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Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix 08:28 min

Textversion des Videos

Transkript Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich mir mit dir Funktionen mit mehreren Veränderlichen anschauen und dabei zwei spezielle Matrizen, die Jacobi-Matrix und die Hesse-Matrix. Stark vereinfacht gesprochen ist die Jacobi-Matrix eine Matrix der ersten Ableitung und die Hesse-Matrix eine Matrix der zweiten Ableitung. Für die Jacobi-Matrix habe ich hier ein Beispiel hier aufgeschrieben, das wäre eine Funktion von R2 nach R2, die von zwei Veränderlichen also abhängt, x, y und zwei Koordinaten hat. Die erste wäre x2+y2 und die zweite wäre xy+2x und dann ist die Jacobi-Matrix, ist bezeichnet mit einem J und ein f für f, von x, y. Gerade, ich lese sie jetzt mal zeilenweise vor. Die partielle Ableitung erster Ordnung dieser Komponente nach x, also 2x und die partielle Ableitung erster Ordnung dieser Komponente nach y, also 2y und entsprechend in der zweiten Zeile die partielle Ableitung erster Ordnung dieser Komponente nach x, also y+2 und die partielle Ableitung erster Ordnung nach y dieser Komponente, also x. Und das wäre die Jacobi-Matrix. Und dann hätten wir noch die Hesse-Matrix. Ich habe ja schon hier schon von partiellen Ableitungen erster Ordnung gesprochen, die Hesse-Matrix ist eine vereinfachende Schreibweise für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion mit mehreren Veränderlichen, in dem Fall wieder mit zwei Veränderlichen, x, y. Und die partiellen Ableitungen schreibt man abkürzend mit fxx, das heißt das ist die partielle Ableitung zweiter Ordnung von f, zweimal nach x. Und die steht hier oben links, und jetzt wieder zeilenweise, hier steht die partielle Ableitung von f nach x, und dann nach y. Hier steht die partielle Ableitung von y und dann nach x. Und hier die partielle Ableitung von y nach y, jeweils die zweite. Unter gewissen Voraussetzungen sind diese Elemente gleich, also es ist eine symmetrische Matrix. Wofür brauchen wir die Hesse-Matrix? Die Hesse-Matrix brauchen wir zur Untersuchungen dieser Funktionen auf Extreme. Diese Untersuchung ist analog zu dem eindimensionalen, im eindimensionalen gilt: Notwendigerweise muss die erste Ableitung gleich null sein, also eine waagerechte Tangente, das reicht noch nicht für ein Extremum, das könnte auch ein Sattelpunkt sein. Das heißt, du musst das nochmal auf hinreichend überprüfen und in dem eindimensionalen heißt das, die zweite Ableitung muss ungleich null sein. Größer 0 wäre ein lokales Minimum, kleiner null wäre ein lokales Maximum. Und die Analogie bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen geht über die Hesse-Matrix, das ist ja die Matrix der zweiten Ableitung. Erst einmal muss die Determinante dieser Hesse-Matrix größer sein als null und dann gibt es die folgende Unterscheidung: Wenn das Diagonalelement hier oben fxx größer ist als null, zusätzlich zur Determinante größer null, dann liegt ein lokales Minimum vor. Wenn das Element hier oben, also fxx, kleiner ist als null, zusätzlich zur Determinante Hf größer null, dann liegt ein lokales Maximum vor. Gut, soweit zur Theorie, im Folgenden werde ich dir das Ganze an einem Beispiel zeigen. Dann komme ich jetzt noch zu diesem Beispiel und betrachte bei diesem Beispiel mal das hinreichende Kriterium mit der Hesse-Matrix. Also Determinante größer null und das, was du hier angeschrieben noch siehst. Das Beispiel lautet f(x,y)=x2+2y2-xy-4x+9y. Die partiellen Ableitungen habe ich hier schon mal aufgeschrieben, die lauten 2x-y-4 nach x, und nach y 4y-x+9, das ist hier. Und wenn ich dann nochmal ableite partiell nach x und nach y, bekomme ich die Hesse-Matrix. Also, die steht schon mal hier, zweimal partiell abgeleitet nach x ist 2, nach-. Die partielle Ableitung von x nach y abgeleitet ist -1, die partielle Ableitung von y nach x abgeleitet ist -1. Die partielle Ableitung von y nach y abgeleitet ist 4, und du kannst hier schon mal sehen, das was ich vorhin schon mal gesagt habe: Zum einen ist die Hesse-Matrix symmetrisch und zum anderen hier, diese Elemente, sind ungleich null. Das heißt bei dem hinreichende Kriterium zur Untersuchung auf Extreme ohne Nebenbedingung lautet hier: Die Determinante dieser Matrix muss größer null sein und dann entscheidet dieses Element ob lokales Minimum oder lokales Maximum. Ich beginne mit dem notwendigen Kriterium, die partiellen Ableitungen erster Ordnung. Nach x 2x-y-4 müssen beide null sein, also auch hier nach y, 4y-x+9. Das führt zu einem linearen Gleichungssystem, das habe ich hier schon mal aufgeschrieben. 2x-y=4 und –x+4y=-9. Wenn ich die zweite Zeile mit zwei multipliziere, siehst du hier steht -2x. Und wenn ich da dann addiere kommt raus 7y=-14. Nun teile ich diese Zeile durch sieben und erhalte y=-2. Damit bekomme ich x=1. Ich habe also herausgefunden, dass ein Extrem existieren könnte. Ob das jetzt wirklich eins ist, bekomme ich dadurch, dass ich dieses Kriterium, das hinreichende Kriterium, untersuche. Zunächst schaue ich mir die Determinante der Hesse-Matrix an. Also hinreichend Determinante der Hesse-Matrix. Die Determinante ist hier so zu berechnen, dass das Produkt der Diagonalelemente minus das Produkt der Nebendiagonalelemente, -1-1 ist, 8, (-1)(-1)=+1, minus eins ist sieben. Und du siehst, die Determinante ist größer null, also das hier haben wir schon mal. Und jetzt schauen wir uns noch das Element hier oben links an, das Diagonalelement, fxx=2 und das ist auch größer null. Das heißt, wir haben diesen Fall. Dieses Element ist größer null, also haben wir ein lokales Minimum. Und dieses lokale Minimum E hätte die X-Koordinate eins, die Y-Koordinate minus zwei und die Z-Koordinate, die müssen wir jetzt ausrechnen. Setzen wir da drinnen ein, also 1+8=9. +2=11, -4=7, -18=-11. Also wäre das die Z-Koordinate des Extremums. Damit bin ich mit dem Beispiel fertig. Ich fasse nochmal kurz zusammen, was du in diesem Video gelernt hast: Ich habe mir Funktionen mit mehreren Veränderlichen angeschaut und dabei zwei für spezielle Matrizen und, insbesondere in diesem Beispiel, die Hesse-Matrix. Die Hesse-Matrix brauchen wir zur Untersuchung des hinreichenden Kriteriums bei Extrema, das siehst du hier nochmal angeschrieben. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen, bis zum nächsten Mal, dein Frank.

2 Kommentare
  1. @Alexandra Gareis: Danke für den Hinweis. Der Fehler wurde korrigiert. Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor mehr als einem Jahr
  2. Die Funktion in der Lösung der kniffligen Zusatzaufgabe und die Funktion die angegeben ist, weichen voneinander ab...

    Von Alexandra Gareis, vor mehr als einem Jahr

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften der Hesse-Matrix.

    Tipps

    Weißt du noch, wie die Kriterien für lokale Extrema für Funktionen mit einer Veränderlichen lauten?

    • Es muss notwendigerweise gelten: $f'(x)=0$.
    • Zusätzlich muss hinreichend $f''(x)\neq 0$ gelten.
    Je nach Vorzeichen der zweiten Ableitung liegt ein lokales Minimum oder Maximum vor.

    Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen (erster Ordnung) der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

    Klingt merkwürdig, aber ist gar nicht kompliziert.

    Die Jacobi-Matrix entspricht einer ersten und die Hesse-Matrix einer zweiten Ableitung.

    Die Hesse-Matrix ist gegeben durch

    $H_f=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy} \\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}$.

    Lösung

    Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen werden die Untersuchungen auf lokale Extrema ähnlich durchgeführt wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen:

    Es muss notwendigerweise gelten: $f_x=0$ sowie $f_y=0$.

    Zusätzlich muss hinreichend die Determinante der Hesse-Matrix größer sein als $0$. Dann gilt:

    • Für $f_{xx}>0$ liegt ein lokales Minimum vor und
    • für $f_{xx}<0$ ein lokales Maximum.
    Das bedeutet, dass die Hesse-Matrix der zweiten Ableitung entspricht:

    Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im Falle der abgebildeten Funktion

    • $f_x=2x-y-4$ sowie
    • $f_y=4y-x+9$.
    Wenn man jede dieser Ableitung noch einmal partiell ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Diese werden in der Hesse-Matrix zusammengefasst:

    $H_f=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy} \\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}$

    Also gilt für unsere Funktion $H_f=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -1&4 \end{pmatrix}$.

  • Gib die Jacobi-Matrix der Funktion an.

    Tipps

    Leite jede Zeile der Funktion partiell nach den beiden Veränderlichen ab.

    In der ersten Zeile der Jacobi-Matrix stehen die partiellen Ableitung der ersten Zeile nach $x$ und dann nach $y$.

    Analog gehst du in der zweiten Zeile vor.

    Zum Beispiel ist die partielle Ableitung der zweiten Zeile nach $x$ gegeben durch $y+2$.

    Lösung

    Die Jacobi-Matrix einer Funktion $f(x;y)$ wie sie hier zu sehen ist, ist nicht zu verwechseln mit der Hesse-Matrix.

    Während die Jacobi-Matrix die „erste Ableitung“ einer Funktion ist, ist die Hesse-Matrix die „zweite Ableitung“.

    Wenn man jede Koordinate von $f(x;y)$ partiell ableitet, erhält man in jeder Zeile zwei partielle Ableitung. Die Jacobi-Matrix ist somit eine $[2\times 2]$-Matrix:

    $J_f(x;y)=\begin{pmatrix} 2x&2y \\ y+2&x \end{pmatrix}$.

  • Bestimme die Art und Lage des lokalen Extremums von $f(x;y)=x^2+2y^2-xy-4x+9y$.

    Tipps

    Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

    • $f_x=2x-y-4$ sowie
    • $f_y=4y-x+9$.

    Die Hesse-Matrix dieser Funktion lautet $H_f=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -1&4 \end{pmatrix}$.

    Du erhältst die Determinante einer $[2\times 2]$-Matrix, indem du von dem Produkt der Haupdiagonalelemente (von oben links nach unten rechts) das der Nebendiagonalelemente (von unten links nach oben rechts) subtrahierst.

    Die z-Koordinate des Minimums ist $f(1;-2)$.

    Lösung

    Um die Funktion $f(x;y)=x^2+2y^2-xy-4x+9y$ auf Extrema zu untersuchen, benötigt man die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Hier sehen wir die Ableitungen erster Ordnung:

    • $f_x=2x-y-4$ sowie
    • $f_y=4y-x+9$
    Die Ableitungen zweiter Ordnung sind die Ableitungen der ersten Ableitungen. Sie werden in der Hesse-Matrix zusammengefasst:

    $H_f=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -1&4 \end{pmatrix}$

    Nun können die Kriterien für lokale Extrema untersucht werden. Es muss notwendigerweise gelten: $fx=0$ sowie $f_y=0$.

    Zusätzlich muss hinreichenderweise die Determinante der Hesse-Matrix größer sein als $0$. Dann gilt:

    • Für $f_{xx}>0$ liegt ein lokales Minimum vor und
    • für $f_{xx}<0$ ein lokales Maximum.
    Notwendiges Kriterium

    Es muss also gelten: $2x-y-4=0$ und $4y-x+9=0$. Daraus lässt sich dieses lineare Gleichungssystem herleiten:

    $\begin{align} & \text{I} & 2x-y & =4\\ & \text{II} & -x+4y &=-9 \end{align}$

    Zunächst wird das Zweifache der unteren Gleichung zu der oberen addiert. Dies führt zu $7y=-14$. Division durch $7$ führt zu $y=-2$. Dieser Wert kann (zum Beispiel in der oberen der beiden Gleichungen) eingesetzt werden: $2x+2=4$. Nun wird $2$ subtrahiert und anschließend durch $2$ dividiert. Dies führt zu $x=1$.

    Hinreichendes Kriterium

    Nun muss die Determinante der Hesse-Matrix bestimmt werden:

    $\det(H_f)=2\cdot 4-(-1)\cdot (-1)=8-1=7>0$.

    Wir sehen, dass $f_{xx}=2>0$. Das bedeutet, dass ein lokales Minimum vorliegt. Dieses liegt bei Min$(1;-2;f(1;-2))$. Wir berechnen noch die z-Koordinate:

    $f(1;-2)=1^2+2(-2)^2-1\cdot(-2) -4\cdot 1+9\cdot (-2)=-11$.

    Also haben wir ein Minimum bei Min$(1;-2;-11)$.

  • Prüfe, ob die Funktion $f(x;y)=x^2+2x+2y^2$ ein lokales Extremum besitzt.

    Tipps

    Hier siehst du die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

    • $f_x=2x+2$
    • $f_y=4y$

    Die Determinante der Hesse-Matrix ist $8$ und damit ungleich $0$. Da diese größer als $0$ ist, muss noch das Element $f_{xx}$ untersucht werden.

    Ist dieses größer (kleiner) als $0$, liegt ein lokales Minimum (Maximum) vor.

    Die dritte Koordinate des Extremums ist der Funktionswert $z=f(x;y)$.

    Lösung

    Wir untersuchen die Funktion $f(x;y)=x^2+2x+2y^2$. Zunächst werden die (beiden) partiellen Ableitungen erster Ordnung bestimmt:

    • $f_x=2x+2$
    • $f_y=4y$
    Beide müssen notwendigerweise gleich $0$ sein. $f_x=0$ führt zu $x=-1$ und $f_y=0$ zu $y=0$.

    Ob tatsächlich ein Extremum vorliegt und welches, kann mit dem hinreichenden Kriterium geprüft werden:

    Hierfür benötigt man die Hesse-Matrix

    $H_f=\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&4 \end{pmatrix}$

    sowie deren Determinante. Diese ist $8$. Da zusätzlich $f_{xx}=2>0$ ist, weiß man, dass ein lokales Minimum vorliegt. Dieses ist

    Min$(-1;0;-1)$.

    Die $z$-Koordinate des Minimums ist der Funktionswert $z=f(-1;0)=(-1)^2+2\cdot (-1)+2\cdot 0^2=-1$.

  • Ermittle die Ableitungen der Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$.

    Tipps

    Beachte, das $f_{xy}=f_{yx}$ ist.

    In diesem Beispiel ist auch $f_{xx}=f_{yy}$. Dies ist jedoch nicht immer so.

    Du leitest wie folgt partiell ab:

    Halte eine Variable konstant und leite nach der anderen mit den bekannten Regeln ab.

    $f_{xx}$ ist die partielle Ableitung von $f_x$ nach $x$.

    Ebenso lassen sich die übrigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung erklären.

    Die Matrix

    $H_f=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy} \\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}$

    hat nur Konstanten als Einträge.

    Lösung

    Wir untersuchen die Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=f_x=-2x-y$ sowie
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=f_x=-2y-x$.
    Wenn man diese partiellen Ableitungen nochmals partiell ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

    • $f_{xx}=\frac{\delta f_x}{x}=-2$,
    • $f_{xy}=\frac{\delta f_x}{y}=-1$,
    • $f_{yx}=\frac{\delta f_y}{x}=-1$ und
    • $f_{yy}=\frac{\delta f_y}{y}=-2$.
    Diese Ableitungen werden in der Hesse-Matrix aufgeschrieben:

    $H_f=\begin{pmatrix} -2&-1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$.

  • Untersuche die Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$ auf Extrema.

    Tipps

    Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion sind

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=f_x=-2x-y$ sowie
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=f_x=-2y-x$.

    Die Hesse-Matrix dieser Funktion, also die Matrix der zweiten Ableitungen, lautet

    $H_f=\begin{pmatrix} -2&-1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$.

    Es muss notwendigerweise $f_x=$ sowie $f_y=0$ gelten.

    Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem.

    Die letzte Koordinate des Extremums ist der Funktionswert.

    Lösung

    Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$ sind

    • $\frac{\delta f}{\delta x}=f_x=-2x-y$ sowie
    • $\frac{\delta f}{\delta y}=f_x=-2y-x$.
    Wenn man noch einmal partiell ableitet, erhält man die Hesse-Matrix

    $H_f=\begin{pmatrix} -2&-1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$.

    Das notwendige Kriterium

    Es muss $f_x=$ sowie $f_y=0$ gelten. Es ist also das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

    $\begin{align} & \text{I} & -2x+y & =0\\ & \text{II} & x-2y & =0 \end{align}$

    Die erste Zeile ist äquivalent zu $y=2x$. Wenn man $y=2x$ in die untere Gleichung einsetzt, erhält man $x-4x=-3x=0$. Dies ist äquivalent zu $x=0$. Damit folgt auch, dass $y=0$ ist.

    Das hinreichende Kriterium

    Zunächst wird die Determinante der Hesse-Matrix berechnet. Diese ist

    $\det(H_f)=(-2)\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)=4-1=3>0$.

    Nun muss noch $f_{xx}$ betrachtet werden: Es ist $f_{xx}=-2<0$. Das bedeutet, dass ein lokales Maximum vorliegt. Der Funktionswert ist $f(0;0)=-0^2-0^2-0\cdot 0=0$, also ist Max$(0;0;0)$.