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Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift

Das Newton-Verfahren ist eine Methode, um Nullstellen von Funktionen zu approximieren. Du erfährst, wie es funktioniert und erhältst Schritt-für-Schritt-Anleitungen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Mathe-Team
Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Vorgehensweise beim Newton-Verfahren.

    Tipps

    Beim Newton-Verfahren verwendest du die Nullstelle einer Tangente, um der Nullstelle der Funktion näherzukommen. Deshalb wird es auch Tangenten-Verfahren genannt.

    Du kannst der Nullstelle immer näher kommen, je öfter du das Verfahren wiederholst.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren gehst du von einer gegebenen Funktion mit einer Nullstelle aus. Du wählst einen geeigneten Startwert $x_0$ aus.

    An dieser Stelle zeichnest du an den Graphen, durch den Punkt $P_0$, eine Tangente.

    Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1$. Wenn du $x_0$ passend gewählt hast, dann liegt $x_1$ näher an der gesuchten Nullstelle als $x_0$.

    Nun legst du an der Stelle $x_1$ eine Tangente an den Graphen. Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_2$.

    Wiederholst du dieses Verfahren immer weiter, erhältst du immer genauere Näherungswerte $x_n$ für die Nullstelle der Funktion.

  • Bestimme die ersten zwei Näherungswerte mithilfe des Newton-Verfahrens.

    Tipps

    Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

    Die Ableitung der Funktion lautet $f'(x) = 3x^2+2x$.

    Setzte die Funktion und ihre Ableitung in die Iterationsvorschrift ein.

    Setze den Startwert $x_0 = -1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Das Newton-Verfahren bedient sich der Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)$, welche bereits gegeben ist, und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst also zuerst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = 3x^2+2x$.

    Setzt du nun $f(x_n)$ und $f'(x_n)$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2+2x_n}$.

    Zusammen mit dem Startwert $x_0 = -1$, erhältst du

    $ x_{1} = -1 - \frac{f(-1)}{f'(-1)} = -1 -\frac{(-1)^3 + (-1)^2 + 2}{3 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)} = -1 -\frac{2}{1} = -3 $.

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift erhältst du

    $x_{2} = -3 - \frac{f(-3)}{f'(-3)} \approx -2,238 $.

    Dieses Vorgehen führst du weiter und gelangst im zu $x_3 \approx -1,840$, $x_4 \approx -1,710$ und $x_5 \approx -1,696$.

    $x_4$ und $x_5$ unterscheiden sich kaum noch. Du bist also nahe der Nullstelle.

    Zur Probe kannst du den Wert von $x_5$ in die Funktion einsetzen und erhältst $f(-1,696) = (-1,696)^3 + (-1,696)^2 + 2 \approx -0,002$. Die Nullstelle liegt also näherungsweise bei $x = -1,696$.

  • Bestimme die Iterationsvorschrift.

    Tipps

    Die Iterationsvorschrift lautet

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du benötigst also die Ableitung der Funktion.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift ein.

    Lösung

    Im Allgemeinen lautet die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du musst die Funktionen also einmal ableiten. Dazu helfen dir die Summen- und Potenzregel für Ableitungen.

    Hast du die Ableitung der Funktion bestimmt, kannst du $f(x_n)$ und $f'(x_n)$ in die Iterationsvorschrift einsetzen und erhältst

    Beispiel 1

    $f(x) = x^3 + x^2 + 2;~f'(x) = 3x^2 + 2x \\ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2 + 2x_n}$

    Beispiel 2

    $f(x) = 2x^3 - x^2 + 1;~f'(x) = 6x^2 - 2x \\ x_{n+1} = x_n - \frac{2x_n^3 - x_n^2 + 1}{6x_n^2 - 2x_n}$

    Beispiel 3

    $f(x) = -x^3 + 2x^2 - 2;~f'(x) = -3x^2 + 4x \\ x_{n+1} = x_n - \frac{-x_n^3 + 2x_n^2 - 2}{-3x_n^2 + 4x_n}$

    Beispiel 4

    $f(x) = -x^3 + x^2 - 2x;~f'(x) = -3x^2 + 2x - 2 \\ x_{n+1} = x_n - \frac{-x_n^3 + x_n^2 - 2x_n}{-3x_n^2 + 2x_n - 2}$

  • Bestimme die Nullstelle nach dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Die Ableitung der Funktion lautet $f(x) = -3x^2 - 2x - 1$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ ein.

    Setze den Startwert $x_0 = 2$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Bei dem Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)=-x^3-x^2-x+1$ und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst zunächst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = -3x^2-2x-1$. Setzt du nun beides in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{-x_n^3 - x_n^2 - x_n + 1}{-3x_n^2-2x_n-1} $

    Zusammen mit dem Startwert $x_0 = 2$, erhältst du

    $ x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{-2^3 - 2^2 - 2 + 1}{-3 \cdot 2^2-2 \cdot 2-1} = \frac{21}{17} \approx 1,2353 $

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift erhältst du den nächsten Näherungswert

    $x_{2} = 1,2353 - \frac{f(1,2353)}{f'(1,2353)} = 1,2353 - \frac{1,2353^3 - 1,2353^2 - 1,2353 + 1}{-3 \cdot 1,2353^2-2 \cdot 1,2353-1} \approx 0,7823$

    Dieses Vorgehen führst du weiter und gelangst im nächsten Schritt zu $x_3 \approx 0,5839$, $x_4 \approx 0,5451$ und $x_5 \approx 0,5437$.

    Setzt du nun den Wert von $x_5$ in die Funktion ein ergibt sich $f(0,5437) \approx -0,00003 \approx 0$. Du hast die Nullstelle also näherungsweise bestimmt.

  • Skizziere das Newton-Verfahren.

    Tipps

    Eine Tangente berührt einen Graphen in einem Punkt.

    $x_0$ setzt du immer zuerst in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Der Schnittpunkt eines Graphen mit der $x$-Achse wird auch Nullstelle genannt.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren gehst du von einer gegebenen Funktion mit einer Nullstelle aus. Du wählst einen Startwert $x_0$. An dieser Stelle zeichnest du an den Graphen, durch den Punkt $P_0$, eine Tangente zu $x_0$. Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1$. $x_1$ liegt näher an der gesuchten Nullstelle. An der Stelle $x_1$ zeichnest du nun die Tangente zu $x_1$ durch den Punkt $P_1$. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der $x$-Achse ist dann $x_2$. Wiederholst du dieses Verfahren, erhältst du immer genauere Näherungswerte der Nullstelle. Zum Ausdruck kommt das Newton-Verfahren in der Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

  • Bestimme die Nullstellen der vier Funktionen mit dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Bilde die Ableitung der Funktion $f(x)$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die allgemeine Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ ein.

    Setze den Startwert $x_0 = -1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

    Du brauchst also die Funktion und ihre Ableitung. Die Funktionen sind bereits gegeben. Zum Bestimmen der Ableitungen helfen dir die Potenz- und Summenregel für Ableitungen.

    Hast du die Ableitung bestimmt, kannst du sie und die Funktion in die Iterationsvorschrift einsetzen. Leitest du z.B. $f(x) = x^3 + x^2 + 2$ ab, erhältst du $f'(x) = 3x^2+2x$. Setzt du dies in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2 + 2x_n}$

    Dabei musst du darauf achten, $x$ mit $x_n$ zu ersetzen.

    In diese Iterationsvorschrift setzt du den Startwert $x_0 = -1$ ein und erhältst

    $ x_1 = -1 - \frac{(-1)^3 + (-1)^2 + 2}{3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1)} = -1 -\frac{2}{-1} = -3$

    Setzt du nun $x_1 = -3$ in die Iterationsvorschrift, erhältst du den nächsten Näherungswert $x_2$. Führst du die Iteration erneut aus, erhältst du $x_3$.

    Für die übrigen Funktionen kannst du analog vorgehen. Dabei verwendest du jeweils den Startwert $x_0$, der einer Funktion zugeordnet ist. Die Ergebnisse findest du in der Tabelle. Die Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet, falls nötig.

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} f(x) & f'(x) & x_{n+1} & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline x^3+x^2+2 & 3x^2 + 2x & x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 + 2}{3x_n^2 + 2x_n} & 1 & 0,2 & -3,7385 & -2,6856 \\ \hline 2x^3-x^2+1 & 6x^2 - 2x & x_n - \frac{2x_n^3 - x_n^2 + 1}{6x_n^2 - 2x_n} & -2 & -1,3214 & -0,9128 & -0,7144 \\ \hline -x^3+2x-2 & -3x^2 + 2 & x_n - \frac{-x_n^3+2x_n-2 }{ -3x_n^2 + 2 } & 2 & 1,4 & 0,899 & -1,2879 \\ \hline -x^3+2x^2-2x & -3x^2 + 2x - 2 & x_n - \frac{-x_n^3 + x_n^2 - 2x_n}{-3x_n^2 + 2x_n - 2} & 1 & 0 & & \\ \end{array}$

    Für die letzte Funktion ist das Newton-Verfahren nicht notwendig, da die Funktion $f(x)=-x^3+2x^2-2x$ eine ganzzahlige Nullstelle besitzt. Diese liegt bei $x=0$. Es gilt nämlich $f(0)=0$.