30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte im Basis- oder Premium-Paket.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage risikofrei testen

Was ist eine Extremwertaufgabe?

Stelle dir das folgende Beispiel vor: Du hast insgesamt $200~m$ Zaun zu Verfügung. Damit sollst du ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt abgrenzen.

Du kannst natürlich verschiedene Rechtecke konstruieren und schauen, welches den größten Flächeninhalt hat. Dies ist allerdings kein sehr mathematisches Vorgehen. Abgesehen davon kannst du dir nicht sicher sein, die optimale Lösung gefunden zu haben.

In der Aufgabenstellung kommt möglichst groß vor. Hier soll also etwas maximal werden. Woran denkst du dann? Richtig, an die Differentialrechnung. Wenn etwas möglichst groß oder möglichst klein werden soll, bestimmst du Extrema. Hierfür untersuchst du die notwendige sowie die hinreichende Bedingung für Extrema.

Eine solche Aufgabe wird als Extremwertaufgabe oder als Extremalaufgabe bezeichnet.

Bei dieser Aufgabe sind zwei Größen unbekannt: Die Länge und die Breite des Rechtecks.

Allgemeines Vorgehen bei Extremwertaufgaben

Zum Lösen von Extremwertaufgaben gehst du wie folgt vor:

  • Du formulierst eine Haupbedingung: Was muss möglichst groß oder möglichst klein werden?
  • Wenn zwei Größen, wie in dem obigen Beispiel, vorkommen, musst du eine Nebenbedingung aufstellen: Welcher Zusammenhang zwischen den beiden Größen ist gegeben?
  • Diese Nebenbedingung stellst du nach einer der beiden unbekannten Größen um.
  • Nun setzt du die umgestellte Nebenbedingung in der Hauptbedingung ein. Die Hauptbedingung hängt nun nur noch von einer Größe ab. Die so erhaltene Funktion wird als Zielfunktion bezeichnet.
  • Abschließend kannst du diese Zielfunktion zweimal ableiten und mit Hilfe der notwendigen sowie hinreichenden Bedingung die Extrema herausfinden.

Beispiel: Flächenmaximales Rechteck

Lass' uns dieses Vorgehen einmal an einem Beispiel üben:

Aufstellen der Hauptbedingung

1059_Rechteck.jpg

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch Länge mal Breite. Beide Größen sind unbekannt, also weist du diesen Größen Variablen, zum Beispiel $x$ und $y$, zu.

Der Flächeninhalt $A(x,y)=x\cdot y$ hängt somit von zwei Variablen ab. Die Fläche $A(x,y)$ soll maximiert werden.

Aufstellen der Nebenbedingung

Du weißt, wie Extrema von Funktionen mit einer Veränderlichen bestimmt werden. Um eine solche Funktion zu erhalten, musst du den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen formulieren. Es ist bekannt, dass der Umfang des Rechtecks, also die gesamte Länge des Zauns, $200~m$ beträgt. Dies führt, unter Verwendung der Formel für den Umfang von Rechtecken, zu der Nebenbedingung $2x+2y=200$.

Umformen der Nebenbedingung nach einer der beiden Variablen

Es ist egal, nach welcher der beiden Variablen du die Nebenbedingung umstellst.

$\begin{array}{rclll} 2x+2y&=&200&|&-2x\\\ 2y&=&200-2x&|&:2\\\ y&=&100-x \end{array}$

Aufstellen der Zielfunktion

Nun kannst du diese Gleichung ($y=100-x$) in die Hauptbedingung ($A(x,y)=x\cdot y$) einsetzen und erhältst die Zielfunktion

$f(x)=x\cdot (100-x)=100x-x^2=-x^2+100x$

Ermitteln der Extrema

Zur Bestimmung der Extrema der Zielfunktion, berechnest du erst einmal deren erste sowie zweite Ableitung:

$\begin{array}{rll} f(x)&=&-x^2+100x\\ f'(x)&=&-2x+100\\ f''(x)&=&-2 \end{array}$

Es gelten die folgenden Bedingungen für Extrema:

  • notwendige Bedingung $f'(x_E)=0$
  • hinreichende Bedingung $f'(x_E)$ und $f''(x_E)\neq 0$. Durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung kannst du bestimmen, welcher Art das Extremum ist: Es liegt ein (lokales) Minimum (Tiefpunkt) vor, wenn $f''(x_E)>0$ ist und ein (lokales) Maximum (Hochpunkt), wenn $f''(x_E)<0$ ist.

$f'(x_E)=0$ führt zu $-2x_E+100=0$. Nun subtrahierst du $100$ und dividierst anschließend durch $-2$. So erhältst du $x_E=50$.

Nun setzt du diesen Wert für $X_E$ in der zweiten Ableitung ein: $f''(x_E)=f''(50)=-2<0$. Es liegt also ein Maximum (Hochpunkt) vor.

Da $y=100-x$ ist, kannst du mit $x_E=50$ auch den $y$-Wert berechnen: $y_E=100-x_E=100-50=50$.

Das flächenmaximale Rechteck mit einem Umfang von $200~m$ ist damit ein Quadrat mit den Seitenlängen $50~m$ und dem Flächeninhalt $A=(50~m)^2=2500~m^2$.

Beispiel: Fußballstadion

Hier siehst du ein weiteres Beispiel:

1059_Stadion.jpg

Es soll ein Fußballplatz gebaut werden. Das rechteckige Spielfeld soll einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Eine Laufbahn (Tartanbahn) der Länge $400~m$ umgibt das Spielfeld. Diese Bahn besteht aus zwei Halbkreisen sowie zwei Seiten des Spielfeldes. Du kannst dies in dem obigen Bild sehen.

  • Hauptbedingung: $~~A(x,y)=x\cdot y\rightarrow \text{max}$
  • Nebenbedingung: $~~2x+\pi y=400$
  • Umformen der Nebenbedingung: $~~x=200-\frac{\pi}{2}y$
  • Einsetzen von $x$ in $A(x,y)$: $~~\left(200-\frac{\pi}{2}y\right)\cdot y=-\frac{\pi}2y^2+200y$
  • Zielfunktion: $~~f(y)=-\frac{\pi}2y^2+200y$
  • Ableitungen: $~~f'(y)=-\pi y+200$ und $f''(y)=-\pi$
  • notwendige Bedingung: $~~f'(y_E)=0$ führt zu $y_E=\frac{200}{\pi}\approx 63,66$
  • hinreichende Bedingung: $~~f''(y_E)=-\pi<0$. Es liegt also ein Maximum vor.

Nun muss noch $x_E$ und der maximale Flächeninhalt $A_{\text{max}}$ berechnet werden:

$x_E=200-\frac{\pi}{2}\cdot \frac{200}{\pi}=100$

$A_{\text{max}}=63,66~m\cdot 100~m=6366~m^2$

Das Spielfeld mit dem maximalen Flächeninhalt $6366~m^2$ hat die Maße $x_E=100~m$ sowie $y_E=63,66~m$.

Videos in diesem Thema

Lösen von Extremwertproblemen

Lösen von Extremwertproblemen

Herzlich willkommen zu einem Video über das Lösen von Extremwertprobleme. Extremwertprobleme sind - kurz gefasst - mathematische Aufgabenstellungen, bei dem eine…

Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung

Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung

Was sind Extremalprobleme? Woran erkenne ich sie? Wie hängen sie mit der Differentialrechnung zusammen? Fragen über Fragen! Mach dir keine Sorgen. Zu Beginn des Videos…

Extremwertaufgabe – Schachteln

Extremwertaufgabe – Schachteln

Hallo, eine der am häufigsten vorkommenden Extremwertaufgaben, ist die mit der nach oben offenen Schachtel. Und die geht so: Aus einem normalen DIN A4 Blatt Papier soll…

Extremwertaufgabe – Rechteck mit minimalem Umfang

Extremwertaufgabe – Rechteck mit minimalem Umfang

Hallo. Ich stelle dir in diesem Video eine sehr typische Aufgabenstellung zu Extremwerten vor. Es ist ein bestimmter Flächeninhalt gegeben. Nun soll ein Rechteck mit…

Extremwertaufgabe – Ziege

Extremwertaufgabe – Ziege

Eine häufig gestellte Extremwertaufgabe ist die Aufgabe mit der Ziege. Es gibt viele verschiedene Variationen der Aufgabe. Ich zeige dir eine. Und die geht so: An einen…

Extremwertaufgabe – Fußballplatz

Extremwertaufgabe – Fußballplatz

Hier habe ich mal eine Extremwertaufgabe vorbereitet, die in vielen Schulbüchern steht. Es soll ein Fußballplatz gebaut werden, um den eine 400m-Bahn verläuft. Mit…

Extremwertaufgabe – Kürzester Laufweg

Extremwertaufgabe – Kürzester Laufweg

Herzlich Willkommen beim 2. Teil der Reihe „ Fußball - WM ( 2 ) - Messi rennt “. Argentinien spielt von rechts nach links gegen Niederlande. Messi beginnt am…

Extremwertaufgabe – Funktionenschar (1)

Extremwertaufgabe – Funktionenschar (1)

Bei Extremwertaufgaben kannst du dein Wissen der Analysis – insbesondere dein Wissen zur Bestimmung von Extrema – anwenden. Das wollen wir bei dieser Aufgabe hier üben.…

Extremwertaufgabe – Funktionenschar (2)

Extremwertaufgabe – Funktionenschar (2)

Im vorangegangenen Video haben wir bereits mit der Bearbeitung einer Extremwertaufgaben begonnen. Gegeben war die Funktionenschar f_k(x) = [ (4-k²)/k ] • (x² - k²).…

Extremwertaufgabe – Streichholzschachtel

Extremwertaufgabe – Streichholzschachtel

Hier kommt eine weitere Extremwertaufgabe, die häufig in Klausuren gestellt wird. Deshalb lohnt es sich, die Aufgabe hier in einem Video zu zeigen. Es geht um eine…

Extremwertaufgabe – Fläche zwischen Graphen

Extremwertaufgabe – Fläche zwischen Graphen

Dieses Video beschäftigt sich mit einem Aufgabenbeispiel aus dem Bereich der Extremwertaufgaben. Hierbei ist der minimale Flächeninhalt gesucht, der sich aus dem Schnitt…

Erlösmaximum

Erlösmaximum

In diesem Video zeige ich dir, wie das Erlösmaximum wie auch die erlösmaximale Ausbringungsmenge berechnet werden. In unserem Beispiel lautet die Erlösfunktion…

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Extremwertaufgaben

12029 testpaket l%c3%b6sen von extremwertproblemen.standbild006

Lösen von Extremwertproblemen

Anzeigen Herunterladen
Preview 12223

Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung

Anzeigen Herunterladen