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Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift 09:30 min

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Transkript Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift

Newton-Verfahren- Herleitung der Iterationsvorschrift

Hallo und herzlich willkommen. Es existieren Funktionen deren exakten Nullstellen ihr mit den bisherigen Rechenverfahren noch nicht ermitteln könnt. Aus diesem Grund wollen wir dir heute ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen zeigen. Es heißt: Newton-Verfahren.

Du kennst sicherlich schon das Verfahren der Intervallhalbierung. Dir ist dann auch bekannt, dass dort die Konvergenzgeschwindigkeit recht gering ist. Wenn man mit Hilfe der Intervallhalbierung zum Beispiel die Nullstelle der Funktion f von x gleich x hoch 3 plus x hoch 2 plus 2 bestimmen möchte, so dauert das ziemlich lange. Auch hilft uns hier das Verfahren der Polynomdivision nicht weiter, da die Funktion nur eine Nullstelle hat, die zudem nicht ganzzahlig ist. Dies kannst du am Graphen der Funktion erkennen.

Hier hilft uns das Newton-Verfahren weiter. Schauen wir uns dazu einmal das folgende Bild an. Du siehst hier eine Funktion mit einer Nullstelle. An der Stelle x0 wurde die Tangente am Graphen durch den Punkt P0 eingezeichnet. An der Stelle x1 schneidet die Tangente die x-Achse. Wie du siehst, liegt x1 näher an der Nullstelle des GRaphen als x0.

Wenn man nun die Tangente der Funktion f an der Stelle x1 einzeichnet, dann würden wir einen neuen Schnittpunkt der x-Achse an der Stelle x2 erhalten. x2 liegt noch näher an der gesuchten Nullstelle der Funktion f.

Dieses Verfahren können wir nun endlos oft wiederholen und werden immer näher an die Nullstelle rücken. Da die Tangenten eine so große Bedeutung bei diesem Annäherungsverfahren an die Nullstelle hat, wird es auch als Tangentenverfahren bezeichnet.

Bisher haben wir aber nur eine zeichnerische Lösung des Problems gefunden. Zur Berechnung benötigen wir aber eine allgemeingültige Formel, die wir nun entwickeln.

Betrachten wir dazu alleine die Tangente durch den Punkt P0 an der Stelle x0. Damit wir die Stelle x1, an der die Tangente die x-Achse schneidet, berechnen können, benötigen wir die Tangentengleichung. Wir wissen, dass die Tangentengleichung die Form einer linearen Gleichung f (x)= mx + b besitzt, wobei m der Anstieg und b die y-Achsenverschiebung ist.

Wir wissen, dass f strich von x0 die Steigung der Tangente ist. Die y-Achsenverschiebung b müssen wir allerdings erst noch bestimmen. Dies wollen wir nun tun. Wir wissen, dass f an der Stelle x0 sich berechnen lässt durch f von x0 gleich f strich von x0 mal x0 +b. Diese Gleichung lösen wir nun nach b auf und erhalten damit den gesuchten y-Achsenabschnitt der Tangentenfunktionsgleichung: b gleich f von x0 minus f strich von x0 mal x0.

Als Funktionsgleichung der Tangente erhalten wir damit: t von x = f strich von x0 mal x + f von x0 - f strich von x0 mal x0

Um nun aber x1 zu bestimmen, betrachten wir die Stelle, an der die Tangente die x-Achse schneidet und damit den y-Wert 0 annimmt. Unser Ansatz lautet t(x)=0. Wir erhalten 0 = f strich von x0 mal x1 plus f von x0 minus f strich von x0 mal x0

Diese Gleichung dividieren wir im ersten Schritt durch f strich von x0 und erhalten 0 gleich x1 + f von x0 geteilt durch f strich von x0 minus x0. Als nächstes addieren wir auf beiden Seiten x0 und subtrahieren von beiden Seiten f von x null durch f strich von x null. Wir erhalten am Ende x1 gleich x0 - f von x0 geteilt durch f strich von x0.

Damit haben wir die Stelle x1, an dem die Tangente die x-Achse schneidet berechnet. Wiederholen wir nun das Verfahren und bilden die Tangente an der Stelle x1, dann können wir die Stelle x2 berechnen. Auf diese Weise erhalten wir x-Werte, die immer näher an die gesuchte Nullstelle rücken.

Da man das Verfahren ja immer wieder anwenden kann und dann die berechneten Werte neu einsetzt, machen wir eine allgemeingültige Formel aus unserer Formel für x1. Wir ersetzen x0 mit x n und x1 mit x n+1 und erhalten die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: x n+1 = x n - f von x n durch f strich von x n.

Damit du verstehst, wie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens angewendet wird, betrachten wir noch einmal unser Startbeispiel f von x = x hoch 3 + x hoch 2 +2.

Für das Newton-Verfahren brauchen wir die 1. Ableitung der Funktion. Sie heißt f strich von x gleich 3x hoch 2 + 2x.

Nun müssen wir f von x und f strich von x in die Iterationsvorschrift x n+1 = x n - f von x n durch f strich von x n einsetzen und erhalten x n+1 = x n - xn hoch drei + xn hoch 2 + 2 geteilt durch 3 mal xn hoch 2 + 2xn.

Zu Beginn musst du einen Startwert bestimmen, ein x0, das du als ersten Wert in die Iterationsvorschrift einsetzt. Wir wählen als Startwert x0 gleich -1. Setzt du für x0 -1 in die Iterationsvorschrift ein, erhälst du für x1 gleich -1 - f von -1 geteilt durch f strich von -1 gleich -1 - 2 geteilt durch 1 ist gleich -1 - 2 gleich -3.

Wenn wir den Wert von x1 nun in die Iterationsvorschrift einsetzen, dann erhalten wir auf dieselbe Weise für x2 gerundet -2,238. Diesen Wert setzen wir wieder in die Iterationsvorschrift ein und erhalten für x3 gerundet -1,836. Diesen Wert setzen wir wieder in die Iterationsvorschrift ein, um den Wert für x4 zu erhalten: Er beträgt gerundet -1,709. Ein letztes Mal setzen wir nun diesen Wert in unsere Iterationsvorschrift ein und erhalten für x5 gerundet -1,696.

Wie du siehst, unterscheiden sich die Werte von x4 und x5 kaum noch. Das bedeutet, dass wir schon sehr nah an der Nullstelle der Funktion f sind.

Zur Probe setzen wir den Wert von x5 in unsere Funktionsgleichung ein. f von -1,696 = -1,696 in Klammern hoch 3 + -1,696 in Klammern hoch 2 + 2 = -0,002, also fast Null. Wir haben die Nullstelle damit also bereits näherungsweise bestimmt.

Wenn wir uns unseren Graphen noch einmal anschauen, so sehen wir, dass natürlich auch unmittelbar in der Nähe der Stelle x5 = -1,696 die Nullstelle der Funktion f ist.

Ich hoffe, dass du die Herleitung der Iterationsvorschrift verstanden hast und damit noch viele Nullstellen bestimmen wirst! Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!

2 Kommentare
  1. Felix

    @Timmermann Um: Da hast du gut aufgepasst. Es müssen gewisse Voraussetzungen erfüllt sein, damit das Newton-Verfahren tatsächlich funktioniert. Die Nullstelle kann approximiert werden, wenn beispielsweise folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
    1.) Der Startwert liegt in der Nähe der gesuchten Nullstelle.
    2.) Die Funktion f ist differenzierbar.
    3.) Die erste Ableitung f’ sollte in der Nähe der Nullstelle ungleich Null sein.
    Die letzte Bedingung sichert damit, dass f'(xn) nicht Null wird.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Es kann aber sein, dass man gar nicht durch f´(xn) teilen kann!!!!

    Von Timmermann Um, vor fast 4 Jahren

Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift kannst du es wiederholen und üben.

  • Skizziere das Newton-Verfahren.

    Tipps

    Eine Tangente berührt einen Graphen in einem Punkt.

    $x_0$ setzt du immer zuerst in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Der Schnittpunkt eines Graphen mit der $x$-Achse wird auch Nullstelle genannt.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren gehst du von einer gegebenen Funktion mit einer Nullstelle aus. Du wählst einen Startwert $x_0$. An dieser Stelle zeichnest du an den Graphen, durch den Punkt $P_0$, eine Tangente zu $x_0$. Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1$. $x_1$ liegt näher an der gesuchten Nullstelle. An der Stelle $x_1$ zeichnest du nun die Tangente zu $x_1$ durch den Punkt $P_1$. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der $x$-Achse ist dann $x_2$. Wiederholst du dieses Verfahren, erhältst du immer genauere Näherungswerte der Nullstelle. Zum Ausdruck kommt das Newton-Verfahren in der Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

  • Beschreibe die Vorgehensweise beim Newton-Verfahren.

    Tipps

    Beim Newton-Verfahren verwendest du die Nullstelle einer Tangente, um der Nullstelle der Funktion näher zu kommen. Deshalb wird es auch Tangenten-Verfahren genannt.

    Du kannst der Nullstelle immer näher kommen, je öfter du das Verfahren wiederholst.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren gehst du von einer gegebenen Funktion mit einer Nullstelle aus. Du wählst einen geeigneten Startwert $x_0$ aus.

    An dieser Stelle zeichnest du an den Graphen, durch den Punkt $P_0$, eine Tangente.

    Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1$. Wenn du $x_0$ passend gewählt hast, dann liegt $x_1$ näher an der gesuchten Nullstelle als $x_0$.

    Nun legst du an der Stelle $x_1$ eine Tangente an den Graphen. Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_2$.

    Wiederholst du dieses Verfahren immer weiter, erhältst du immer genauere Näherungswerte $x_n$ für die Nullstelle der Funktion.

  • Bestimme die Nullstellen der vier Funktionen mit dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Bilde die Ableitung der Funktion $f(x)$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die allgemeine Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ ein.

    Setze den Startwert $x_0 = -1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

    Du brauchst also die Funktion und ihre Ableitung. Die Funktionen sind bereits gegeben. Zum Bestimmen der Ableitungen helfen dir die Potenz- und Summenregel für Ableitungen.

    Hast du die Ableitung bestimmt, kannst du sie und die Funktion in die Iterationsvorschrift einsetzen. Leitest du z.B. $f(x) = x^3 + x^2 + 2$ ab, erhältst du $f'(x) = 3x^2+2x$. Setzt du dies in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2 + 2x_n}$

    Dabei musst du drauf achten, $x$ mit $x_n$ zu ersetzen.

    In diese Iterationsvorschrift setzt du den Startwert $x_0 = -1$ ein, und erhältst

    $ x_1 = -1 - \frac{(-1)^3 + (-1)^2 + 2}{3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1)} = -1 -\frac{2}{-1} = -3$

    Setzt du nun $x_1 = -3$ in die Iterationsvorschrift, erhältst du den nächsten Näherungswert $x_2$. Führst du die Iteration erneut aus, erhältst du $x_3$.

    Für die übrigen Funktionen kannst du analog vorgehen. Dabei verwendest du jeweils den Startwert $x_0$, der einer Funktion zugeordnet ist. Die Ergebnisse findest du in der Tabelle. Die Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet, falls nötig.

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} f(x) & f'(x) & x_{n+1} & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline x^3+x^2+2 & 3x^2 + 2x & x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2 + 2x_n} & 1 & 0,2 & -3,7385 & -2,6856 \\ \hline 2x^3-x^2+1 & 6x^2 - 2x & x_n - \frac{2x_n^3 - x_n^2 + 1}{6x_n^2 - 2x_n} & -2 & -1,3214 & -0,9128 & -0,7144 \\ \hline -x^3+2x-2 & -3x^2 + 2 & x_n - \frac{-x_n^3+2x_n-2 }{ -3x_n^2 + 2 } & 2 & 1,4 & 0,899 & -1,2879 \\ \hline -x^3+2x^2-2x & -3x^2 + 2x - 2 & x_n - \frac{-x_n^3 + x_n^2 - 2x_n}{-3x_n^2 + 2x_n - 2} & 1 & 0 & & \\ \end{array}$

    Für die letzte Funktion ist das Newton-Verfahren nicht notwendig, da die Funktion $f(x)=-x^3+2x^2-2x$ eine ganzzahlige Nullstelle besitzt. Diese liegt bei $x=0$. Es gilt nämlich $f(0)=0$.

  • Bestimme die ersten zwei Näherungswerte mithilfe des Newton-Verfahrens.

    Tipps

    Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

    Die Ableitung der Funktion lautet $f'(x) = 3x^2+2x$.

    Setzte die Funktion und ihre Ableitung in die Iterationsvorschrift ein.

    Setze den Startwert $x_0 = -1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Das Newton-Verfahren bedient sich der Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)$, welche bereits gegeben ist, und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst also zuerst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = 3x^2+2x$.

    Setzt du nun $f(x_n)$ und $f'(x_n)$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2+2x_n}$.

    Zusammen mit dem Startwert $x_0 = -1$, erhältst du

    $ x_{1} = -1 - \frac{f(-1)}{f'(-1)} = -1 -\frac{(-1)^3 + (-1)^2 + 2}{3 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)} = -1 -\frac{2}{1} = -3 $.

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift erhältst du

    $x_{2} = -3 - \frac{f(-3)}{f'(-3)} \approx -2,238 $.

    Dieses Vorgehen führst du weiter und gelangst im zu $x_3 \approx -1,840$, $x_4 \approx -1,710$ und $x_5 \approx -1,696$.

    $x_4$ und $x_5$ unterscheiden sich kaum noch. Du bist also nahe der Nullstelle.

    Zur Probe kannst du den Wert von $x_5$ in die Funktion einsetzen und erhältst $f(-1,696) = (-1,696)^3 + (-1,696)^2 + 2 \approx -0,002$. Die Nullstelle liegt also näherungsweise bei $x = -1,696$.

  • Bestimme die Iterationsvorschrift.

    Tipps

    Die Iterationsvorschrift lautet

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du benötigst also die Ableitung der Funktion.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift ein.

    Lösung

    Im Allgemeinen lautet die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du musst die Funktionen also einmal ableiten. Dazu helfen dir die Summen- und Potenzregel für Ableitungen.

    Hast du die Ableitung der Funktion bestimmt, kannst du $f(x_n)$ und $f'(x_n)$ in die Iterationsvorschrift einsetzen und erhältst

    Beispiel 1

    $\begin{align} f(x) & = x^3 + x^2 + 2;~f'(x) = 3x^2 + 2x \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2 + 2x_n} \\ \end{align}$

    Beispiel 2

    $\begin{align} f(x) & = 2x^3 - x^2 + 1;~f'(x) = 6x^2 - 2x \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{2x_n^3 - x_n^2 + 1}{6x_n^2 - 2x_n} \\ \end{align}$

    Beispiel 3

    $\begin{align} f(x) & = -x^3 + 2x^2 - 2;~f'(x) = -3x^2 + 4x \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{-x_n^3 + 2x_n^2 - 2}{-3x_n^2 + 4x_n} \\ \end{align}$

    Beispiel 4

    $\begin{align} f(x) & = -x^3 + x^2 - 2x;~f'(x) = -3x^2 + 2x - 2 \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{-x_n^3 + x_n^2 - 2x_n}{-3x_n^2 + 2x_n - 2} \end{align}$

  • Bestimme die Nullstelle nach dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Die Ableitung der Funktion lautet $f(x) = -3x^2 - 2x - 1$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ ein.

    Setze den Startwert $x_0 = 2$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Bei dem Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)=-x^3-x^2-x+1$ und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst zunächst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = -3x^2-2x-1$. Setzt du nun beides in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{-x_n^3 - x_n^2 - x_n + 1}{-3x_n^2-2x_n-1} $

    Zusammen mit dem Startwert $x_0 = 2$, erhältst du

    $ x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{-2^3 - 2^2 - 2 + 1}{-3 \cdot 2^2-2 \cdot 2-1} = \frac{21}{17} \approx 1,2353 $

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift erhältst du den nächsten Näherungswert

    $x_{2} = 1,2353 - \frac{f(1,2353)}{f'(1,2353)} = 1,2353 - \frac{1,2353^3 - 1,2353^2 - 1,2353 + 1}{-3 \cdot 1,2353^2-2 \cdot 1,2353-1} \approx 0,7823$

    Dieses Vorgehen führst du weiter und gelangst im nächsten Schritt zu $x_3 \approx 0,5839$, $x_4 \approx 0,5451$ und $x_5 \approx 0,5437$.

    Setzt du nun den Wert von $x_5$ in die Funktion ein ergibt sich $f(0,5437) \approx -0,00003 \approx 0$. Du hast die Nullstelle also näherungsweise bestimmt.