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Lösen von Extremwertproblemen 08:50 min

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Transkript Lösen von Extremwertproblemen

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist. Du kannst mir heute bei einem großen Problem helfen. Eine renommierte Getränkefirma - die ihren Namen hier nicht preisgeben möchte – will eine neue Dose Cola entwickeln. Sie soll 300 ml Inhalt fassen aber möglichst wenig Blech verbrauchen. Auf diese Weise sollen bei der Produktion der Dosen die Kosten minimiert werden.

Diese Aufgabe führt zu einem Extremwertproblem. Das ist ein mathematisches Problem, bei dem ein möglichst großer oder möglichst kleiner Wert gesucht wird. In unserem Beispiel haben wir ein Volumen vorgegeben und suchen dazu eine Dose, bei der möglichst wenig Blech verbraucht wird.

Dazu gehen wir folgendermaßen vor:

  • Wir formulieren das Problem aus mathematischer Perpektive,
  • ermitteln die Zielfunktion,
  • bestimmen den gesuchten Extremwert
  • und sichern das Ergebnis.

Formulierung des Extremwertproblems

Damit wir uns mit dem Problem auseinandersetzen können, müssen wir es also zuerst mathematisch formulieren. Eine Dose ist zylinderförmig. Deshalb können wir hier die Volumenformel und die Oberflächenformel vom Zylinder verwenden.

Für die Oberfläche der Dose gilt: O gleich 2 mal die Grundfläche G addiert mit dem Mantel. Ausgeschrieben ist das 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 2 mal Pi mal r mal h. Gesucht ist die kleinste Oberfläche - wir nennen sie O Stern. Für das Volumen gilt: V gleich Pi mal r hoch 2 mal h. Vorgegeben ist, dass die Dose 300 ml fassen soll.

Zielfunktion ermitteln

Für die weitere Berechnung müssen wir eine Größe als Variable bestimmen. In diesem Fall können wir zwischen dem Radius r und der Höhe h wählen. Ich möchte mich für den Radius r entscheiden. In der Abhängigkeit der Variablen r berechnen wir nun die Oberfläche O von r der Dose.

Da nach der minimalen Oberfläche gefragt ist, ist die Oberflächenformel auch unsere Zielfunktion. Sie wird auch Hauptbedingung genannt. O von r gleich zwei mal pi mal r hoch 2 + zwei mal pi mal h mal r.

Neben der Oberflächenfunktion haben wir - nicht zu vergessen - auch noch die Vorgabe, dass das Volumen 300 ml fassen soll. Dies stellt die Nebenbedingung dar.

Wenn wir die Funktionsgleichung der Zielfunktion genau betrachten fällt auf, dass sie neben der Variablen r auch die Variable h enthalten ist. Für die Berechnung des Minimums ist die natürlich störend.

Da wir aber zwei Gleichungen mit jeweils zwei Variablen haben, wenden wir zur weiteren Berechnung das Einsetzungsverfahen an und stellen die Gleichung der Nebenbedingung nach h um: Pi mal r hoch 2 mal gleich 300.

Dafür dividieren wir die Gleichung durch Pi mal r hoch 2 und erhalten h gleich 300 durch Pi mal r hoch 2. Diesen Term setzen wir nun für h in die Zielfunktion ein und erhalten: O gleich 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 2 mal Pi mal 300 durch Pi mal r hoch 2 mal r. Hier kann man nun kürzen und wir erhalten O gleich 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 600 durch r

Diese Zielfunktion hat nun nur noch die Unbekannte r. Damit können wir also weiterarbeiten.

Bestimmen des gesuchten Extremwerts

Im nächsten Schritt wollen wir den gesuchten Extremwert bestimmen. Extremwerte einer Funktion sind deren Hochpunkte oder Tiefpunkte. Gesucht ist die Stelle r Stern an der unsere Zielfunktion O von r einen Tiefpunkt hat.

Als notwendige Bedingung für eine Extremstelle muss erfüllt sein, dass die erste Ableitung an der Stelle null ist, und als hinreichende Bedingung, dass die zweite Ableitung an der Stelle ungleich null ist.

Als erstes leiten wir deshalb die Zielfunktion O von x zweimal ab. O Strich von r ist gleich 4 mal Pi mal r minus 600 durch r hoch 2 und O Strich Strich von r ist gleich 4 mal pi + 1200 durch r hoch 3.

Um zu ermitteln, an welcher Stelle r Stern die erste Ableitung gleich 0 wird, setzen wir die erste Ableitung gleich null. Null gleich 4 mal Pi mal r Stern minus 600 durch r Stern hoch 2. Zunächst addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 600 durch r Stern hoch 2 und erhalten 600 durch r Stern hoch 2 gleich 4 mal Pi mal r Stern.

Nun multiplizieren wir die Gleichung mit r Stern hoch 2 und erhalten 600 gleich 4 mal pi mal r Stern hoch 3. Dann dividieren die Gleichung durch 4 mal Pi und erhalten 150 durch pi = r Stern hoch 3. Abschließend müssen wir dann nur noch die dritte Wurzel ziehen und erhalten für r Stern: r Stern ist gleich die dritte Wurzel aus 150 durch Pi.

Damit wir uns sicher sein können, dass an dieser Stelle die Funktion O von x einen Tiefpunkt hat, muss überprüft werden, ob die hinreichende Bedingung erfüllt ist.

In die zweite Ableitung der Zielfunktion O zwei Strich von r gleich 4 mal Pi plus 1200 durch r hoch 3 setzen wir den Wert r Stern ein. Wir erhalten für O zwei Strich von der dritten Wurzel von 150 durch pi gleich 4 mal Pi plus 1200 durch 150 durch pi. Das ist gleich 4 mal pi + 8 mal pi, gleich 12 mal Pi. Dies ist größer als Null. Das heißt wir haben gezeigt, dass an der Stelle r Stern gleich die dritte Wurzel aus 150 durch pi die Zielfunktion O von x einen Tiefpunkt besitzt.

Was aber besagt dieser Tiefpunkt an der Stelle r Stern. Die Funktionswerte der Funktion O von r stellt die Oberfläche der Dose in Abhängigkeit des Radius dar.

Sicherung des Ergebnisses

Wir haben durch die Extremwertermittlung ermittelt, dass die Oberfläche der Dose bei einem Radius r Stern minimal ist und damit bei der Herstellung am wenigsten Blech verbraucht wird. Wir halten also fest der gesuchte Radius ist die dritte Wurzel von 150 durch pi. Das sind gerundet 3,63 cm.

Nun müssen wir lediglich die dazugehörige Höhe h Stern berechnen. Dazu setzen wir r Stern = in den Term der Nebenbedingung - also h Stern = 300r*2 - ein. Für die Höhe erhalten wir damit einen Wert von etwa 7,25 Zentimeter.

Nun kennen wir den gesuchten Radius und die gesuchte Höhe. Nun können wir auch die gesuchte Oberfläche der optimalen Dose bestimmen: O* gleich 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 2 mal Pi mal r mal h.

Setzen wir für r 3,63 cm und für h 7,25 cm ein, erhalten wir 2 mal pi mal in Klammern 3,63cm hoch 2 + 2 mal pi mal 3,63 cm mal 7,25 cm.

Die kleinste Oberfläche einer Coladose, die 300 ml Volumen fassen soll, beträgt also 248,15 Quadratzentimeter.

Ist dir eigentlich an den Werten für den Radius und der Höhe etwas aufgefallen? Der Wert des Radius ist halb so groß wie der Wert der Höhe. Eine optimale Dose hat - anders ausgedrückt - genau dann die kleinste Oberfläche, wenn der Durchmesser d genauso groß ist wie die Höhe h.

Zusammenfassung

Damit haben wir unsere Aufgabe erledigt und können der Getränkefirma dabei weiterhelfen möglichst wenig Blech bei der Produktion verwenden zu müssen. An diesem Beispiel konntest du nun sehen, wie eine Extremwertaufgabe gelöst wird. Du hast gesehen, dass die Zielfunktion auch von mehreren Variablen abhängen kann. Dann wendet man mithilfe der Nebenbedingung das Einsetzungsverfahren an.

Das eben gezeigte Verfahren kannst du übrigens auch bei den anderen Extremwertaufgaben anwenden. Nun wünsche ich dir noch viel Erfolg beim Lernen und sage “Bis bald”!

2 Kommentare
  1. @Ramazanunal57: Du kannst 600/r schreiben als 600*r^(-1). Das kannst du mit Hilfe der Potenzregel ableiten und erhältst 600*(-1)*r^(-2)
    =-600*r^(-2)=-600/r^2. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor fast 3 Jahren
  2. Wie hat man im Video 600/r abgeleitet, sodass am Ende -600/r^2 rauskommt? Welche Zwischenschritte gibt es und welche Ableitungsregel wird genutzt? Vielen Dank.

    Von Ramazanunal57, vor fast 3 Jahren

Lösen von Extremwertproblemen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösen von Extremwertproblemen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Hinweise in der Textaufgabe vorkommen.

    Tipps

    Lies die Aufgabe mehrmals in Ruhe, um herauszufinden, was gesucht und was gegeben ist.

    Überlege: Wo muss eingespart werden, damit die Dose möglichst wenig Blech verbraucht?

    Eine Dose hat die Form von einem geraden Kreiszylinder.

    Bei der Oberfläche und dem Volumen eines Kreiszylinders spielt die Kreiszahl $\pi$ eine besondere Rolle.

    Lösung

    Schau noch einmal in die Aufgabe: Das Fassungsvermögen der Dose ist dort als einzige Angabe genannt mit $500~ml$. Um möglichst wenig Blech bei diesem festgelegten Volumen zu verbrauchen, suchen wir die Dose mit der kleinsten Oberfläche.

    Die Dose hat die Form eines geraden Kreiszylinders.

    Als Hauptbedingung formulieren wir also die Oberflächenformel für einen Kreiszylinder, nämlich:

    $O(r,h)=2\cdot \pi \cdot r^2+ 2\cdot \pi \cdot r \cdot h$.

    Doch wir suchen nicht irgendeine Dosenoberfläche, sondern es gibt noch eine zweite Bedingung: Das Volumen der Dose muss $500~ml$ bzw. $500~cm^3$ betragen. Daher ist die Nebenbedingung dann auch

    $V=\pi \cdot r^2\cdot h=500~ml$.

  • Nenne die nötigen Schritte zur Lösung von Extremwertproblemen.

    Tipps

    Die Zielfunktion ermittelt man zum Beispiel durch das Einsetzungsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren.

    Die notwendige Bedingung hat etwas mit der ersten Ableitung der Zielfunktion zu tun.

    Für die hinreichende Bedingung muss eine bestimmte Ableitung der Zielfunktion größer als Null sein.

    Lösung

    Starte immer damit, dass du die Aufgabe mehrfach liest und ermittelst, was gegeben und was gesucht ist.

    Aus der Aufgabenstellung ermittelst du nun zwei Bedingungen: Eines ist die Hauptbedingung und eines die Nebenbedingung, die ebenfalls erfüllt sein muss.

    Aus diesen Angaben kannst du mit Hilfe der Formeln zu Volumen und Oberfläche und dem Einsetzungsverfahren oder dem Gleichsetzungsverfahren die Zielfunktion ermitteln, die nur noch eine Variable enthält.

    Anschließend ermittelst du den Extremwert mit Hilfe der notwendigen Bedingung: Die erste Ableitung der Zielfunktion muss gleich Null sein. Hast du den Wert bestimmt, für den diese Voraussetzung gilt, prüfst du noch, ob es sich denn auch um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt. Dafür muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein, nämlich, dass die zweite Ableitung der Zielfunktion kleiner bzw. größer als Null ist.

  • Bestimme den Extremwert mit Hilfe von notwendiger und hinreichender Bedingung.

    Tipps

    Was hat mit der ersten Ableitung zu tun? Hinreichende oder notwendige Bedingung?

    Ist die zweite Ableitung größer als Null, handelt es sich bei der Extremstelle um ein Minimum.

    Lösung

    Um die Zielfunktion zu ermitteln, stellst du die Nebenbedingung nach einer Variable um, zum Beispiel $h$, und setzt sie in die Hauptbedingung ein.

    Mit Hilfe der Zielfunktion kannst du nun das Minimum bestimmen. Dafür setzt du die erste Ableitung der Zielfunktion mit Null gleich.

    Hast du einen möglichen Wert ermittelt, dann bildest du noch die zweite Ableitung der Zielfunktion. Ist sie größer als $0$, handelt es sich um ein Minimum.

  • Berechne, wie viel $m^2$ Stoff Jana braucht.

    Tipps

    Das Zelt hat die Form eines Kegels.

    Ein Kegel hat das Volumen von

    $V=\frac {1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$.

    Du kannst den Satz des Pythagoras anwenden.

    Die Nebenbedingung lautet:

    $s^2=h^2+r^2$.

    Die Mantelfläche eines Kegels berechnest du so:

    $M=\pi\cdot r\cdot s$.

    Lösung

    Gegeben ist die Seitenkante $s$ mit $3$ Metern. Gesucht ist die Höhe $h$ des Zeltes sowie die Mantelfläche $M$. Das Zelt hat die Form eines geraden Kegels. Die Hauptbedingung lautet, dass das Volumen maximal sein soll.

    Die Formel für das Volumen eines Kegels lautet:

    $V(h,r)=\frac {1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$.

    Die Nebenbedingung lautet, dass die Seitenkante $s$ des Zeltes $3$ Meter betragen soll. Hier kannst du den Satz des Pythagoras anwenden:

    $s^2=h^2+r^2$.

    Nun formulierst du die Zielfunktion. Dafür stellst du die Gleichung der Nebenbedingung so um, dass du sie in die Hauptbedingung einsetzen kannst:

    $r^2 = (s^2-h^2)$.

    Eingesetzt in die Hauptbedingung erhältst du:

    $V(h)=\frac {1}{3}\cdot \pi \cdot (s^2-h^2)\cdot h$.

    Um das maximale Volumen zu bestimmen, formulierst du nun die notwendige Bedingung.

    $V'(h)=0$

    Um die Ableitung $V'(h)$ bilden zu können, multiplizierst du die Gleichung zunächst noch aus.

    $V(h)=\frac {\pi\cdot s^2\cdot h}{3}-\frac{\pi\cdot h^3}{3}$.

    Die Ableitung $V'(h)$ lautet nun:

    $V'(h)=\frac {\pi\cdot s^2}{3}-\frac{3\cdot\pi\cdot h^2}{3}$.

    Gekürzt und mit $0$ gleichgesetzt, erhältst du dann:

    $0=\frac {\pi\cdot s^2}{3}-(\pi\cdot h^2)$.

    Umgestellt, durch $\pi$ geteilt und mit Wurzelziehen erhältst du schließlich:

    $h=\sqrt{\frac{s^2}{3}}$.

    Wenn den Wert für $s=3~m$ einsetzt, erhältst du:

    $h=\sqrt{\frac{(3~m)^2}{3}} \approx 1,73~m$.

    Die hinreichende Bedingung für ein Maximum lautet:

    $V''(h)<0$

    Nun bildest du die zweite Ableitung und setzt dort den Wert für $h$ ein:

    $V''(h) = -\frac{6\cdot\pi\cdot h}{3}$

    $V''(h)= -\frac{6\cdot\pi\cdot\sqrt{3}}{3}$

    $V''(h)\approx -10,88<0$.

    Es handelt sich bei $h=\sqrt{3} \approx 1,73~m$ also um den gesuchten Wert für ein Maximum.

    Nun berechnest du noch den Radius $r$:

    $r=\sqrt{s^2-h^2}$.

    Wenn du dort die Werte einsetzt, erhältst du:

    $r=\sqrt{3~m^2-\sqrt{3}^2}\approx 2,45~m$.

    Abschließend berechnest du mit all den errechneten Werten noch die Mantelfläche:

    $M=\pi\cdot r\cdot s$

    $M=\pi\cdot 2,45~m\cdot 3~m \approx 23,09~m^2$.

    Antwort: Jana braucht für das Zelt etwa $23,09~m^2$ Stoff.

  • Berechne, mit welchem Radius der Glasverbrauch bei einem Volumen von $400~ml$ minimal ist.

    Tipps

    Lies die Aufgabe ganz genau, um herauszubekommen, welche Angaben gegeben und gesucht sind.

    Das Trinkglas hat keinen Deckel.

    Ein Extremwert ist ein Maximum, wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist.

    Die Hauptbedingung lautet, dass der Glasverbrauch minimal sein soll.

    Die zweite Ableitung der Zielfunktion muss bei dieser Aufgabe größer als Null sein.

    Lösung

    Gegeben ist das Volumen von $400~ml$. Das Glas ist zylinderförmig. Gesucht ist der Radius, bei dem der Glasverbrauch minimal ist. Eigentlich ist der Lösungsweg sehr ähnlich zu den bisherigen Aufgaben, allerdings ist hier zu beachten, dass ein Glas keinen Deckel hat. Insofern ist die Formel zu Berechnung der Oberfläche etwas anders:

    $O=\pi \cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h$.

    Anschließend stellst du die Gleichung der Nebenbedingung so um, dass eine Variable isoliert ist und setzt dies in die Hauptbedingung ein, um die Zielfunktion zu ermitteln.

    Dann setzt du die erste Ableitung der Zielfunktion mit Null gleich, um den Extremwert zu berechnen. Um zu prüfen, ob sich sich bei dem Extremwert auch um ein Minimum handelt, wie es in der Aufgabe gefordert ist, muss die zweite Ableitung der Zielfunktion größer als Null sein. Ist dies gegeben, hast du den Radius errechnet für einen minimalen Glasverbrauch bei einem Volumen von $400$ Millilitern.

    Der Radius beträgt: $r=\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$.

  • Bestimme rechnerisch die Höhe des Tunnels, wenn sein Querschnitt maximal ist.

    Tipps

    Seite $a$ des Rechtecks gleicht auch dem Durchmesser (bzw. dem doppelten Radius) des Halbkreises.

    Die Nebenbedingung stellst du so um, dass du eine Variable isolierst. Dies setzt du dann in die Gleichung der Hauptbedingung ein, um die Zielfunktion zu erhalten.

    Der Umfang $U$ setzt sich zusammen aus der Seite $a$ des Rechtecks, zweimal der Seite $b$ des Rechtecks sowie dem Umfang des Halbkreises.

    Lösung

    Gegeben ist der Umfang des Tunnels mit $25$ Metern sowie seine Form, die sich aus einem Rechteck und einem passenden Halbkreis zusammensetzt.

    Gesucht ist die Höhe des Tunnels, wenn die Querschnittsfläche optimal ist. Dafür bestimmen wir zunächst einmal die optimale Querschnittsfläche.

    Wir formulieren zunächst die Hauptbedingung. Sie lautet, dass die Querschnittsfläche des Tunnels möglichst groß, also maximal, sein soll. Die Rechtecksfläche setzt sich aus $A_R=a\cdot b$ zusammen, wobei Seite $a$ auch dem Durchmesser, also dem doppelten Radius, des Halbkreises, also $2\cdot r$, gleicht. Wir können die Gleichung also ausdrücken durch $A_R=2\cdot r\cdot b$.

    Die Fläche des Halbkreises lässt sich berechen durch

    $A_H=\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2$.

    Die Querschnittsfläche des Tunnels beträgt also insgesamt:

    $A_T=2\cdot r\cdot b+\frac{1}{2}\cdot\pi \cdot r^2$.

    Nun formulieren wir die Nebenbedingung. Es gilt, dass der Umfang $U$ gleich $25$ Metern sein soll. Der Umfang $U$ setzt sich zusammen aus der Seite $a$ des Rechtecks, zweimal der Seite $b$ des Rechtecks, sowie dem Umfang des Halbkreises. Für die Seite $a$ können wir wieder $2\cdot r$ einsetzen. Die Formel für den Umfang des Tunnels lautet dann:

    $U_T=2\cdot b + 2\cdot r + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r =25~m$ .

    Aus Haupt- und Nebenbedingung formulieren wir die Zielfunktion, indem wir die Nebenbedingung zum Beispiel nach $b$ umstellen und dann in die Hauptbedingung einsetzen.

    $ \begin{align*} 2\cdot b + 2\cdot r + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r &=25~m \\ 2\cdot b + 2\cdot r + \pi \cdot r &=25~m\\ 2\cdot b&=-2\cdot r-\pi\cdot r +25~m\\ b&=12,5~m-r-\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r \end{align*} $

    Eingesetzt in die Hauptbedingung ergibt sich

    $ \begin{align*} A&=(12,5-r-\frac{\pi}{2}\cdot r) \cdot 2\cdot r+ \pi\cdot r^2\cdot \frac{1}{2}\\ A&=25\cdot r-2 \cdot r^2-\pi\cdot r^2+\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2\\ A&=-\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2-2\cdot r^2+25\cdot r\\ A&=(-\frac{1}{2}\cdot\pi -2)\cdot r^2+25\cdot r \end{align*} $.

    Anschließend bildet man die erste Ableitung der Zielfunktion und setzt diese mit $0$ gleich, um die Extremstelle zu bestimmen.

    $ \begin{align*} A&=(-\frac{1}{2}\cdot\pi -2)\cdot r^2+25\cdot r\\ A'&=(-\pi-4)\cdot r+25\\ 0&=(-\pi-4)\cdot r+25\\ -25&=(-\pi-4)\cdot r\\ r&=\frac{-25}{-\pi -4}\\ r&\approx 3,50~m\\ \end{align*} $.

    Um zu prüfen, ob es sich bei dieser Stelle auch um ein Maximum handelt, bilden wir die zweite Ableitung der Zielfunktion. Ist sie kleiner als $0$, handelt es sich bei der Extremstelle um ein Maximum.

    $A''=-\pi -4 < 0$

    Es handelt sich also um ein Maximum und insofern hat der Querschnitt des Tunnels die maximale Fläche, wenn der Radius $r=\frac{-25}{-\pi -4}$ beträgt.

    Nun setzen wir $r$ noch in die nach $b$ umgestellte Nebenbedingung ein, um einen Wert für $b$ zu erhalten. Schließlich setzt sich die Höhe des Tunnels aus der Summe von $b$ und $r$ zusammen.

    $ \begin{align*} r&=\frac{-25}{-\pi -4}\\ b&=12,5~m-\frac{-25}{-\pi -4}-\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot \frac{-25}{-\pi -4}\\ b&\approx 3,50~m\\ \end{align*} $.

    Nun addieren wir noch $b$ und $r$.

    $b+r \approx 3,50~m+3,50~m\approx 7~m.$

    Antwort: Die Höhe des Tunnels beträgt beim maximaler Querschnittsfläche und einem Umfang von $25$ Metern etwa $7$ Meter.