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Extremwertaufgaben, Newton-Verfahren und Mittelwertsatz

Du hast eine gewisse Menge Material zur Verfügung. Daraus möchtest du zum Beispiel eine quaderförmige Box mit maximalem Volumen bauen. Wie gehst du vor?

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Themenübersicht in Extremwertaufgaben, Newton-Verfahren und Mittelwertsatz

Extremwertaufgaben

Eine Extremwertaufgabe ist eine Aufgabenstellung, bei welcher etwas maximiert oder minimiert werden soll.

Typische Aufgabenstellungen sind:

  • Forme aus einem Draht mit gegebener Länge ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.
  • Aus einer gegebenen Form soll ein möglichst großes Dreieck ausgeschnitten werden oder der Verschnitt beim Ausschneiden soll möglichst klein sein.

Oft kommen solche Aufgaben auch im Zusammenhang mit einer Kurvendiskussion vor, denn es werden die Maxima und Minima von Funktionen ermittelt. Hier siehst du, wie du dabei Schritt für Schritt vorgehst:

  1. Stelle eine Hauptbedingung auf: „Was ist zu minimieren oder maximieren?“
  2. Formuliere die Nebenbedingung. Diese ist gegeben durch den Zusammenhang der einzelnen Unbekannten.
  3. Forme diese Nebenbedingung nach einer der Unbekannten um.
  4. Setze den umgeformten Term für die Unbekannte in die Hauptbedingung ein. Du erhältst so eine Zielfunktion.
  5. Nun kannst du mit dieser Zielfunktion das Extremum bestimmen.

Der Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz besagt:

$f$ sei eine auf dem abgeschlossenen Intervall $[a;b]$ stetige Funktion. Weiter sei $f$ auf dem offenen Intervall $(a;b)$ differenzierbar.

Es existiert dann mindestens ein $x_{0}\in(a;b)$ mit $f'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Was bedeutet diese Aussage anschaulich?

1058_Mittelwertsatz.jpg

Hier siehst du eine Parabel. Zu jeder Sekante durch zwei Punkte der Parabel, hier beispielsweise $P(0|2)$ und $Q(3|5)$, gibt es mindestens eine Tangente an dieser Parabel, welche die gleiche Steigung wie die Sekante besitzt.

Ein Spezialfall des Mittelwertsatzes ist der Satz von Rolle. In diesem gelten die gleichen Voraussetzungen wie im Mittelwertsatz. Zusätzlich gilt $f(a)=f(b)$, das heißt, dass die $y$-Koordinate zweier Punkte die gleiche ist. Die Sekante durch diese beiden Punkte hat dann die Steigung $0$, sie verläuft also parallel zur $x$-Achse. Somit muss also mindestens eine waagerechte Tangente an dem Funktionsgraphen existieren. Eine Tangente mit der Steigung $0$ ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Extremstelle.

Das Newton-Verfahren

Mit Hilfe des Newton-Verfahrens kann man die Nullstellen von Funktionen näherungsweise bestimmen. Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren, bei dem ähnliche Schritte so oft wiederholt werden, bis man sich der Lösung so weit wie möglich angenähert hat.

Hier siehst du einen Schritt des Newton-Verfahrens am Beispiel $f(x)=0$. Der Graph $G_{f}$ der Funktion $f$ ist in der Abbildung grün dargestellt.

Newton_lösung.jpg

  1. Starte mit $x_0$. Wenn $f(x_{0})=0$ ist, bist du bereits fertig. Andernfalls gehst du über zu Schritt 2.
  2. Bestimme die Tangente an $G_{f}$ in $P_{0}(x_{0}|f(x_{0}))$. Ermittle die Nullstelle $x_{1}$ der Tangente.
  3. Ist $f(x_{1})=0$, bist du fertig. Andernfalls wiederholst du Schritt 2 mit $P_{1}(x_{1}|f(x_{1})$.

Du iterierst so lange, bis du ein $x_{n}$ gefunden hast, für welches $f(x_{n})\approx 0$ gilt.

Dieses Verfahren wendest du dann an, wenn du die Lösung der Gleichung nicht durch andere bekannte Verfahren, wie beispielsweise die $pq$-Formel oder die Polynomdivision, finden kannst.