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Logarithmusgleichungen

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Mathe-Team
Logarithmusgleichungen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Logarithmusgleichungen

Logarithmusgleichung? Das kenne ich nicht. In diesem Video wird dir vorgestellt, was Logarithmengleichungen sind und wie man einfache Logarithmengleichungen löst. An verschiedenen Beispielen soll dir hierbei das Verfahren verdeutlicht werden, wie du Logarithmengleichungen umformen kannst. Am Ende des Videos kannst du jemand Anderem erklären, wie was eine Logarithmusgleichung ist und wie man sie umformen kann.Viel Spaß beim Lernen!

Transkript Logarithmusgleichungen

Hallo, schön, dich mal wieder hier zu sehen. Heute werden wir uns mit dem Lösen von Logarithmengleichungen beschäftigen. Dazu müssen wir erst einmal wissen, was Logarithmengleichungen sind.

Was sind Logarithmengleichungen?

Die Erklärung hierfür ist sehr einfach, dies sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument des Logarithmus auftritt. Hier siehst du einige Beispiele.

  • Logarithmus zur Basis 10 von x gleich 2
  • 2 mal Logarithmus zur Basis 2 von 2 mal x gleich 6
  • Logarithmus zur Basis 2 von 4 mal x gleich 10
  • Logarithmus zur Basis 25 von x gleich einhalb

Logarithmengleichung Beispiellösung 1

Zum Lösen dieser vier Gleichungen muss man eigentlich nur die Definition des Logarithmus anwenden. Wenn a hoch b gleich c ist, dann gilt, dass der Logarithmus zur Basis a von c, b ist . a ist also die Basis, b ist der Exponent und c ist das Ergebnis der Potenz.

Logarithmengleichungen kann man auf diese Weise umwandeln und lösen. Machen wir das doch einmal bei unserer ersten Beispielaufgabe.

Der Logarithmus zur Basis 10 von x gleich 2 entspricht der Gleichung 10 hoch 2 gleich x10 hoch 2 gleich 100, also ist 100 gleich x. Als Ergebnis erhalten wir somit x gleich 100.

Logarithmengleichung Beispiellösung 2

Schauen wir uns die zweite Gleichung an. 2 mal Logarithmus zur Basis 2 von 2 mal x gleich 6. Zunächst dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten Logarithmus zur Basis 2 von 2 mal x gleich 3. Jetzt formen wir die Gleichung um und erhalten 2 hoch 3 gleich 2 mal x2 hoch 3 gleich 8, also 8 gleich 2 mal x.

Nun dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten 4 gleich x. Die Gleichung gilt also für x gleich 4.

Logarithmengleichung Beispiellösung 3

Bei der dritten Gleichung geht es wieder etwas schneller. Logarithmus zur Basis 2 von 4 mal x gleich 10. Wir wandeln diese Gleichung um, zu: 2 hoch 10 gleich 4 mal x. 2 hoch 10 gleich 1024, also 1024 gleich 4 mal x. Nun dividieren wir die Gleichung durch 4 und erhalten x gleich 256.

Logarithmengleichung Beispiellösung 4

Jetzt kommen wir zum letzten unserer Beispiele: Logarithmus zur Basis 25 von x gleich 1 Halb, auch hier formen wir zunächst wieder um. 25 hoch ein Halb gleich x Hoch ein Halb ist das gleiche wie die Wuadratwurzel. Also Wurzel aus 25 gleich x. Die Wurzel von 25 ist 5. Also gilt: x gleich 5.

Logarithmengleichung Beispiellösung 5

Nun haben wir bereits alle vier Beispielaufgaben gelöst und du hast vielleicht auch schon ein Gefühl dafür bekommen, wie man Logarithmusgleichungen löst. Die Methode, die du eben kennengelernt hast, kannst du bei jeder einfachen Logarithmengleichung anwenden. Wir wollen dies noch an zwei letzten Beispielen vorführen.

2 mal Logarithmus zur Basis 27 von x gleich zwei Drittel. Hier müssen wir die Gleichung erst wieder durch 2 dividieren und erhalten Logarithmus zur Basis 27 von x gleich ein Drittel. Nun formen wir dies wieder um. 27 hoch ein Drittel gleich x. Hoch ein Drittel ist dasselbe wie die dritte Wurzel, also muss man die dritte Wurzel von 27 ziehen. Man erhält 3 = x. x ist also 3.

Logarithmengleichung Beispiellösung 6

2 mal Logarithmus zur Basis 16 von 2 mal x gleich ein Halbes ist nun das zweite und letzte Beispiel: Zunächst dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten. Logarithmus zur Basis 16 von 2 mal x gleich ein Viertel. Jetzt kommt wieder die Umformung nach Definition.

16 hoch ein Viertel gleich 2 mal x. Hoch ein Viertel ist gleichbedeutend mit der vierten Wurzel, also müssen wir aus 16 die vierte Wurzel ziehen und erhalten 2. 2 gleich 2 mal x, diese Gleichung dividieren wir durch 2 und erhalten 1 gleich x. Die Lösung der Gleichung ist also x = 1

Zusammenfassung

So nun haben wir bereits sechs Beispielaufgaben gerechnet. Das dürfte erst einmal genügen. Eigentlich müssten wir bei jeder Aufgabe noch eine Probe durchführen. Da unsere Logarithmengleichungen aber so einfach waren, verzichten wir diesmal auf die Probe. Du wirst allerdings noch anspruchsvollere Gleichungen kennenlernen, bei denen eine Probe dann unverzichtbar ist.

Das üben wir dann beim nächsten Mal! Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Juliane Viola D.:
    Du hast Recht: Betrachtest du die quadratische Gleichung x²=25, so hat diese die zwei Lösungen -5 und 5.
    Wendest du die Wurzelfunktion auf 25 an, dann muss das Ergebnis hingegen eindeutig sein, da Funktionen eindeutig definiert sind.
    Man legt in der Mathematik die Wurzel von 25 als 5 fest.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 6 Jahren
  2. Eine Frage zum Thema 25 hoch 1/2
    wenn x²= 25, dann ist x1=5, x²= -5
    ist in dem Beispiel im Film 25 hoch 1/2 immer nur +5, oder nur deswegen, weil -5 nicht zur Definitionsmenge gehört?

    Von Juliane Viola D., vor fast 6 Jahren

Logarithmusgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusgleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was Logarithmengleichungen sind.

    Tipps

    Ein Logarithmus hat die Form

    $\log_c a=b$.

    Dabei ist

    • $c$ die Basis,
    • $a$ das Argument und
    • $b$ der Logarithmuswert.

    Wenn $5^3=125$ ist, ist umgekehrt

    $\log_5 125=3$.

    Lösung

    Was sind Logarithmengleichungen?

    Dies sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument des Logarithmus auftritt: $\log_c x=b$.

    Hier sind einige Beispiele:

    • $\log_{10}x=2$
    • $2\log_2{2x}=6$
    • $\log_2 4x=10$
    • $\log_{25}x=\frac12$.

  • Gib die Lösungen der Logarithmusgleichungen an.

    Tipps

    Die Variable $x$ steht im Argument der Logarithmusgleichung.

    Bei der Potenz ist $x$ das Ergebnis.

    Es ist zum Beispiel

    $\log_2 x=3~\Leftrightarrow~x=2^3=8$.

    Bei einer Gleichung der Form

    $3\log_2 x=9$

    musst du zunächst durch $3$ dividieren.

    Lösung

    Zur Lösung einer Logarithmengleichung verwendet man

    $a ^ b = c ~\Leftrightarrow~ \log_a c=b$:

    • $\log_{10}x=2 ~\Leftrightarrow~ x=10^2=100$.
    • $2\log_2 2x=6 ~\Leftrightarrow~\log_2 2x=3 ~\Leftrightarrow~2x=2^3$. Dies ist äquivalent zu $x=4$.
    • $\log_2 4x=10 ~\Leftrightarrow~ 4x=2^{10}~\Leftrightarrow~ 4x=1024$. Nach Division durch $4$ erhalten wir $x=256$.
    • $\log_{25}x=\frac12 ~\Leftrightarrow~x=25^{\frac12}=\sqrt {25}=5$.
  • Entscheide, ob eine Logarithmusgleichung vorliegt.

    Tipps

    Bei einer Logarithmusgleichung steht die Variable im Argument des Logarithmus.

    Die Lösung einer Logarithmusgleichung ist das Ergebnis einer Potenz.

    Drei der sechs Gleichungen sind Logarithmusgleichungen.

    Lösung

    Wenn man Gleichungen lösen möchte, ist es wichtig zu wissen, welche Art der Gleichung vorliegt:

    • lineare Gleichungen werden durch Umformungen gelöst,
    • quadratische Gleichungen durch die p-q-Formel,
    • Wurzelgleichungen durch Quadrieren,
    • ...
    Logarithmusgleichungen werden durch Potenzieren, die Umkehrung des Logarithmus, gelöst.

    Bei Logarithmusgleichungen steht die Variable im Argument des Logarithmus: $\log_c x=b$.

    Die folgenden Gleichungen sind Logarithmusgleichungen:

    • $2\log_{\frac12}x=-1$
    • $\log_3\frac 13x =6$
    • $\log_4 x+2=4$
    Alle übrigen Gleichungen sind keine Logarithmengleichungen.

  • Ermittle die Lösung der Logarithmusgleichung.

    Tipps

    Verwende die Definition des Logarithmus

    $a ^ b = c ~\Leftrightarrow~ \log_a c=b$.

    Um diese Definition anzuwenden, darf vor dem Logarithmus kein Faktor mehr stehen.

    Die Lösung der Potenzgleichung $\log_a x=b$ ist $x=a^b$.

    Lösung

    Die Gleichung

    $5\log_5 5x=25$

    muss zunächst durch $5$ dividiert werden:

    $\log_5 5x=5$.

    Jetzt wird gemäß der Definition vom Logarithmus umgeformt:

    $5x=5^5=3125$.

    Zuletzt wird durch $5$ dividiert und man erhält die Lösung

    $x=625$.

  • Definiere den Logarithmus.

    Tipps

    Der Logarithmus kehrt das Potenzieren um.

    Wenn du wissen willst, mit welcher Zahl man $2$ potenzieren muss, damit man $32$ erhält, kannst du diesen Term aufstellen:

    $2^x=32$.

    Um diesen Term zu lösen, wird der Logarithmus $\log_2 32=x$ gelöst. Es ergibt sich $x=5$.

    Lösung

    Um Logarithmengleichungen zu lösen, muss man die Definition des Logarithmus anwenden:

    Wenn $a^b=c$ ist, dann gilt, dass $\log_a c=b$ ist.

    Dabei ist

    • $a$ die Basis,
    • $b$ der Exponent sowie
    • $c$ das Ergebnis der Potenz.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Wenn dir das Lösen einer solchen Gleichung wegen des Logarithmusterms zu kompliziert erscheint, ersetze den Logarithmusterm:

    $\frac{2 y} {4}-2 = -3$.

    Forme diese Gleichung nach $y$ um, sodass du dann den Term $\log_3 \frac19 x = y$ erhältst.

    Schließlich solltest du zu einer Gleichung der Form $\log_a x=b$ kommen, welche durch $x=a^b$ gelöst werden.

    Die Lösung ist eine natürliche Zahl.

    Lösung

    Es soll die Gleichung

    $\frac{2 \log_3 \frac19x} {4}-2 = -3$

    gelöst werden.

    Zunächst formt man so lange um, bis der Logarithmusterm alleine steht:

    $\begin{align*} \frac{2 \log_3 \frac19x} {4}-2 &= -3&|&+2\\ \frac{2 \log_3 \frac19x} {4} &= -1&|&\cdot 4\\ 2 \log_3 \frac19x&= -4&|&:2\\ \log_3 \frac19x&=-2. \end{align*}$

    Nun kann die Definition des Logarithmus angewendet werden:

    $\frac19x=3^{-2}=\frac 1{3^2}=\frac 19$.

    Durch Multiplikation mit $9$ erhält man $x=1$.

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