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Logarithmusgleichungen

Beim Lösen von Logarithmusgleichungen, welche Logarithmen enthaltende Gleichungen sind, muss man geschickt vorgehen.

Was sind Logarithmusgleichungen?

Zunächst einmal wenden wir uns der Frage zu, was Logarithmusgleichungen sind: In einer Logarithmusgleichung kommt die Variable als Argument eines Logarithmus vor.

Wir wiederholen hierfür einmal, was ein Logarithmus ist: Das Logarithmieren ist die Umkehroperation zum Potenzieren. Schau dir ein Beispiel an:

  • Du weißt bestimmt, dass $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 =32$ ist.
  • Umgekehrt könnte die Frage lauten: Mit welcher Zahl musst du die $2$ potenzieren, damit $32$ herauskommt?

Diese Frage führt uns zu der Gleichung $2^{x}=32$. Die obige Frage beantwortet der Logarithmus $x=\log_2{32}$.

Etwas allgemeiner gilt, dass die Gleichung $a^x=b$ durch $x=\log_a{b}$ gelöst wird. Dabei muss die Basis $a$ des Logarithmus immer positiv sein.

Nun lernst du noch verschiedene spezielle Logarithmen kennen, welche du am häufigsten verwenden wirst:

  • Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abgekürzt so: $\log_{10}=\lg$.
  • Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.
  • Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.

Nun kommen wir zu einem ersten Beispiel für eine Logarithmusgleichung: $\text{ld}(8x)=5$.

Logarithmusgleichungen lösen

Um eine Logarithmusgleichung zu lösen, musst du potenzieren. Die Basis der Potenz ist dabei die Basis des Logarithmus. Wir kommen noch einmal zu dem obigen Beispiel $\text{ld}(8x)=5$ zurück.

Da der $\text{ld}$ die Basis $2$ hat, musst du mit der Basis $2$ potenzieren. Das führt zu $8x=2^{5}=32$. Nun kannst du durch $8$ dividieren und erhältst damit die Lösung $x=\frac{32}{8}=4$.

Beispielaufgaben

Im Folgenden siehst du noch weitere Beispiele für das Lösen von Logarithmusgleichungen.

Beispiel 1: $\lg(3x+1)=3$

  1. Potenziere. Die Basis ist $10$. So erhältst du die Gleichung $3x+1=10^{3}$, also $3x+1=1000$.
  2. Subtrahiere $1$ zu $3x=999$.
  3. Dividiere durch $3$. So kommst du zu der Lösung $x=\frac{999}3=333$.

Beispiel 2: $3\ln(5x-1)=1,5$

  1. Hier dividierst du zunächst durch $3$. So isolierst du den Logarithmus und erhältst $\ln(5x-1)=0,5$.
  2. Nun potenzierst du zur Basis $e$, der Euler'schen Zahl. Es folgt $5x-1=\sqrt{e}$.
  3. Addiere die $1$ und dividiere schließlich durch $5$. So gelangst du zu $x=\frac{\sqrt{e}+1}{5}\approx0,53$.

Beispiel 3: $\text{ld}\left(x^{2}-4\right)=5$

Diese Gleichung sieht nun etwas komplizierter aus. Das Vorgehen ist allerdings analog zu den vorigen Beispielen:

  1. Potenziere zur Basis $2$ zu $x^{2}-4=32$.
  2. Addiere die $4$ zu $x^{2}=36$.
  3. Zuletzt ziehst du die Wurzel und erhältst die beiden Lösungen $x_{1}=\sqrt{36}=6$ sowie $x_{2}={-\sqrt{36}}={-6}$.

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