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Logarithmusgleichungen – Beispiele

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Peter Mahns
Logarithmusgleichungen – Beispiele
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Logarithmusgleichungen – Beispiele

Lineare oder quadratische Gleichungen löst du sicher schon im Schlaf! Durch die Einführung des „Logarithmus” entsteht nun ein neuer Gleichungstyp, die Logarithmusgleichung. Du wirst in diesem Video auch nochmal sehen, wie wichtig die Logarithmusgesetze zum eventuellen Vereinfachen der Logarithmusgleichungen sein werden. In diesem Zusammenhang ist es für dich von Vorteil, wenn du die Definition des Logarithmus als Gleichung bereits kennst.

Transkript Logarithmusgleichungen – Beispiele

Hallo und herzlich willkommen zu meinem Video zum Thema Lösen von Logarithmengleichungen. Stell dir vor: Das Gewicht einer Wassermelone nimmt täglich um 12% zu. In wie vielen Tagen hat eine Wassermelone ihr Gewicht verdreifacht?

Welche Angaben können wir dem Sachverhalt entnehmen? Da die Wassermelone täglich um 12% wächst, beträgt der Wachstumsfaktor also 1,12. Einen konkreten Anfangswert für das Gewicht der Wassermelone kennen wir nicht. Wir bezeichnen den Anfangswert mit a für a ungleich 0. Nun können wir die Gleichung für das exponentielle Wachstum aufstellen, nämlich f(t)=a•1,12t mit der Zeit t in Tagen. Gesucht ist entsprechend der Wert für t, für den gilt, dass sich das Gewicht, also der der Anfangswert a, verdreifacht hat. f(t) muss also gleich 3a sein. Für die Lösung machen wir folgendes. Es ist f(t)=3a äquivalent zu a•1,12t =3a. Teilen wir auf beiden Seiten durch a, dann erhalten wir 1,12t=3. Doch wie machen wir jetzt weiter? t ist der Exponent; wie stellen wir die Gleichung so um, dass wir t isolieren können? Da kommt der Logarithmus ins Spiel.

Dafür wiederholen wir erst einmal kurz, was du zum Logarithmus schon weißt. Betrachten wir einmal die allgemeine Gleichung der Form bx=p. Es seien p und b Zahlen größer als Null sowie b ungleich 1.

Um die Gleichung lösen zu können, bilden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis b. Der Logarithmus von b hoch x zur Basis b ist gleich x. Rechts erhalten wir den Logarithmus von p zur Basis b.

Speziell für b=10 ergibt sich x=log10(p), wofür man auch verkürzend lg(p) schreibt. Dieser Logarithmus wird wegen der Basis “10” auch Zehnerlogarithmus genannt. Von besonderer Wichtigkeit ist auch die Schlussfolgerung aus der Definition des Logarithmus’, nämlich blog b(p) =p, sodass speziell für b=10 also 10lg(p)=p folgt. Für den Logarithmus gibt es außerdem ein paar Rechengesetze. Zu den obigen Werten sei noch q>0 und r eine beliebige reelle Zahl. Dann gilt: Der Logarithmus vom Produkt p•q zur Basis b ist die Summe vom Logarithmus von p zur Basis b und dem Logarithmus von q zur Basis b. Weiterhin ist der Logarithmus vom Quotienten aus p und q zur Basis b gleich der Differenz vom Logarithmus von p zur Basis b und dem Logarithmus von q zur Basis b. Ein weiteres Logarithmusgesetz ist logb(pr)=r•logb(p). Der Exponent r wird also zu einem Vorfaktor.

Mit Hilfe dieses Wissens können wir nun unser Einstiegsproblem mit der Wassermelone lösen: Wir haben schon die passende Gleichung aufgestellt und beide Seiten durch a geteilt. Um diese Gleichung nun weiter lösen zu können, wenden wir auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus an und es ergibt sich die äquivalente Gleichung von lg(1,12t)=lg(3). Nun ist lg(1,12t)= t•lg(1,12). Somit ist t also gleich lg(3) geteilt durch den lg(1,12). Dieser Quotient ist mit Hilfe des Taschenrechners rund 9,69. Die Wassermelone benötigt also knapp 10 Tage, um ihr Gewicht zu verdreifachen.

Sehen wir uns noch eine weitere Aufgabe an, in der du den Logarithmus anwenden musst. Wir wollen die Gleichung 3=lg(2x)+lg(4) lösen. Du siehst, dass im Vergleich zu Aufgabe 1 nun der Zehnerlogarithmus gleich zu Beginn vorkommt. Um nach x auflösen zu können, müssen wir nun die Basis 10 mit dem Logarithmus von 3 und mit Logarithmus von 2x plus Logarithmus von 4 potenzieren. Wir formen zunächst die rechte Seite der Gleichung mit Hilfe von Logarithmusgesetzen um. Es ergibt sich lg(2x•4), was weiterhin lg(8x) ist. Demzufolge ergibt sich die Gleichung 3=lg(8x). Setzen wir nun beide Seiten in den Exponenten und wählen als Basis 10, dann ergibt sich 103=10lg(8x). Die Gleichung ist äquivalent zu 1000=8x, sodass x also 125 ist. Machen wir die Probe. Es ist lg(8•125)=lg(1000)=3, womit unser Ergebnis korrekt ist. Nun sehen wir uns gemeinsam noch eine letzte Aufgabe an. Wir wollen erneut eine Logarithmusgleichung lösen. Diese lautet lg(2x-4)=2. Aus dieser Gleichung folgt analog wie in der vergangenen Aufgabe, dass wir zur Basis 10 potenzieren können und 10lg(2x-4)=102 erhalten. Diese Gleichung ist äquivalent zu 2x-4=100. Durch weitere äquivalente Umformungen erhalten wir 2x=104 und damit x=52. Machen wir auch hier die Probe. Es ist lg(2•52-4)=lg(100)=2, sodass unser Ergebnis korrekt ist.

Fassen wir noch einmal zusammen: Um Aufgaben mit Logarithmusgleichungen lösen zu können, sind Logarithmusgesetze eine wichtige Grundlage. Eine Gleichung der Form bx=p löst man, indem man auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus anwendet, also lg(bx)=lg(p). Die Lösung ist dann x ist gleich lg(p) geteilt durch lg(b). Eine Logarithmusgleichung der Form lg(a•x)=b löst man durch exponieren, d.h. man verwendet die Basis 10 und setzt den Rest in den Exponenten. Also 10lg(a•x)=10b. Die Lösung ist dann x ist gleich 10b geteilt durch a.

Das war‘s von mir. Ich danke dir für‘s Zuschauen und bis zum nächsten Mal.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. @JuliaP.:
    Wenn der Bestand um 12% wächst, dann müssen die vorherigen 100% bleiben und noch 12% dazu kommen. Man muss also 100%+12%=112% rechnen und da 100%=1,0 als Dezimalzahl ist, sind die 112% dann 1,12 als Wachstumsfaktor.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor etwa einem Jahr
  2. Woher weiß ich das12 % 1,12 Wachstumsfaktor ist?

    Von Julia.P, vor etwa einem Jahr
  3. hallo, vielen Dank für eine Antwort, das schätze ich sehr,
    auch für alle anderen: habe gestern noch ganz viele Filmchen weiter geschaut, also bei "Exponentialgleichungen", und mit deren Hilfe konnte ich heute morgen die Gleichung ganz schnell lösen (sorry, die liebe Anleitung von Dir passt nicht so ganz auf die Übung, vllt. verwechselt).
    Für andere zur Hilfe: eine Zwischenrechnung ist: 10 hoch 3 =5x
    auf das 10 kommt man durch lg: =log10(...)

    Von Juliane Viola D., vor fast 6 Jahren
  4. @Juliane Viola D.:
    Forme zunächst so um, dass auf der einen Seite der Logarithmus und auf der anderen Seite der Rest steht. Im Anschluss beide Seiten in den Exponenten schreiben und dabei die Basis 10 wählen.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 6 Jahren
  5. Für die Lösung der Übung fehlt es mir noch der Anleitung, den Film konnte ich nachvollziehen.

    Von Juliane Viola D., vor fast 6 Jahren

Logarithmusgleichungen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusgleichungen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Wassermelone dreimal so schwer ist wie am Anfang.

    Tipps

    Wenn du eine Gleichung zu lösen hast, in welcher die Unbekannte im Exponenten steht, isolierst du zunächst den Term mit der Unbekannten im Exponenten.

    Schaue dir das Beispiel $2^x=32$ genau an.

    Du kannst die Probe machen: $2^5=32$. Das ist korrekt.

    Lösung

    Es ist bekannt, dass die Wachstumsfunktion $f(t)=a\cdot 1,12^t$ lautet. Das Dreifache des Anfangsgewichtes ist $3a$. Damit ist die folgende Gleichung zu lösen:

    $a\cdot 1,12^t=3a$.

    Division durch $a$ führt zu $1,12^t=3$. Da die Unbekannte im Exponenten steht, muss logarithmiert werden. Es wird im Folgenden der Logarithmus zur Basis $10$, der dekadische Logarithmus $\lg$, verwendet:

    $\begin{array}{rclll} 1,12^t&=&~3&|&\lg(~~)\\ \lg(1,12^t)&=&~\lg(3)&|&\lg(p^r)=r\cdot \lg(p)\\ t\cdot\lg(1,12)&=&~\lg(3)&|&:\lg(1,12)\\ t&=&~\frac{\lg(3)}{\lg(1,12)}\approx 9,69 \end{array}$

    Das bedeutet, dass die Wassermelone nach ungefähr 10 Tagen ihr Gewicht verdreifacht hat.

  • Ermittle die Lösung der Logarithmusgleichung $3=\lg(2x)+\lg(4)$.

    Tipps

    Verwende die Rechenregeln für Logarithmen:

    • $\log_b\left(p\cdot q\right)=\log_b(p)+ \log_b(q)$
    • $\log_b\left(\frac pq\right)=\log_b(p)- \log_b(q)$
    • $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$

    Nach der Definition des Logarithmus gilt zum Beispiel:

    $\log_x(32)=5~\Leftrightarrow~5^x=32$.

    $\lg=\log_{10}$ ist der Logarithmus zur Basis $10$.

    Lösung

    Dies ist eine Logarithmusgleichung. Der verwendete Logarithmus ist der dekadische Logarithmus, also der Logarithmus zur Basis $10$. Anstelle von $\log_{10}$ können wir auch $\lg$ schreiben.

    Zunächst wird die folgende Regel für Logarithmen angewendet:

    $\log_b\left(p\cdot q\right)=\log_b(p)+ \log_b(q)$

    Damit kann die rechte Seite der Gleichung zusammengefasst werden:

    $3=\lg((2x)\cdot4)=\lg(8x)$.

    Nun wird die Definition des Logarithmus verwendet:

    $10^3=8x$.

    Da $10^3=1000$ ist, erhält man die Lösung durch Division durch $8$:

    $x=\frac{1000}8=125$.

  • Löse die jeweilige Logarithmusgleichung.

    Tipps

    Ganz allgemein gilt

    $\log_b(x)=a~\Leftrightarrow~x=b^a$.

    Denke daran, dass $\lg=\log_10$ der dekadische Logarithmus ist, also der Logarithmus zur Basis $10$.

    Lösung

    Um die Logarithmusgleichungen zu lösen, wird jedes Mal die abgebildete Äquivalenz verwendet.

    Schauen wir uns dies anhand der folgenden Beispiele genauer an:

    • $\lg(2x-4)=2~\Leftrightarrow~2x-4=10^2$. Zunächst wird die Potenz ausgerechnet $2x-4=100$. Durch Addition von $4$ und anschließender Division durch $2$ gelangt man zu $x=52$.
    • $\log_2(x)=5~\Leftrightarrow~x=2^5=32$
    • $\log_3(x)=4~\Leftrightarrow~x=3^4=81$
    • $\log_5(3x+5)=3~\Leftrightarrow~3x+5=5^3=125$. Nun wird $5$ subtrahiert zu $3x=120$. Division durch $3$ führt zu der Lösung $x=40$.
    • $\log_4(x-10)=3~\Leftrightarrow~x-10=4^3=64$. Addition von $10$ führt zu $x=74$.
    • $\lg(10x+500)=3~\Leftrightarrow~10x+500=10^3=1000$. Zuerst wird $500$ subtrahiert zu $10x=500$ und dann durch $10$ dividiert. So gelangt man zu $x=50$.
  • Forme die Gleichung $3+2\cdot 4^x=35$ um.

    Tipps

    Isoliere den Term $4^x$ so weit als möglich. Am Schluss verwendest du den Logarithmus.

    Die verwendete Rechenregel lautet

    $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$.

    Führe am Schluss eine Probe durch. Die Lösung ist eine natürliche Zahl.

    Lösung

    Zunächst wird der Term $4^x$ isoliert:

    $\begin{array}{rclll} 3+2\cdot 4^x&=&~35&|&-3\\ 2\cdot 4^x&=&~32&|&:2\\ 4^x&=&~16 \end{array}$

    An dieser Stelle kann man die Lösung bereits erkennen: Mit welcher Zahl muss man $4$ potenzieren, um $16$ zu erhalten? Klar: Das ist die $2$. Wenn dies allerdings nicht so direkt zu sehen ist, muss mit dem Logarithmus gerechnet werden:

    $\begin{array}{rclll} 4^x&=&~16&|&\lg(~~)\\ \lg(4^x)&=&~\lg(16)&|&\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)\\ x\cdot \lg(4)&=&~\lg(16)&|&:\lg(4)\\ x&=&~\frac{\lg(16)}{\lg(4)}=2 \end{array}$

    Es ist sinnvoll, eine Probe durchzuführen. Hierfür wird der gefundene Wert für $x$ in dîe Ausgangsgleichung eingesetzt.

    $3+2\cdot 4^2=3+2\cdot 16=3+32=35$ $~~~~$✓

  • Gib die Rechenregeln für Logarithmen $\log _b$ an.

    Tipps

    Du kennst doch sicher noch die Rechenregeln für Exponenten:

    Es gilt $b^{n+m}=b^n\cdot b^m$.

    Setze

    • $n=\log_b(p)$ und
    • $m=\log_b(q)$.

    Für eine beliebige Basis $b>0$ und $b\neq 1$ gilt

    $b^{\log_b(p)}=p$.

    Betrachtet wird der Logarithmus zur Basis $b$. Dabei muss $b>0$ und ungleich $1$ sein.

    Weiter seien $p$ und $q$ positiv und $r$ eine beliebige reelle Zahl.

    Lösung

    Um Gleichungen zu lösen, in denen entweder der Logarithmus vorkommt oder aber verwendet wird, ist es wichtig, Rechenregeln für den Logarithmus zu kennen. Diese sind:

    • $\log_b\left(p\cdot q\right)=\log_b(p)+ \log_b(q)$
    • $\log_b\left(\frac pq\right)=\log_b(p)- \log_b(q)$
    • $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$
  • Leite Formeln für die Halbwertszeit und die Verdoppelungszeit her.

    Tipps

    Der Anfangsbestand muss nicht bekannt sein, um die folgenden Gleichungen zu lösen:

    • $c\cdot a^t=2c$
    • $c\cdot a^t=0,5c$

    Löse eine Gleichung der Form $a^t=b$ durch Anwendung des Logarithmus $\lg$ auf beiden Seiten der Gleichung.

    Verwende die folgende Regel zum Rechnen mit Logarithmen:

    $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$

    Lösung

    Die Verdoppelungszeit oder die Halbwertszeit sind wichtige Begriffe im Zusammenhang mit exponentiellen Prozessen. Man könnte sich fragen:

    • Wann hat sich ein angelegter Betrag mit einem gegebenen Zinssatz verdoppelt? (Wachstum)
    • Wann hat sich die Strahlung eines radioaktiven Elementes, welche exponentiell abnimmt, halbiert? (Zerfall)
    Für beide Zeiten können Formeln hergeleitet werden, in denen nur noch der Wachtums- oder Zerfallsfaktor $a$ eingesetzt werden muss.

    Da die Umformungen vollkommen analog erfolgen, werden diese nur für den Fall der Verdoppelung durchgeführt:

    $\begin{array}{rclll} c\cdot a^x&=&~2c&|&:c\\ a^x&=&~2&|&\lg(~~)\\ \lg(a^x)&=&~\lg(2)&|&\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)\\ x\cdot \lg(a)&=&~\lg(2)&|&:\lg(a)\\ x&=&~\frac{\lg(2)}{\lg(a)} \end{array}$

    Um die jeweilige Zeit zu unterscheiden, werden Indices verwendet. Es gilt also

    • $T_2=\frac{\lg(2)}{\lg(a)}$
    • $T_{\frac12}=\frac{\lg\left(\frac12\right)}{\lg(a)}$
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