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Scharen von Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion 11:06 min

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Transkript Scharen von Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion

Hallo, mein Name ist Frank und ich werde in diesem Video eine Kurvendiskussion mit einer Wurzelfunktion mit einem Parameter durchführen. Die einzelnen Punkte der Kurvendiskussion findest du hier auf der rechten Seite. Die Funktion, die ich betrachte, lautet fa(x)= √(x+a) - (x+a). Du siehst, hier ist ein Parameter in der Funktion drin und wie der sich auf die Funktion auswirken wird, das werden wir jetzt im Laufe dieses Videos sehen. Ich fange an mit dem Definitionsbereich. Für den Definitionsbereich muss der Term unter der Wurzel größer/gleich null sein. Ich schreibe mal auf x + a ≥ 0. Und das kann ich äquivalent umformen zu x ≥ -a. Das heißt, der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, welche größer/gleich minus a sind. Da dieser Definitionsbereich nicht symmetrisch ist, haben wir hier auch keine Symmetrie. Zu den Ableitungen, die erste Ableitung bekomme ich durch Ableitung der Wurzelfunktion, die Ableitung von Wurzeln ist eins geteilt durch zweimal Wurzel. Und der innere Term bleibt einfach stehen. Und die Ableitung von diesem Term ist eins, der Parameter a fällt hier beim Ableiten raus. Zweite Ableitung ist dann -1 / (4√(x+a)³). Jetzt schaue ich mir die Achsenschnittpunkte an, ich gucke erstmal die Nullstellen. Also fa(x) = 0. Das ist äquivalent dazu, dass Wurzel aus, ich schreibe die Funktion einfach ab, √(x+a) - (x+a) = 0 ist. Und durch Ausklammern erhalte ich √(x+a) * (1-√(x+a)) = 0. Wir haben jetzt hier ein Produkt, und ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, entweder der oder der. Das heißt, wir erhalten die beiden x-Koordinaten für die Nullstellen. x1=-a oder x2=1-a. Die schreibe ich hier mal hin: N1 (-a|0) und die Nullstelle N2(1-a|0). Zu dem y-Achsenschnittpunkt, hier setze ich in der Funktionsvorschrift für x null ein. Und wenn wir da oben schauen, Y, x null, erhalten wir √a - a. Was wir schon feststellen können ist, für negative a gibt es keine Y-Achsenschnittpunkte, da hier Wurzel aus a steht. Nachdem ich das alles gemacht habe, komme ich im Folgenden zu Extrema und Wendepunkten. Nachdem wir jetzt den Definitionsbereich, die Symmetrie, Ableitungen und Achsenschnittpunkte schon betrachtet haben, werde ich jetzt im Folgenden die Extrema mir anschauen. Für die Extrema muss notwendigerweise fa‘(xE)=0 sein. Ich übernehme die erste Ableitung, also 1 / (2√(xE+a) - 1 = 0. Das forme ich äquivalent um zu 2 * √(xE + a) = 1 und erhalte meine x-Koordinate ¼ - a. Um zu überprüfen, ob das jetzt wirklich ein Extremum ist, setze ich dieses ¼ - a in der zweiten Ableitung ein. Und das wäre minus eins durch, ich mache mal eine große Wurzel und vier mal davor, und jetzt kommt hier rein ¼ - a + a, das Ganze hoch drei. -a + a fliegt raus und wir bekommen hier raus -2, das ist ungleich null, also das was hier steht, wir haben also ein Extremum. Es ist kleiner null, das heißt wir haben einen Hochpunkt. Die x-Koordinaten des Hochpunktes haben wir hier, die hängen von dem Parameter a ab, also ¼ - a, die y-Koordinate bekommen wir, indem wir dieses ¼ - a in der Funktionsvorschrift einsetzen. Und ¼ - a + a = ¼ . √¼ = ½ , ½ - ¼ = ¼ . Du siehst also, die y-Koordinate des Hochpunktes hängt nicht von dem Parameter ab. Zu den Wendepunkten, da muss notwendigerweise die zweite Ableitung gleich null sein. Und da die zweite Ableitung- 1 / (4√(x+a)³) lautet sehen wir, die kann nie null werden, also haben wir keine Wendepunkte. Da wir das nun alles haben, können wir im Folgenden die Skizze anfertigen. Nachdem also die Punkte hier alle abgearbeitet sind, wir haben hier die Nullstellen, den y-Achsenabschnitt und den Hochpunkt jeweils in Abhängigkeit des Parameters a, werde ich jetzt die Funktion für verschiedene Parameter zeichnen. Ich habe hier unten das schon vorbereitet und auch das Koordinatensystem schon da. Ich fange an mit a = -1. Vorhin habe ich ja den Definitionsbereich angegeben, bei a = -1 startet die Funktion bei eins, das ist auch die erste Nullstelle, (1|0). Die zweite Nullstelle ist (2|0). Der Hochpunkt liegt bei (5/4|1/4). Einen y-Achsenabschnitt haben wir hier nicht, weil ja die Funktion für negative a, also Wurzel für negative a nicht definiert ist. Ich erhalte also diesen Funktionsverlauf und wie du siehst, geht die Funktion hier unten nach minus unendlich weg. Das Ganze mache ich jetzt auch für a = 0. Habe also die erste Nullstelle (0|0), die zweite Nullstelle (1|0), den Hochpunkt (1/4|1/4). Der y-Achsenabschnitt entspricht gerade der ersten Nullstelle. Ich zeichne die Funktion und auch hier geht die Funktion für x gegen plus unendlich nach minus unendlich. Und zu guter Letzt setze ich auch nochmal für a zwei ein. Aufgrund des Definitionsbereiches startet die Funktion dann hier, also die erste Nullstelle ist (-2|0), die zweite Nullstelle ist (-1|0). Der y-Achsenabschnitt ist (0|√2-2), das ist ungefähr -0,58, also ungefähr hier. Der Hochpunkt ist (-7/4|1/4), hier. Auch da zeichne ich die Funktion und erhalte diesen Verlauf. Was du hier erkennen kannst, ist dass die Funktionen alle sehr ähnlich aussehen. Ich habe ja vorhin bei den Hochpunkten schon erwähnt, dass die y-Koordinate sich nicht in Abhängigkeit von a verändert, das heißt die Funktionsgraphen werden entlang der x-Achse verschoben. Also zum Beispiel bei dem Funktionsgraphen von a = 2 ist es eine Verschiebung um zwei Längeneinheiten in negative x-Achsenrichtung. Ich fasse nochmal zusammen, was ich hier gemacht habe: Ich habe eine Kurvendiskussion mit einer Wurzelfunktion mit Parameter durchgeführt. Und die Ergebnisse die wir erhalten, hängen dann gegebenenfalls von dem Parameter ab. Und ich kann dann bei verschiedenen Parametern den Funktionsverlauf zeichnen, indem ich den Parameter in den Punkten einsetze. Ich hoffe, du konntest alles gut verstehen. Und freue mich über Fragen und Anregungen und bis zum nächsten Mal, dein Frank.