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Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen 09:35 min

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Transkript Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video zeige ich dir Funktionen mit mehreren Veränderlichen und betrachte dabei den Ableitungsbegriff. Das sind bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen die sogenannten “partiellen Ableitungen”. Zunächst einmal, was ist eine Funktion mit mehreren Veränderlichen? Das habe ich hier noch mal angeschrieben. Das ist eine Funktion, die nicht nur eine Variable oder eine Veränderliche hat, sondern mehrere – x1, x2, x3 und so weiter und so fort. Und ich habe hier schonmal ein Beispiel angeschrieben. Ein erstes Beispiel, das wäre zum Beispiel f(xy) - also wir haben also zwei Veränderliche – = 2 - x2 - y2. Und dieses f(xy) ist gerade z, die Darstellung einer solchen Funktion ist eine Fläche im Raum und die kannst du hier auch schon mal sehen. Ein x-y-z-Koordinatensystem, das jetzt hier in der Skizze nicht zu sehen ist. Und bei Funktionen mit einer Variablen kennst du die Ableitung schon. Und du weißt auch wie abgeleitet wird. Da gibt es die Produktregel, die Summenregel, die Potenzregel. Und jetzt schaue ich hier mir an, wie ich bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen ableite. Dafür brauche ich erstmal den Begriff der partiellen Ableitung. Was heißt das? Ich habe ja hier zwei Variablen und dann ist die Frage, wonach leite ich denn jetzt ab? Das geht wie folgt: Ich halte eine Variable fest, also zum Beispiel die Variable y. Wäre y = y0 konstant und dann erhalte ich eine sogenannte Höhenlinie, die ich je nach Wahl von y0 entsprechend entlang der y-Achse verschieben kann. Und die kannst du jetzt hier auch sehen. Und dann habe ich natürlich eine Funktion, die jetzt nur noch von einer Veränderlichen vorliegt, nämlich in dem Fall x. Und nach diesem x kann ich ableiten. Und das ist die sogenannte partielle Ableitung. Zur Schreibweise: man schreibt das ∂f, also die Funktion. Nach ∂x wird nach x abgeleitet von xy: ∂f/∂x(x;y). Oder man kann es auch schreiben mit einem fx(x;y). Oder ∂z nach ∂x, weil f ist gerade z von xy: ∂z/∂x(x;y). Oder auch hier wieder zx(x;y). Und genauso, das siehst du hier, kann man die partielle Ableitung nach y aufschreiben. Hier unten habe ich schon mal vorbereitet, so ein Schema. Abkürzend werden diese partiellen Ableitungen ganz oft auch ohne die Argumente geschrieben, also mit fx oder mit fy. Das heißt, die partielle Ableitung von f nach x, die partielle Ableitung von f nach y. Das wäre die partielle Ableitung erster Ordnung. Und es gibt auch eine partielle Ableitung zweiter Ordnung. Das heißt, du leitest die partiellen Ableitungen nochmal ab und zwar partiell nach der entsprechenden Variablen. Das heißt, wenn du hier die partielle Ableitung erster Ordnung f von x hast, also fx, partiell nach x abgeleitet, dann kannst du diese Ableitung noch mal nach x ableiten. Dann wäre das fxx. Du kannst diese Ableitung aber auch nach y ableiten. Dann wäre das fxy. Und genauso kannst du die partielle Ableitung nach y auch wieder nach x ableiten. Das wäre fyx. Oder nach y, das wäre fyy. Damit erhältst du dieses Schema der partiellen Ableitung erster und zweiter Ordnung. Und das mache ich nun mal an diesem Beispiel. Die Schreibweise hast du ja hier gesehen. Ich nutzte jetzt hier mal die abkürzende Schreibweise mit dem fx, also wenn ich das f partiell nach x ableite – xy, dann ist das gerade, zwei abgeleitet nach x ist 0. x2 nach x abgeleitet, ist 2x. Und dann haben wir hier noch das Vorzeichen. Da habe ich jetzt zum Beispiel die Potenzregel verwendet. Und die Partielle ableitend nach y, heißt, ich halte x fest. Und wenn ich nach y ableite, dann ist x eine Konstante. Die fliegt dann raus. Also bleibt da stehen -2y. Und diese Ableitung kann ich wieder ableiten. Und jetzt kürz ich noch ein bisschen weiter ab. Also ich schreibe nur noch fxx hin. Und das heißt, die zweite Ableitung zweimal nach x abgeleitet bei dieser Funktion, wäre -2. Wenn ich die partielle Ableitung nach x nochmal nach y ableite, das ist gar kein y drin. Kommt null raus. Wenn ich die partielle Ableitung nach y nochmal nach x ableite, steckt kein x drin. Kommt auch 0 raus. Und wenn ich die partielle Ableitung nach y nochmal nach y ableite, dann kommt da -2 raus. So, das war schon mal ein erstes Beispiel zu den partiellen Ableitungen. Und im Folgenden werde ich dir noch zwei weitere Beispiele zeigen. So, und weiter geht es mit den partiellen Ableitungen. Ich habe hier schon mal zwei Beispiele angeschrieben. Als erste habe ich hier vorn schon mal gerechnet. Und nun schaue ich mir die partiellen Ableitungen für diese beiden Beispiele an. Also an dem zweiten Beispiel und ich verwende jetzt jedes Mal wieder diese Kurzschreibweise, wäre die partielle Ableitung nach x gerade. x3 angeleitet ist 3x2. 2yx nach x abgeleitet, ist 2y. Also y ist in dem Falle wäre das eine Konstante. Und das Operationszeichen zieht sich durch. Du siehst, ich habe jetzt hier wieder Ableitungsregeln, die du kennst, verwendet. Das wäre die partielle Ableitung nach x. Und wenn ich die Funktion partiell nach y ableite, kommt da raus x3 ist konstant bezüglich x. y ist also dann eine Ableitung 0. Und wenn ich das nach y ableite, kommt -2x raus. Und nun kann ich jede dieser partiellen Ableitungen erster Ordnung noch mal ableiten. Also wäre fxx, also ich leite diese partielle Ableitung nochmal nach x ab. Nur hier steht ein x, da nicht. Also wäre das 6x. Und entsprechend fxy. Hier steht kein y drin. Also wäre das -2. Und wenn ich jetzt die partielle Ableitung erster Ordnung nach y nochmal nach x ableite, also yx, dann steht da -2. Und hier, wenn ich das nochmal nach y ableite, da steht kein y drin, kommt da 0 raus. Was du hier schon mal sehen kannst, bei den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung: fxy = -2i und fyx = -2. Das ist kein Zufall, sondern das ist eine Eigenschaft, die unter gewissen Voraussetzungen immer gilt. Also so eine Symmetrieeigenschaft. Gut. Und nun schaue ich mir abschließend noch das dritte Beispiel an. Und leite auch da wieder partiell nach x ab und partiell nach y. Also die Ableitung erster Ordnung. Und dann schaue ich mir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung noch an. Ja, also fx = 2xy - 6x2, also du kannst dann immer y als konstant betrachten, also es wird als Faktor einfach durchgezogen. Die partielle Ableitung nach y wäre dann x2. Du siehst also in der Funktion x2×y. x2 ist ein Faktor. Und im zweiten Term 2x3 steht kein y drin. Und dann noch mal die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung fxx = 2y - 12x. fxy = 2x. fyx = 2x. Das ist wieder die Symmetrieeigenschaft, die ich vorhin schon genannt habe. Und fyy = 0. Das ist jetzt Zufall, dass hier beide Male 0 rauskommt. Du hast ja vorhin bei dem Beispiel gesehen, da kam nicht 0 raus. Gut, damit bin ich auch mit dem dritten Beispiel und auch mit diesem Video fertig. Ich wiederhole noch mal kurz, was ich hier in diesem Video gemacht habe. Ich habe dir gezeigt, wie du bei der Funktion mit mehreren Veränderlichen ableiten kannst. Das führt auf den Begriff der partiellen Ableitung. Und bei den partiellen Ableitungen verwendest du Ableitungsregeln, die du auch schon von Funktionen mit einer Veränderlichen kennst. Du hältst halt einfach eine Variable fest. Und die ist dann konstant bezüglich der anderen Variablen. Und dann leitest du entsprechend ab. Und ich habe das an drei Beispielen mal gezeigt. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

2 Kommentare
  1. Grosses Lob und tolles Video ! Technik bei der Präsentation sieht auch cool aus .. mit der Tafel !

    Von Giordi, vor fast 3 Jahren
  2. Sehr verständlich erklärt!!

    Von Moritzglkher, vor fast 4 Jahren

Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu partiellen Ableitungen.

    Tipps

    Für Funktionen mit einer Veränderlichen kannst du die bekannten Ableitungsregeln anwenden.

    Schaue dir das Beispiel mit dem Rechteck an. Sei $x=5$ konstant, dann ist

    $A(y)=f(5;y)=5y$

    eine Funktion mit einer Veränderlichen.

    Lösung

    Wenn eine Funktion von mehreren Veränderlichen abhängt, zum Beispiel $f(x;y)$ von $x$ und $y$, kann man nach jeder der beiden Variablen partiell ableiten. Das bedeutet, man „hält“ die andere Variable „fest“, zum Beispiel $y=y_0$, dann hängt $f(x;y=y_0)$ nur noch von der Variablen $x$ ab und kann mit den bekannten Ableitungsregeln abgeleitet werden.

    Man schreibt eine partielle Ableitung so:

    $\frac{\partial f}{\partial x}(x;y)=f_x(x;y)$

    Dies ist die partielle Ableitung der Funktion $f$ nach $x$. Ganz rechts ist eine Kurzschreibweise zu sehen. Wenn man auch noch die Argumente weglässt, ist $f_x$ die partielle Ableitung der Funktion $f$ nach $x$.

    Ebenso kann partiell nach $y$ abgeleitet werden:

    $\frac{\partial f}{\partial y}(x;y)=f_y(x;y)$.

    Diese partiellen Ableitungen (1. Ordnung) können nochmals abgeleitet werden und heißen dann partielle Ableitungen 2. Ordnung:

    $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(x;y)=f_{xx}(x;y)$

    oder

    $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x;y)=f_{xy}(x;y)$

  • Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Übrigens: Es ist $f_{yy}=f_{xx}$. Dies ist jedoch nicht immer so.

    Du möchtest $f_x$ bestimmen? Halte in der Funktion $f(x;y)=2-x^2-y^2$ die Veränderliche $y$ fest und behandle sie einfach wie eine Konstante. Der einzige Term, der von $x$ abhängt, ist dann $-x^2$. Leite diesen dann wie gewohnt nach $x$ ab.

    Es ist $f_{yx}=f_{xy}$. Dies ist immer so, wenn die Voraussetzung, dass alle partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung existieren und stetig sind, erfüllt ist.

    Lösung

    Wenn man eine Funktion partiell nach einer Variablen ableiten möchte, behandelt man die andere einfach wie eine Konstante.

    Damit sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung wie folgt gegeben:

    • $\frac{\partial f}{\partial x}(x;y)=-2x=f_x$ und
    • $f_y=-2y$.
    Wenn man diese Ableitungen nochmals partiell ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Damit gilt:

    • $f_{xx}=-2$ und ebenso $f_{yy}=-2$ sowie
    • $f_{xy}=f_{yx}=0$.
    Die obere der beiden „Identitäten“, also die Gleichheit, ist ein Zufall, die untere nicht.

  • Gib die jeweils ersten partiellen Ableitungen der Funktionen an.

    Tipps

    Bei der partiellen Ableitung betrachtest du eine Variabel als konstant und leitest dann nur nach der anderen ab.

    Bei der Funktion $f(x;y)=x^3-2yx$ ist $f_{xy}=f_{yx}=-2$. Die Gleichheit von $f_{xy}$ und $f_{yx}$ gilt unter gewissen Voraussetzungen immer.

    Bei der Funktion $f(x;y)=x^2y-2x^3$ ist

    • $f_{xx}=2y-12x$ und
    • $f_{yy}=0$.
    Lösung

    Eine Funktion partiell abzuleiten ist gar nicht so kompliziert. Es funktioniert sehr ähnlich wie das Ableiten einer Funktion mit nur einer Variablen. Wir betrachten die Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, einfach als Konstante. Es wird jeweils die Kurzschreibweise verwendet:

    Betrachten wir zunächst die Funktion $f(x;y)=x^3-2yx$:

    • $f_x=3x^2-2y$. Dann ist $f_{xx}=6x$ und $f_{xy}=-2$.
    • $f_y=-2x$. Dann ist $f_{yx}=-2$ und $f_{yy}=0$.
    Und zuletzt wollen wir noch die Funktion $f(x;y)=x^2y-2x^3$ untersuchen:

    • $f_x=2xy-6x^2$. Dann ist $f_{xx}=2y-12x$ und $f_{xy}=2x$.
    • $f_y=x^2$. Dann ist $f_{yx}=2x$ und $f_{yy}=0$.
  • Prüfe, für welchen Parameter die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung $f_{xy}=f_{yx}=4x+2y$ sind.

    Tipps

    Die erste partielle Ableitung nach $x$ ist gegeben durch

    $f_x=2axy-(1-a)y^2$.

    Du erhältst die zweite partielle Ableitung $f_{xy}$, indem du $f_x$ partiell nach $y$ ableitest.

    Beachte, dass $f_{xy}=f_{yx}$ ist.

    Lösung

    Zunächst werden die partiellen Ableitungen 1. Ordnung berechnet:

    • $f_x=2axy-(1-a)y^2$ sowie
    • $f_y=ax^2-2(1-a)xy$.
    Damit können die partiellen Ableitungen 2. Ordnung berechnet werden:

    • $f_{xx}=2ay$
    • $f_{xy}=2ax-2(1-a)y$
    • $f_{yx}=2ax-2(1-a)y$
    • $f_{yy}=-2(1-a)x$
    Es sollen $f_{xy}=f_{yx}=4x+2y$ sein, also ist $2a=4$ und damit $a=2$. Für dieses $a$ ist $-2(1-2)=-2\cdot (-1)=2$. Und dies ist tatsächlich der gesuchte Koeffizient von $y$.

  • Leite die Funktion $f(x;y)=x^3+3y^2$ partiell ab.

    Tipps

    Schaue dir das folgende Beispiel an: $f(x;y)=5x^2-3y$. Die partiellen Ableitungen sind

    • $f_x=10x$ und
    • $f_y=-3$.

    Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

    Bei dem Beispiel $f(x;y)=5x^2-3y$ ist zum Beispiel

    • $f_{xx}=10$ und
    • $f_{xy}=0$.
    Lösung

    Bei dieser Funktion gibt es keine gemischten Terme: Der linke Summand hängt nur von $x$ und der rechte nur von $y$ ab.

    Damit ist

    • $f_x=3x^2$. Damit ist $f_{xx}=6x$ und $f_{xy}=0$.
    • $f_y=6y$. Damit ist $f_{yx}=0$ und $f_{yy}=6$.
  • Ermittle die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

    Tipps

    Wenn du die partielle Ableitung $f_x$ noch einmal nach $y$ ableitest, erhältst du

    $f_{xy}=6y^2-4xy$.

    Schaue dir das folgende Beispiel an $f(x;y)=6x^2y$. Dann ist

    • $f_x=12xy$
    • $f_y=6x^2$
    • $f_{xx}=12y$
    • $f_{xy}=12x$
    • $f_{yx}=12x$
    • $f_{yy}=0$
    Lösung

    Die partielle Ableitung nach $x$ erhält man, indem man $y$ konstant hält.

    $f_x=2y^3-2xy^2$. Mit dieser partiellen Ableitung können auch die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung berechnet werden:

    • $f_{xx}=-2y^2$ sowie
    • $f_{xy}=6y-4xy$.
    So kann auch die partielle Ableitung nach $y$ nochmals jeweils nach $x$ und $y$ partiell abgeleitet werden: $f_y=6xy^2-2x^2y$.

    • $f_{yx}=6y^2-4xy$ und
    • $f_{yy}=12xy-2x^2$.