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Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung 06:50 min

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Transkript Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung

Hallo! In diesem Video geht es um eine spezielle Anwendung der Differentialrechnung, nämlich um sogenannte Extremalprobleme, auch Extremwertaufgaben genannt. Zunächst werden wir klären, was Extremalprobleme auszeichnet, woran wir sie erkennen und wie sie mit der Differentialrechnung zusammenhängen. Anschließend bearbeiten wir ein konkretes Extremalproblem und gehen alle Schritte bis zu seiner Lösung durch. Bei vielen praktischen Problemen geht es darum ein optimales Ergebnis zu erzielen. Die Dauer eines bestimmten Vorgangs soll möglichst klein sein, ein bestimmtes Volumen möglichst groß, der Gewinn einer Firma maximal und so weiter. Diese Zielgrößen hängen wiederum von bestimmten Variablen ab, die über Nebenbedingungen zusammenhängen. Das Volumen hängt beispielsweise von der Höhe und der Grundfläche ab. Die Frage ist nun: Wie muss ich die Werte dieser Variablen wählen, damit das Ergebnis optimal ist. Woran erkenne ich also Extremalprobleme? Nun, gesucht ist in der Regel der maximale oder minimale Wert einer Größe, den ich durch die Änderung bestimmter Variablen optimieren kann. Und der Zusammenhang zur Differentialrechnung? Wenn ich es schaffe die Zielgröße, die optimiert werden soll, als Funktion zu schreiben, dann ist ein Extremwert dieser Funktion gesucht. Um den zu berechnen, benötigen wir die Ableitung der Zielfunktion, also die Differentialrechnung. Wir demonstrieren das Vorgehen bei Extremwertproblemen an einer typischen Beispielaufgabe. Ein neues Stadion mit rechteckiger Rasenfläche und Laufbahn soll gebaut werden. Dabei soll die Rasenfläche möglichst groß werden, die Länge der Laufbahn ist hingegen vorgegeben: 400 Meter. Die Rasenfläche A ist unsere Zielgröße. Sie hängt von zwei Variablen ab, der Länge x und Breite y. Die Rasenfläche berechnet sich aus dem Produkt dieser beiden Variablen. Als Nebenbedingung ist jedoch gegeben, die Laufbahn muss 400 Meter lang sein, wobei der innere Umfang gemeint ist. Er setzt sich aus den beiden geraden Teilen mit jeweils Länge x und zwei Halbkreisen mit jeweils Durchmesser y zusammen. Die Nebenbedingung U lautet U=400=2x+21/2πy. Die Nebenbedingungen können wir nach y auflösen, 2x auf die andere Seite bringen und durch pi teilen. Wir erhalten . Anschließend setzen wir die Nebenbedingung in die Zielgröße ein und eliminieren dadurch y. Jetzt haben wir unsere Zielfunktion die nur noch von einer Variablen abhängt. Wir formen die rechte Seite der Gleichung zu um. Für A berechnen wir nun die Extremstelle, da A ja maximal werden soll. Wir bilden die Ableitung und setzen sie gleich null. Die letzte Gleichung lösen wir nach x auf. Ist das ein relatives Maximum? Ja, denn die zweite Ableitung . Und ist x=100 ein sinnvolles Ergebnis? Ja, denn die Länge x ist größer 0 und kleiner als 200, was der Extremfall dafür wäre, wenn die Breite y=0 wäre. Jetzt müssen wir nur noch den Wert von A an der Stelle x=100 berechnen. was gerundet 6366 ergibt. Da die Rasenfläche A sich aus dem Produkt der Länge x und der Breite y berechnet, können wir nun auch y bestimmen. Wir lösen dazu die Gleichung 6366=100*y und erhalten für y 63,66 Meter. Wir sind am Ziel. Die Rasenfläche ist maximal für die Länge x=100 Meter und y=63,66 Meter. Sie beträgt rund 6366 Quadratmeter. Beispielhaft haben wir gezeigt, wie du eine Extremwertaufgabe angehst. Fasst du die Zielgröße und deren Nebenbedingung zusammen, so erhältst du die Zielfunktion. Anschließend berechnest du den gewünschten Extremwert, überprüfst dein Ergebnis und formulierst deine Antwort auf das gegebene Problem. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.

3 Kommentare
  1. Giuliano test

    @User1234 6:
    Es wird erklärt, wie sich die Gleichung aus der Nebenbedingung ergibt. Der innere Umfang der Laufbahn soll 400 m lang sein.
    Der Umfang der inneren Laufbahn (U) besteht aus zwei Strecken der Länge x und dem Umfang der beiden Halbkreise mit dem Durchmesser y. Den Umfang eines Kreises berechnet man mit der Formel: Durchmesser * π bzw. 2 * Radius * π.
    Also erhalten wir:
    U=400=2*(x) + 2* (1/2 *y * π).
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    erklär das mal das nächste wie du auf diese werte kommst. z.b. bei der NB

    Von User1234 6, vor etwa 4 Jahren
  3. Img 20151011 002133

    Wow! Die Ordentliche Schrift macht es super angenehm zu zu gucken :) danke.

    Von Juliane G., vor mehr als 4 Jahren

Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Extremwertaufgabe.

    Tipps

    Wie geht man allgemein bei Extremwertaufgaben vor?

    Durch das Zusammenfassen der Zielgröße und der Nebenbedingungen erhalten wir die Zielfunktion.

    Anschließend berechnen wir den gewünschten Extremwert, überprüfen unser Ergebnis und formulieren eine Antwort.

    Lösung

    Als Erstes stellen wir die Neben- und die Hauptbedingung auf. Du kannst anhand der Aufgabenstellung erkennen, welche Angaben die Neben- bzw. Hauptbedingung sind. Die Nebenbedingung besteht stets aus gegebenen Werten und die Hauptbedingung ist eine Größe, die maximal oder minimal bzw. möglichst groß oder klein werden soll.

    Hauptbedingung: $A(x, y)=x\cdot y $

    Nebenbedingung: $U=400=2\cdot x + 2 \cdot \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot y=2\cdot x+\pi \cdot y$

    Anschließend formen wir die Nebenbedingung nach $y$ um und setzen den Term in die Hauptbedingung ein, um eine Zielfunktion abhängig von $x$ zu erhalten:

    $y=\frac{400-2\cdot x}{\pi}$

    $A(x)=x\cdot \frac{400-2\cdot x}{\pi}=\frac{400}{\pi}\cdot x-\frac{2}{\pi}\cdot x^2$

    Unsere Zielfunktion $A(x)$ leiten wir ab und setzen die erste Ableitung gleich Null, damit wir die Extremstellen berechnen können:

    $A'(x)=\frac{400}{\pi}-\frac{2}{\pi}\cdot 2x=\frac{400}{\pi}-\frac{4}{\pi}\cdot x$ $ \quad 0=\frac{400}{\pi}-\frac{4}{\pi}\cdot x \Leftrightarrow x=\frac{400}{\pi}\cdot \frac{\pi}{4}=100$.

    Wir fragen uns, ob $x=100$ ein relatives Maximum ist. Prüfen können wir Maxima durch das Einsetzen von $x=100$ in die zweite Ableitung.

    $A''(100)= -\frac{\pi}{4}$

    ist stets negativ und somit immer ein Maximum.

    Der Wert $100$ ist auch sinnvoll, denn die Länge $x$ ist größer als $0$ und kleiner als der Extremfall $200$.

    Durch das Einsetzen von $x=100$ in unsere Zielfunktion erhalten wir die maximale Rasenfläche:

    $A(100)=\frac{400}{\pi}\cdot 100-\frac{2}{\pi}\cdot (100)^2\approx6366$.

    Den Wert $y=63,66$ erhalten wir ebenfalls durch das Einsetzen der berechneten Werte in die Neben- oder in die Hauptbedingung.

    Wir wissen nun also, dass die Rasenfläche maximal wird für die Länge $x=100~m$ und die Breite $y=63,66~m$. Sie beträgt dann rund $6366~m^2$.

  • Gib diejenigen Sachverhalte an, die Extremalprobleme sind.

    Tipps

    Bei vielen praktischen Extremalproblemen geht es darum, ein optimales Ergebnis zu erzielen.

    Wörter wie maximal oder minimal sowie möglichst groß bzw. möglichst klein deuten auf ein Extremalproblem hin.

    Lösung

    Formulierungen wie „soll maximal bzw. minimal sein“ oder „soll möglichst klein bzw. groß sein“ sind typisch für Extremalprobleme. Schließlich ist das Ziel eines solchen Problems, ein optimales Ergebnis zu erzielen.

  • Bestimme die Maße der Buchseite.

    Tipps

    Der Materialaufwand entspricht der Gesamtfläche der Buchseite.

    Beginne mit dem Aufstellen der Neben- und Hauptbedingung, um die Zielfunktion zu bilden.

    Bedenke, dass nicht $x$ und $y$ gesucht sind, sondern die gesamte Breite bzw. Länge der Seite.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Aufstellung der Neben- und Hauptbedingung:

    Nebenbedingung: $A=162=x \cdot y$

    Hauptbedingung: $A_{Ges}=(x+2)\cdot (y+4)=xy+2y+4x+8$

    Nun setzen wir die nach $x$ umgeformte Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein und erhalten die Zielfunktion:

    $x=\frac{162}{y}$

    $A_{Ges}(y)=\frac{162}{y}\cdot y+2y + 4\cdot \frac{162}{y}+8=2y+648 y^{-1}+170$

    Um die Extremwerte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung von $A_{Ges}$

    $A'_{Ges}(y)=2-648 y^{-2}=2-\frac{648}{y^2}$

    und setzen diese Null:

    $ \begin{align*} 0 &= 2-\frac{648}{y^2} &|& -2 ~| :(-648) \\ \frac{1}{324} &= \frac{1}{y^2} \\ 324 &= y^2 \end{align*} $

    Nach Wurzelziehen erhalten wir $y_1 = 18$ und $y_2 =-18$. Den negativen $y$-Wert können wir außer Acht lassen, da es keine negative Seitenlänge geben kann. Mithilfe der zweiten Ableitung prüfen wir, ob $y =18$ ein Minimum ist:

    $A''_{Ges}(y)=1296 y^{-3}=\frac{1296}{y^3}$

    $A''_{Ges}(18)=\frac{1296}{18^3}=\frac{6}{27} > 0$

    Die Variable $x$ berechnen wir durch Einsetzen von $y=18$ in die Nebenbedingung:

    $x=\frac{162}{18}=9$

    Da die Buchseite jeweils links und rechts bzw. oben und unten Ränder hat, addieren wir deren Summe zu unseren berechneten Werten hinzu:

    Breite: $b= x+1~cm+1~cm = 9~cm +1~cm+1~cm= 11~cm$

    Länge: $l=y+2~cm+2~cm=18~cm+2~cm+2~cm=22~cm$

    Letztendlich können wir die Gesamtfläche berechnen:

    $A_{Ges}= b \cdot l =11~cm \cdot 22~cm= 242~cm^2$

  • Erkläre die folgenden Begriffe.

    Tipps

    Orientiere dich an den Beispielen aus dem Video.

    Extrema können Maxima oder Minima sein.

    Lösung

    Bei Extremalproblemen ist stets ein minimaler oder maximaler Wert einer Größe gesucht, um ein optimales Ergebnis zu erzielen.

    Die Hauptbedingung stellt die zu optimierende Größe dar, welche meist von zwei Variablen abhängt, die man wiederum als Nebenbedingung in Beziehung zueinander stellt.

    Die Differentialrechnung findet ihre Anwendung in solchen Aufgaben, weil wir Maxima oder Minima, also Extremwerte, berechnen. Dafür setzen wir die erste Ableitung der Zielfunktion mit Null gleich und setzen den errechneten Wert in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis der zweiten Ableitung positiv, so haben wir ein Minimum, ist es negativ, so haben wir an dieser Stelle ein Maximum.

  • Berechne die Länge und Breite des Geheges.

    Tipps

    Beginne mit dem Aufstellen der Neben- und Hauptbedingung.

    Umfang eines Rechtecks: $U=2a+2b$

    Flächeninhalt eines Rechtecks: $A=a \cdot b$

    Extremwerte berechnet man mithilfe der ersten beiden Ableitungen:

    $f'(x)=0$ und $f''(x) \neq 0$.

    Lösung

    Der Umfang eines Rechtecks beträgt $U=2a+2b$.

    Den Flächeninhalt berechnet man durch $A=a \cdot b$.

    Also können wir die Neben- und die Hauptbedingung aufstellen:

    Nebenbedingung: $4 = 2a+2b$

    Hauptbedingung: $A=a \cdot b$

    Wir formen die Nebenbedingung nach der Variablen a um und setzen diese in die Hauptbedingung ein, um die Zielfunktion zu erhalten.

    $a= 2-b$

    $A(b)= (2-b) \cdot b= -b^2 +2b$

    Wir leiten die Zielfunktion ab und berechnen anschließend den Extremwert.

    $A'(b)=-2b +2$

    $ \begin{align*} 0 &= -2b +2 &|& -2 ~| :(-2)\\ b &= 1 \end{align*} $

    Wir prüfen mithilfe der zweiten Ableitung, ob ein Maximum vorliegt:

    $A''(1)=-2 < 0$

    Abschließend berechnen wir $a$, indem wir $b=1$ in die Nebenbedingung einsetzen.

    $a= 2-1=1$

    Das Gehege sollte $1~m$ breit und $1~m$ lang, also quadratisch sein.

  • Berechne die gesuchten Zahlen.

    Tipps

    Beginne mit dem Aufstellen der Haupt- und Nebenbedingung.

    Fasse die Zielgröße und die Nebenbedingung zusammen, um die Zielfunktion zu erhalten.

    Berechne die Extremwerte der Zielfunktion und prüfe dein Ergebnis.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Aufstellung der Neben- und Hauptbedingung:

    Nebenbedingung: $a \cdot b = 900$

    Hauptbedingung: $S(a,b)=a+b $

    Wir formen die Nebenbedingung nach der Variablen $a$ um und setzen den Term in die Hauptbedingung ein:

    $a=\frac{900}{b}$

    $S(y)=\frac{900}{b} \cdot b=900\cdot b^{-1}+b$.

    Nun bilden wir die erste Ableitung und setzen diese $0$, um die Extremwerte zu berechnen.

    $S'(b) = -900\cdot b^{-2}+1$

    $ \begin{align*} 0 &= \frac{-900}{b^2}+1 &|& -1~| :(-900) \\ \frac{1}{900} &= \frac{1}{b^2} \\ 900 &= b^2 &|& \sqrt{~~~}\\ b_1 &= 30 \\ b_2 &=-30 \end{align*} $

    Den negativen Wert können wir außer Acht lassen, da $a$ und $b$ natürliche Zahlen sein sollen. Wir überprüfen mithilfe der zweiten Ableitung, ob $b_1 = 30$ ein Minimum ist.

    $S''(30) = 1800\cdot 30^{-3}= \frac{18}{270} > 0$

    Abschließend berechnen wir die zweite gesuchte Variable $a$ durch das Einsetzen von $b=30$ in die Nebenbedingung:

    $a=\frac{900}{30}=30$.