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Was ist eine Extremwertaufgabe?

Stelle dir das folgende Beispiel vor: Du hast insgesamt $200~m$ Zaun zu Verfügung. Damit sollst du ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt abgrenzen.

Du kannst natürlich verschiedene Rechtecke konstruieren und schauen, welches den größten Flächeninhalt hat. Dies ist allerdings kein sehr mathematisches Vorgehen. Abgesehen davon kannst du dir nicht sicher sein, die optimale Lösung gefunden zu haben.

In der Aufgabenstellung kommt möglichst groß vor. Hier soll also etwas maximal werden. Woran denkst du dann? Richtig, an die Differentialrechnung. Wenn etwas möglichst groß oder möglichst klein werden soll, bestimmst du Extrema. Hierfür untersuchst du die notwendige sowie die hinreichende Bedingung für Extrema.

Eine solche Aufgabe wird als Extremwertaufgabe, Extremwertproblem oder als Extremalaufgabe bezeichnet.

Bei dieser Aufgabe sind zwei Größen unbekannt: Die Länge und die Breite des Rechtecks.

Allgemeines Vorgehen bei Extremwertaufgaben

Zum Lösen von Extremwertaufgaben gehst du wie folgt vor:

  • Du formulierst eine Haupbedingung: Was muss möglichst groß oder möglichst klein werden?
  • Wenn zwei Größen, wie in dem obigen Beispiel, vorkommen, musst du eine Nebenbedingung aufstellen: Welcher Zusammenhang zwischen den beiden Größen ist gegeben?
  • Diese Nebenbedingung stellst du nach einer der beiden unbekannten Größen um.
  • Nun setzt du die umgestellte Nebenbedingung in der Hauptbedingung ein. Die Hauptbedingung hängt nun nur noch von einer Größe ab. Die so erhaltene Funktion wird als Zielfunktion bezeichnet.
  • Abschließend kannst du diese Zielfunktion zweimal ableiten und mit Hilfe der notwendigen sowie hinreichenden Bedingung die Extrema herausfinden.

Beispiel: Flächenmaximales Rechteck

Lass' uns dieses Vorgehen einmal an einem Beispiel üben:

Aufstellen der Hauptbedingung

1059_Rechteck.jpg

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch Länge mal Breite. Beide Größen sind unbekannt, also weist du diesen Größen Variablen, zum Beispiel $x$ und $y$, zu.

Der Flächeninhalt $A(x,y)=x\cdot y$ hängt somit von zwei Variablen ab. Die Fläche $A(x,y)$ soll maximiert werden.

Aufstellen der Nebenbedingung

Du weißt, wie Extrema von Funktionen mit einer Veränderlichen bestimmt werden. Um eine solche Funktion zu erhalten, musst du den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen formulieren. Es ist bekannt, dass der Umfang des Rechtecks, also die gesamte Länge des Zauns, $200~m$ beträgt. Dies führt, unter Verwendung der Formel für den Umfang von Rechtecken, zu der Nebenbedingung $2x+2y=200$.

Umformen der Nebenbedingung nach einer der beiden Variablen

Es ist egal, nach welcher der beiden Variablen du die Nebenbedingung umstellst.

$\begin{array}{rclll} 2x+2y&=&200&|&-2x\\\ 2y&=&200-2x&|&:2\\\ y&=&100-x \end{array}$

Aufstellen der Zielfunktion

Nun kannst du diese Gleichung ($y=100-x$) in die Hauptbedingung ($A(x,y)=x\cdot y$) einsetzen und erhältst die Zielfunktion

$f(x)=x\cdot (100-x)=100x-x^2=-x^2+100x$

Ermitteln der Extrema

Zur Bestimmung der Extrema der Zielfunktion, berechnest du erst einmal deren erste sowie zweite Ableitung:

$\begin{array}{rll} f(x)&=&-x^2+100x\\ f'(x)&=&-2x+100\\ f''(x)&=&-2 \end{array}$

Es gelten die folgenden Bedingungen für Extrema:

  • notwendige Bedingung $f'(x_E)=0$
  • hinreichende Bedingung $f'(x_E)$ und $f''(x_E)\neq 0$. Durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung kannst du bestimmen, welcher Art das Extremum ist: Es liegt ein (lokales) Minimum (Tiefpunkt) vor, wenn $f''(x_E)>0$ ist und ein (lokales) Maximum (Hochpunkt), wenn $f''(x_E)<0$ ist.

$f'(x_E)=0$ führt zu $-2x_E+100=0$. Nun subtrahierst du $100$ und dividierst anschließend durch $-2$. So erhältst du $x_E=50$.

Nun setzt du diesen Wert für $X_E$ in der zweiten Ableitung ein: $f''(x_E)=f''(50)=-2<0$. Es liegt also ein Maximum (Hochpunkt) vor.

Da $y=100-x$ ist, kannst du mit $x_E=50$ auch den $y$-Wert berechnen: $y_E=100-x_E=100-50=50$.

Das flächenmaximale Rechteck mit einem Umfang von $200~m$ ist damit ein Quadrat mit den Seitenlängen $50~m$ und dem Flächeninhalt $A=(50~m)^2=2500~m^2$.

Beispiel: Fußballstadion

Hier siehst du ein weiteres Beispiel:

1059_Stadion.jpg

Es soll ein Fußballplatz gebaut werden. Das rechteckige Spielfeld soll einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Eine Laufbahn (Tartanbahn) der Länge $400~m$ umgibt das Spielfeld. Diese Bahn besteht aus zwei Halbkreisen sowie zwei Seiten des Spielfeldes. Du kannst dies in dem obigen Bild sehen.

  • Hauptbedingung: $~~A(x,y)=x\cdot y\rightarrow \text{max}$
  • Nebenbedingung: $~~2x+\pi y=400$
  • Umformen der Nebenbedingung: $~~x=200-\frac{\pi}{2}y$
  • Einsetzen von $x$ in $A(x,y)$: $~~\left(200-\frac{\pi}{2}y\right)\cdot y=-\frac{\pi}2y^2+200y$
  • Zielfunktion: $~~f(y)=-\frac{\pi}2y^2+200y$
  • Ableitungen: $~~f'(y)=-\pi y+200$ und $f''(y)=-\pi$
  • notwendige Bedingung: $~~f'(y_E)=0$ führt zu $y_E=\frac{200}{\pi}\approx 63,66$
  • hinreichende Bedingung: $~~f''(y_E)=-\pi<0$. Es liegt also ein Maximum vor.

Nun muss noch $x_E$ und der maximale Flächeninhalt $A_{\text{max}}$ berechnet werden:

$x_E=200-\frac{\pi}{2}\cdot \frac{200}{\pi}=100$

$A_{\text{max}}=63,66~m\cdot 100~m=6366~m^2$

Das Spielfeld mit dem maximalen Flächeninhalt $6366~m^2$ hat die Maße $x_E=100~m$ sowie $y_E=63,66~m$.