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Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen 06:34 min

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Transkript Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich mit Dir zusammen Funktionen mit mehreren Veränderlichen behandeln und dabei anschauen, wie lokale Extrema bestimmt werden können. Du kennst das bestimmt aus dem eindimensionalen noch, es gibt ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium. Notwendiges Kriterium: Die erste Ableitung muss null sein, also eine waagerechte Tangente. Und das hinreichende Kriterium: Die zweite Ableitung ungleich null und das Vorzeichen gibt an, welches Extremum vorliegt. So ähnlich ist es auch bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen. Also wir hätten eine Funktion z = f(x;y), das heißt, die Funktion hängt von zwei Variablen x, y ab. Und ich hab zusätzlich noch die Voraussetzung, dass die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung, die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung xy und auch yx jeweils null sind. Dann lautet das notwendige Kriterium für Extreme, die erste Ableitung, die partielle Ableitung erster Ordnung, das sind ja zwei Ableitungen, also partielle Ableitungen erster Ordnung nach x und auch die partielle erste Ableitung nach y müssen beide null sein. Das entspricht diesem notwendigen Kriterium, erste Ableitung gleich null. Das reicht noch nicht. Dann müssen wir noch das hinreichende Kriterium untersuchen. Und unter der Voraussetzung, dass die gemischten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gleich null sind, ist das hinreichende Kriterium, die partielle Ableitung zweiter Ordnung nach x zweimal sei größer null und auch die zwei mal nach y abgeleitete sei auch größer null. Dann liegt ein lokales Minimum vor. Das entspricht gerade dem: Zweite Ableitung größer null liefert ein Minimum. Wenn die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung nach x kleiner null und nach y auch kleiner null sind, das entspricht gerade zweiter Ableitung kleiner null, dann liegt ein lokales Maximum vor und andernfalls ein Sattelpunkt. Soweit die Überprüfung auf Extreme. Im Folgenden werde ich Dir das an einem Beispiel zeigen. So, und nun mache ich weiter mit diesem Beispiel. Ich betrachte die Funktion mit zwei Veränderlichen x,y. f(x;y) = (⅓)x³ - 4x + y². Und die partiellen Ableitungen, die ich brauche, habe ich hier ran geschreiben: fx = x² - 4; fy = 2y . fxx = 2x; fxy = 0. fyx = 0; fyy = 2. Das sind die abkürzenden Schreibweisen für die entsprechenden partiellen Ableitungen. Und Du siehst, die gemischten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind null, was auch eine Voraussetzung so verlangt war. Nun untersuche ich die Funktion auf Extrema. Du kannst den Verlauf, also die Fläche im Raum der Funktion hier sehen. Ich beginne mit dem notwendigen Kriterium. Erste Ableitung gleich null im Eindimensionalen, also die jeweiligen partiellen Ableitungen nach x und nach y müssen null sein. Die partielle Ableitung nach x ist x² - 4, die muss null sein. Ich addiere auf beiden Seiten vier. Hab dann äquivalent x² = 4. Und durch das Wurzelziehen bekomme ich dann x1,2 = ± 2. Die partielle Ableitung nach y soll auch null sein. Ich teile durch zwei, also muss y null sein. Und jetzt habe ich zwei mögliche Extreme. Ob das welche sind, zeigt uns dann das hinreichende Kriterium. Also Nummer eins, das wäre (x1;y) = (2;0). Und jetzt schaue ich mir die entsprechenden partiellen Ableitungen zweiter Ordnung xx und yy an. Also fxx = 4 > 0; fyy ist konstant zwei und das ist größer null, fyy = 2 > 0. Das heißt, wir haben ein Extremum gefunden. das siehst Du hier, das ist ein lokales Minimum. Ich kürze das mal ab mit lok.Min. Das bezeichne ich als E1, die x-Koordinate ist zwei, die y-Koordinate ist null und die z-Koordinate bekommst Du, indem du es in die Funktionsvorschrift einsetzt, da kommt -5 ⅓ raus. E1 = (2;0;-5⅓). Und jetzt schaue ich mir noch den anderen Kandidaten an: (x2;y) = (-2;0) . Dann ist fxx gleich -2 * 2, also -4, das ist kleiner null, fxx = -4 < 0. fyy ist immer noch zwei, das ist größer null, fyy = 2 > 0. Du hast also weder den ersten Fall, beide größer null, noch den zweiten Fall, beide kleiner null, also ein Sattelpunkt. Den nenne ich dann mal E2. Die x-Koordinate ist -2, die y-Koordinate ist null, die z-Koordinate wieder durch Einsetzen 5⅓. E2=(-2,0,5⅓). Und beide Punkte, kannst du in dieser Fläche im Raum auch sehen, also hier unten das lokale Minimum und ungefähr hier den Sattelpunkt. Gut, dann fasse ich nochmal kurz zusammen, was Du in dem Video gelernt hast: Ich habe Dir Funktionen mit mehreren Veränderlichen gezeigt. Und dabei gezeigt, wie diese auf lokale Extrema untersucht werden. dafür hast Du eigentlich wie im Eindimensional ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium. Das habe ich Dir an dem Beispiel dieser Funktion f(x;y) = ⅓x³ - 4x + y² vorgeführt. Nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest und danke Dir für Deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib das notwendige sowie das hinreichende Kriterium für Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen an.

    Tipps

    Bei Funktionen mit einer Veränderlichen ist das notwendige Kriterium für Extrema $f'(x)=0$.

    Das hinreichende Kriterium für Extrema für Funktionen mit einer Veränderlichen ist $f''(x)\neq 0$.

    Am Vorzeichen kann die Art des Extremums abgelesen werden:

    • $f''(x)>0$ führt zu einem lokalen Tiefpunkt und
    • $f''(x)<0$ zu einem lokalen Hochpunkt.

    Diese Eigenschaften gelten auch für Funktionen $z=f(x;y)$ mit zwei Variablen.

    Lösung

    Sei $z=f(x;y)$ eine Funktion mit zwei Veränderlichen, dann sehen die Kriterien für Extrema so ähnlich aus wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen:

    • Die erste Ableitung muss $0$ sein (notwendige Bedingung)
    • und die zweite Ableitung muss ungleich $0$ sein (hinreichende Bedingung).
    Bei Funktionen mit zwei oder mehreren Veränderlichen gibt es partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Diese werden abkürzend so beschrieben:

    • $f_x$ (erste Ableitung nach $x$),
    • $f_y$ (erste Ableitung nach $y$),
    • $f_{xx}$ (erste und zweite Ableitung nach $x$) und $f_{xy}$ (erste Ableitung nach $x$, zweite Ableitung nach $y$) sowie
    • $f_{yx}$ (erste Ableitung nach $y$, zweite Ableitung nach $x$) und $f_{yy}$ (erste und zweite Ableitung nach $y$)
    Die Voraussetzung, dass $f_{xy}=f_{yx}=0$ ist, führt zu einer Hesse-Matrix, welche eine Diagonalmatrix ist.

    Die Hesse-Matrix ist die Matrix der zweiten Ableitung.

    Die notwendige Bedingung lautet:

    • $f_x=f_y=0$
    Die hinreichende Bedingung lautet:

    • $f_{xx}>0$ und $f_{yy}>0$, dann liegt ein lokales Minimum vor.
    • $f_{xx}<0$ und $f_{yy}<0$, dann liegt ein lokales Maximum vor.
    • Ansonsten liegt ein Sattelpunkt vor.
  • Gib die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=\frac13x^3-4x+y^2$ an.

    Tipps

    Die partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$ ist $f_y=2y$.

    Die partielle Ableitung zweiter Ordnung ist die partielle Ableitung der partiellen Ableitung erster Ordnung:

    • $f_{xx}=\frac{\delta f_x}{\delta x}$
    • $f_{xy}=\frac{\delta f_x}{\delta y}$
    • $f_{yx}=\frac{\delta f_y}{\delta x}$
    • $f_{yy}=\frac{\delta f_y}{\delta y}$
    Auf den eindimensionalen Fall angewendet, bedeutet dies: Die 2. Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

    Die Untersuchung des hinreichenden Kriteriums erfolgt unter der Voraussetzung $f_{xy}=f_{yx}=0$.

    Lösung

    Die partiellen Ableitungen einer Funktion mit mehreren Veränderlichen kann man bestimmen, indem man die jeweilige Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, als Konstante behandelt:

    $f_x=x^2-4$ und $f_y=2y$

    Die jeweiligen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen dieser partiellen Ableitungen:

    • $f_{xx}=\frac{\delta (x^2-4)}{\delta x}=2x$
    • $f_{xy}=\frac{\delta (x^2-4)}{\delta y}=0$ - in dieser partiellen Ableitung kommt $y$ nicht vor.
    • $f_{yx}=\frac{\delta (2y)}{\delta x}=0$
    • $f_{yy}=\frac{\delta (2y)}{\delta y}=2$
  • Bestimme die Extrema der Funktion.

    Tipps

    Für die partiellen Ableitungen betrachtest du die Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, als Konstante.

    Prüfe das hinreichende Kriterium

    • $f_{xx}>0$ und $f_{yy}>0$ $\rightarrow$ lokales Minimum
    • $f_{xx}<0$ und $f_{yy}<0$ $\rightarrow$ lokales Maximum
    • Sattelpunkt sonst

    Die y-Koordinate ist bei beiden Punkten die gleiche.

    Zur Bestimmung der z-Koordinate setzt du die x- sowie y-Werte in $z=f(x;y)$ ein.

    Lösung

    Zunächst müssen die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung berechnet werden. Hierfür wird die Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, als Konstante behandelt.

    • $f_x=x^2-4$ und $f_y=2y$
    • $f_{xx}=2x$, $f_{xy}=0$, $f_{yx}=0$ und $f_{yy}=2$
    So, nun kann es losgehen:

    Das notwendige Kriterium

    • $f_x=0~\Leftrightarrow~x^2-4=0$. Addition von $4$ und Ziehen der Wurzel führt zu $x_1=-2$ und $x_2=2$.
    • $f_y=0~\Leftrightarrow~2y=0$. Division durch $2$ führt zu $y=0$.
    Mit diesen Werten kann das hinreichende Kriterium überprüft werden:

    Wir beginnen mit $x_1=2$ und $y=0$:

    • $f_{xx}=2\cdot 2=4>0$ und $f_{yy}=2>0$
    • Hier liegt also ein lokales Minimum vor.
    • Die z-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x_1=2$ und $y=0$ in die Funktionsgleichung: $z=f(2;0)=\frac132^3-4\cdot 2+0^2=-5\frac13$
    • Das lokale Minimum lautet: $E_1\left(2\left|0\right|-5\frac13\right)$.
    Nun schauen wir uns $x_2=-2$ und $y=0$ an:

    • $f_{xx}=2\cdot (-2)=-4<0$ und $f_{yy}=2>0$
    • Hier liegt also ein Sattelpunkt vor.
    • Die z-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x_2=-2$ und $y=0$ in die Funktionsgleichung: $z=f(-2;0)=\frac13(-2)^3-4\cdot (-2)+0^2=5\frac13$
    • Der Sattelpunkt lautet $E_2\left(-2\left|0\right|5\frac13\right)$.
  • Bestimme die Extrema der Funktion $f(x;y)=2(x^2-1)^2+y^2-2y$.

    Tipps

    Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

    • $f_x=8x(x^2-1)=8x^3-8x$ sowie
    • $f_y=2y-2$

    Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind

    • $f_{xx}=24x^2-8$
    • $f_{yy}=2$
    • $f_{xy}=f_{yx}=0$

    Die y-Koordinate ist bei allen drei Punkten die gleiche. Diese ist die Lösung des notwendigen Kriteriums $f_y=0$.

    Das notwendige Kriterium $f_x=0$ führt zu drei (!) Lösungen.

    Lösung

    Zunächst werden die partiellen Ableitungen bestimmt:

    • $f_x=8x(x^2-1)$ mit Hilfe der Kettenregel. Dieser Term kann noch ausmultipliziert werden für die zweite Ableitung $f_x=8x^3-8x$.
    • $f_y=2y-2$
    • $f_{xx}=24x^2-8$
    • $f_{yy}=2$
    • $f_{xy}=f_{yx}=0$
    Das notwendige Kriterium

    • $f_x=0~\Leftrightarrow~8x(x^2-1)=0$. Da der Term in der faktorisierten Form vorliegt, können die Nullstellen abgelesen werden. Diese sind $x_1=-1$, $x_2=0$ und $x_3=1$.
    • $f_y=0~\Leftrightarrow~2y-2=0$. Addition von $2$ und anschließende Division durch $2$ führt zu $y=1$.
    Es müssen also die drei Lösungspaare $(-1|1)$, $(0|1)$ sowie $(1|1)$ untersucht werden:

    Für die Lösungspaare $(-1|1)$ gilt:

    • $f_{xx}=24\cdot (-1)^2-8=16>0$
    • $f_{yy}=2>0$
    • Es liegt ein lokales Minimum vor $E_1(-1|1|-1)$.
    Für $(0|1)$ gilt:

    • $f_{xx}=24\cdot 0^2-8=-8<0$
    • $f_{yy}=2>0$
    • Es liegt ein Sattelpunkt vor $E_2(0|1|1)$.
    Bei $(1|1)$ gilt:

    • $f_{xx}=24\cdot 1^2-8=16>0$
    • $f_{yy}=2>0$
    • Es liegt ein lokales Minimum vor $E_3(1|1|-1)$.
  • Leite die Funktion $f(x;y)=\frac12x^2-2y^2$ zweimal ab.

    Tipps

    Leite die Funktion zunächst nach einer der beiden Variablen ab. Dabei betrachtest du die jeweils andere Variable als Konstante.

    Es ist $f_{xy}=f_{yx}=0$.

    Die beiden anderen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind Konstanten.

    Die Ableitung von $x^2$ nach $x$ ist $2x$.

    Ebenso ist die Ableitung von $y^2$ nach $y$ gegeben durch $2y$.

    Lösung

    Man leitet ein Funktion mit mehreren Veränderlichen nach einer Variable ab, indem man die jeweils andere Variable als Konstante betrachtet:

    $f_x=x$ und $f_y=-4y$

    Die jeweiligen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen dieser partiellen Ableitungen:

    • $f_{xx}=\frac{\delta (x)}{\delta x}=1$
    • $f_{xy}=\frac{\delta (x)}{\delta y}=0$ - in dieser partiellen Ableitung kommt $y$ nicht vor.
    • $f_{yx}=\frac{\delta (4y)}{\delta x}=0$
    • $f_{yy}=\frac{\delta (4y)}{\delta y}=-4$
  • Untersuche die Funktion auf Extrema.

    Tipps

    Prüfe zunächst das notwendige Kriterium für Extrema: $f_x=f_y=0$.

    Das hinreichende Kriterium für Extrema lautet

    • $f_{xx}>0$ und $f_{yy}>0$, dann liegt ein lokales Minimum vor.
    • $f_{xx}<0$ und $f_{yy}<0$, dann liegt ein lokales Maximum vor.
    • Ansonsten liegt ein Sattelpunkt vor.

    Um die z-Koordinate eines Punktes zu erhalten, setzt du die gegebenen Werte für $x$ und $y$ in die Funktionsgleichung ein.

    Lösung

    Mit den bekannten Ableitungen kann die Funktion auf Extrema untersucht werden:

    Das notwendige Kriterium

    • $f_x=0~\Leftrightarrow~x=0$
    • $f_y=0~\Leftrightarrow~4y=0$. Division durch $4$ führt zu $y=0$
    Dies ist die einzige Lösung des notwendigen Kriteriums.

    Nun kann das hinreichende Kriterium überprüft werden:

    • $f_{xx}=1>0$ und $f_{yy}=-4<0$
    • Hier liegt also ein Sattelpunkt vor. Das ist auch ohne das notwendige Kriterium klar, da die zweiten Ableitungen konstant sind und verschiedene Vorzeichen haben.
    • Die z-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x=y=0$ in die Funktionsgleichung: $z=f(0;0)=\frac120^2-2\cdot 0^2=0$
    • Der Sattelpunkt lautet $E\left(0\left|0\right|0\right)$.