy$.

    Verwende jeweils die bekannten Ableitungsregeln:

    • die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
    • die Faktorregel $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
    • die Summenregel $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
    Lösung

    Die Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen lautet:

    $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

    Es werden also zunächst die partiellen Ableitungen benötigt. Hierfür wird jeweils eine Variable konstant gehalten und nach der anderen mit den bekannten Ableitungsregeln abgeleitet:

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=4xy-3y^3$
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=2x^2-9xy^2$
  • Verwende die Kettenregel zur Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Verwende die Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

    $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

    Du könntest die Ableitung noch weiter umformen zu

    $\frac{dz}{dt}=2\sin(t)\cos(t)(\sin(t)+3\cos(t)^2)$.

    Hier siehst du einen (möglichen!) Zwischenschritt der Rechnung.

    Lösung

    Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $f(x;y)=2x^2y-3xy^3$ sind gegeben durch:

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=4xy-3y^3$
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=2x^2-9xy^2$
    Nun können noch die Ableitungen der Veränderlichen berechnet werden. Diese sind

    • für $x(t)=\sin(t)$ gegeben durch $x'(t)=\cos(t)$ und
    • für $y(t)=\cos(t)$ durch $y'(t)=-\sin(t)$.
    Nun kann die Kettenregel $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$ angewendet werden:

    $\frac{dz}{dt}=(4x(t)y(t)-3y(t)^3)\cdot\sin(t)-(2x(t)^2-9x(t)y(t)^2)\cdot\cos(t)$.

    Nun werden die Definitionen von $x(t)=\sin(t)$ sowie $y(t)=\cos(t)$ eingesetzt:

    $\frac{dz}{dt}=(4\sin(t)\cos(t)-3\cos(t)^3)\cdot\sin(t)-(2\sin(t)^2-9\sin(t)\cos(t)^2)\cdot\cos(t)$.

    Dies kann noch weiter umgeformt und zusammengefasst werden:

    $\begin{array}{rcl} &&(4\sin(t)\cos(t)-3\cos(t)^3)\cdot\sin(t)-(2\sin(t)^2-9\sin(t)\cos(t)^2)\cdot\cos(t)\\ &=&4\sin(t)^2\cos(t)-3\cos(t)^3\sin(t)-2\sin(t)^2\cos(t)+9\sin(t)\cos(t)^3\\ &=&2\sin(t)^2\cos(t)+6\sin(t)\cos(t)^3 \end{array}$

    Am schwierigsten ist es, die Übersicht zu behalten. Der Rest ist gar nicht so schwierig.

  • Berechne die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=x^2+y$.

    Tipps

    Wenn du nach $x$ partiell ableiten möchtest, betrachtest du die andere Variable $y$ als konstant.

    Verwende die Ableitungsregeln, welche du von Funktionen mit einer Veränderlichen kennst.

    Beachte: $f(x)=x^2+5$, dann ist $f'(x)=2x$.

    Lösung

    Die zu untersuchende Funktion lautet $f(x;y)=x^2+y$. Um die Kettenregel anzuwenden, muss man zunächst die partiellen Ableitungen bestimmen.

    Hierfür betrachtet man die jeweilige Veränderliche, nach welcher nicht abgeleitet wird, als konstant und leitet nach der anderen Veränderlichen ab:

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=2x$
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=1$
  • Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x;y)=2xy^2-2x^2y$ mit $x(t)=t^3$ und $y(t)=2-t$.

    Tipps

    Die partiellen Ableitungen sind

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=2y^2-4xy$ sowie
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=4xy-2x^2$.

    Die Ableitungen der inneren Funktionen sind

    • $x'(t)=3t^2$ und
    • $y(t)=-1$.

    Verwende die Kettenregel für Funktionen mehrerer Veränderlicher:

    $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

    Lösung

    Die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=2xy^2-2x^2y$ sind

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=2y^2-4xy$ sowie
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=4xy-2x^2$.
    Gemeinsam mit den Ableitungen der inneren Funktionen $x(t)=t^3$ und $y(t)=2-t$

    • $x'(t)=3t^2$ und
    • $y(t)=-1$
    kann die Kettenregel angewendet werden:

    $\frac{dz}{dt}=(2y(t)^2-4x(t)y(t))\cdot3t^2+(4x(t)y(t)-2x(t)^2)\cdot(-1)$.

    Jetzt werden die inneren Funktionen eingesetzt:

    $\frac{dz}{dt}=(2(2-t)^2-4t^3(2-t))\cdot3t^2+(4t^3(2-t)-2(t^3)^2)\cdot(-1)$.

    Zuletzt wird noch weiter umgeformt:

    $\begin{array}{rcl} &&(2(2-t)^2-4t^3(2-t))\cdot3t^2+(4t^3(2-t)-2(t^3)^2)\cdot(-1)\\ &=&(2(4-4t+t^2)-8t^3+4t^4)\cdot3t^2-(8t^3-4t^4-2t^6)\\ &=&(8-8t+2t^2-8t^3+4t^4)\cdot 3t^2-8t^3+4t^4+2t^6\\ &=&24t^2-24t^3+6t^4-24t^5+12t^6-8t^3+4t^4+2t^6\\ &=&14t^6-24t^5+10t^4-32t^3+24t^2 \end{array}$