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Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

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Die Autor*innen
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Frank Steiger
Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Übrigens: Es ist $f_{yy}=f_{xx}$. Dies ist jedoch nicht immer so.

    Du möchtest $f_x$ bestimmen? Halte in der Funktion $f(x;y)=2-x^2-y^2$ die Veränderliche $y$ fest und behandle sie einfach wie eine Konstante. Der einzige Term, der von $x$ abhängt, ist dann $-x^2$. Leite diesen dann wie gewohnt nach $x$ ab.

    Es ist $f_{yx}=f_{xy}$. Dies ist immer so, wenn die Voraussetzung, dass alle partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung existieren und stetig sind, erfüllt ist.

    Lösung

    Wenn man eine Funktion partiell nach einer Variablen ableiten möchte, behandelt man die andere einfach wie eine Konstante.

    Damit sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung wie folgt gegeben:

    • $\frac{\partial f}{\partial x}(x;y)=-2x=f_x$ und
    • $f_y=-2y$.
    Wenn man diese Ableitungen nochmals partiell ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Damit gilt:

    • $f_{xx}=-2$ und ebenso $f_{yy}=-2$ sowie
    • $f_{xy}=f_{yx}=0$.
    Die obere der beiden „Identitäten“, also die Gleichheit, ist ein Zufall, die untere nicht.

  • Gib die jeweils ersten partiellen Ableitungen der Funktionen an.

    Tipps

    Bei der partiellen Ableitung betrachtest du eine Variabel als konstant und leitest dann nur nach der anderen ab.

    Bei der Funktion $f(x;y)=x^3-2yx$ ist $f_{xy}=f_{yx}=-2$. Die Gleichheit von $f_{xy}$ und $f_{yx}$ gilt unter gewissen Voraussetzungen immer.

    Bei der Funktion $f(x;y)=x^2y-2x^3$ ist

    • $f_{xx}=2y-12x$ und
    • $f_{yy}=0$.
    Lösung

    Eine Funktion partiell abzuleiten ist gar nicht so kompliziert. Es funktioniert sehr ähnlich wie das Ableiten einer Funktion mit nur einer Variablen. Wir betrachten die Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, einfach als Konstante. Es wird jeweils die Kurzschreibweise verwendet.

    Betrachten wir zunächst die Funktion $f(x;y)=x^3-2yx$:

    • $f_x=3x^2-2y$. Dann ist $f_{xx}=6x$ und $f_{xy}=-2$.
    • $f_y=-2x$. Dann ist $f_{yx}=-2$ und $f_{yy}=0$.
    Und zuletzt wollen wir noch die Funktion $f(x;y)=x^2y-2x^3$ untersuchen:

    • $f_x=2xy-6x^2$. Dann ist $f_{xx}=2y-12x$ und $f_{xy}=2x$.
    • $f_y=x^2$. Dann ist $f_{yx}=2x$ und $f_{yy}=0$.
  • Leite die Funktion $f(x;y)=x^3+3y^2$ partiell ab.

    Tipps

    Schaue dir das folgende Beispiel an: $f(x;y)=5x^2-3y$. Die partiellen Ableitungen sind

    • $f_x=10x$ und
    • $f_y=-3$.

    Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

    Bei dem Beispiel $f(x;y)=5x^2-3y$ ist zum Beispiel

    • $f_{xx}=10$ und
    • $f_{xy}=0$.
    Lösung

    Bei dieser Funktion gibt es keine gemischten Terme: Der linke Summand hängt nur von $x$ und der rechte nur von $y$ ab.

    Damit ist

    • $f_x=3x^2$. Damit ist $f_{xx}=6x$ und $f_{xy}=0$.
    • $f_y=6y$. Damit ist $f_{yx}=0$ und $f_{yy}=6$.
  • Ermittle die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

    Tipps

    Wenn du die partielle Ableitung $f_x$ noch einmal nach $y$ ableitest, erhältst du

    $f_{xy}=6y^2-4xy$.

    Schaue dir das folgende Beispiel an $f(x;y)=6x^2y$. Dann ist

    • $f_x=12xy$
    • $f_y=6x^2$
    • $f_{xx}=12y$
    • $f_{xy}=12x$
    • $f_{yx}=12x$
    • $f_{yy}=0$
    Lösung

    Die partielle Ableitung nach $x$ erhält man, indem man $y$ konstant hält.

    $f_x=2y^3-2xy^2$. Mit dieser partiellen Ableitung können auch die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung berechnet werden:

    • $f_{xx}=-2y^2$ sowie
    • $f_{xy}=6y-4xy$.
    So kann auch die partielle Ableitung nach $y$ nochmals jeweils nach $x$ und $y$ partiell abgeleitet werden: $f_y=6xy^2-2x^2y$.

    • $f_{yx}=6y^2-4xy$ und
    • $f_{yy}=12xy-2x^2$.
  • Ergänze die Erklärung zu partiellen Ableitungen.

    Tipps

    Für Funktionen mit einer Veränderlichen kannst du die bekannten Ableitungsregeln anwenden.

    Schaue dir das Beispiel mit dem Rechteck an. Sei $x=5$ konstant, dann ist

    $A(y)=f(5;y)=5y$

    eine Funktion mit einer Veränderlichen.

    Lösung

    Wenn eine Funktion von mehreren Veränderlichen abhängt, zum Beispiel $f(x;y)$ von $x$ und $y$, kann man nach jeder der beiden Variablen partiell ableiten. Das bedeutet, man „hält“ die andere Variable „fest“, zum Beispiel $y=y_0$, dann hängt $f(x;y=y_0)$ nur noch von der Variablen $x$ ab und kann mit den bekannten Ableitungsregeln abgeleitet werden.

    Man schreibt eine partielle Ableitung so:

    $\frac{\partial f}{\partial x}(x;y)=f_x(x;y)$

    Dies ist die partielle Ableitung der Funktion $f$ nach $x$. Ganz rechts ist eine Kurzschreibweise zu sehen. Wenn man auch noch die Argumente weglässt, ist $f_x$ die partielle Ableitung der Funktion $f$ nach $x$.

    Ebenso kann partiell nach $y$ abgeleitet werden:

    $\frac{\partial f}{\partial y}(x;y)=f_y(x;y)$.

    Diese partiellen Ableitungen (1. Ordnung) können nochmals abgeleitet werden und heißen dann partielle Ableitungen 2. Ordnung:

    $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(x;y)=f_{xx}(x;y)$

    oder

    $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x;y)=f_{xy}(x;y)$

  • Prüfe, für welchen Parameter die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung $f_{xy}=f_{yx}=4x+2y$ sind.

    Tipps

    Die erste partielle Ableitung nach $x$ ist gegeben durch

    $f_x=2axy-(1-a)y^2$.

    Du erhältst die zweite partielle Ableitung $f_{xy}$, indem du $f_x$ partiell nach $y$ ableitest.

    Beachte, dass $f_{xy}=f_{yx}$ ist.

    Lösung

    Zunächst werden die partiellen Ableitungen 1. Ordnung berechnet:

    • $f_x=2axy-(1-a)y^2$ sowie
    • $f_y=ax^2-2(1-a)xy$.
    Damit können die partiellen Ableitungen 2. Ordnung berechnet werden:

    • $f_{xx}=2ay$
    • $f_{xy}=2ax-2(1-a)y$
    • $f_{yx}=2ax-2(1-a)y$
    • $f_{yy}=-2(1-a)x$
    Es sollen $f_{xy}=f_{yx}=4x+2y$ sein, also ist $2a=4$ und damit $a=2$. Für dieses $a$ ist $-2(1-2)=-2\cdot (-1)=2$. Und dies ist tatsächlich der gesuchte Koeffizient von $y$.

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