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Potenz- und Wurzelfunktionen

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Potenz- und Wurzelfunktionen

In diesem Text geht es um Potenz- und Wurzelfunktionen. Das sind bestimmte Funktionen, bei denen die unabhängige Variable (meistens wird $x$ genutzt) als Basis einer Potenz bzw. innerhalb einer Wurzel verwendet wird. Dies schauen wir uns jetzt genauer an.

Was ist eine Potenzfunktion?

Der Begriff der Potenzfunktion ist leider nicht einheitlich definiert. Wir verstehen in diesem Text darunter Funktionen der Form $f(x)=x^{n}$. Der Exponent $n$ ist eine ganze Zahl außer $0$. Das kannst du mathematisch durch $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ ausdrücken.

Der Exponent $n$ hat große Auswirkungen auf den Verlauf der Graphen von Potenzfunktionen. Es gilt:

  • Ist der Exponent positiv und gerade, so ist der Graph eine nach oben geöffnete Parabel, deren Symmetrieachse die $y$-Achse ist. Du kennst wahrscheinlich bereits die Normalparabel. Das ist der Graph der Funktion $f(x)=x^{2}$.
  • Ist der Exponent positiv und ungerade, wird der Graph manchmal als „Parabel $n$-ter Ordnung“ bezeichnet. Dabei steht $n$ für den Exponenten. Diese Parabeln verlaufen durch den $III.$ und $I.$ Quadranten des Koordinatensystems und sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Eine Besonderheit stellt $f(x)=x^{1}=x$ dar, da der Graph hier eine Gerade ist.
  • Alle Parabeln verlaufen durch die Punkte $(0|0)$ und $(1|1)$.

Wenn der Exponent $n$ negativ ist, ändert sich der Verlauf. Die Funktionsgraphen von solchen Funktionen heißen Hyperbeln.

Hier siehst du die allgemeine Funktionsgleichung einer solchen Funktion:

$f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}$

Wenn $n\lt0$ gerade ist, verläuft die Hyperbel achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Falls $n\lt0$ ungerade ist, ist die Hyperbel punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und verläuft durch den $III.$ und $I.$ Quadranten.

Alle Hyperbeln verlaufen durch den Punkt $(1|1)$ und haben keine Nullstelle, da sie sich der $x$-Achse im Unendlichen nur annähern.

Was ist eine Wurzelfunktion?

Die allgemeine Form von Wurzelfunktionen lautet:

$f(x)=\sqrt[n] x$

Auch hier schauen wir uns wieder die Auswirkungen von $n$ auf die Funktion an:

  • Wenn der Wurzelexponent $n$ gerade ist, dann muss $x\ge 0$ sein.
  • Falls $n$ ungerade ist, kann $x$ sowohl positiv als auch negativ sein.

Dennoch wird der Definitionsbereich für alle Wurzelfunktionen oft auf positive Zahlen beschränkt, um leichter Aussagen zu treffen, die für alle Wurzelfunktionen gelten. Es gilt:

  • $D=[0; \infty[$
  • $W=[0; \infty[$.

Daher verläuft der Graph einer Wurzelfunktion nur im $I.$ Quadranten. Zu ihm gehören immer die Punkte $(0|0)$ und $(1|1)$.

Umkehrfunktionen

Potenz- und Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen voneinander. Es gilt:

$x^n=y \Leftrightarrow x=\sqrt[n]y$