sofatutor 30 Tage kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Flächen unter Funktionsgraphen 10:40 min

Textversion des Videos

Transkript Flächen unter Funktionsgraphen

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich Flächen unter Funktionsgraphen berechnen. Und zuerst einmal stelle ich vor, was wir dafür brauchen. Und folgend werde ich Beispiele rechnen. Hier siehst du angeschrieben den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Der lautet: Das bestimmte Integral von a bis b f(x) dx ist gleich, und hier in der eckigen Klammer siehst du ein groß F, das steht für die Stammfunktion für klein f, in den Grenzen a bis b, das heißt, du wertest die Stammfunktion an der oberen Grenze aus und an der unteren und bildest in dieser Reihenfolge die Differenz. Und ganz allgemein machen wir jetzt folgendes: Zuerst einmal berechnen wir die Nullstellen der Funktion. Und wenn wir die haben, können wir den Betrag des Integrals berechnen mit diesem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ich beginne mit einer quadratischen Funktion: f(x) = -x2 + 4x - 3. Und wie gesagt, zuerst mal schauen wir uns den ersten Punkt an. Also f(x) = 0. Das ist eine quadratische Funktion. Die hat ein Minus vor dem x Quadrat, das heißt, ich multipliziere die gleich mal mit -1, um die p-q-Formel anwenden zu können. Also x2 - 4x + 3 = 0. Und das liefert: x1,2 = 2 +/- √(4-3). Wir erhalten also die erste Nullstelle x1 = 2 - 1 = 1 oder x2 = 2 + 1 = 3. Und hier links siehst du schon ein Koordinatensystem und eingetragen die beiden Nullstellen 1 und 3. Ganz allgemein, wenn du eine solche Funktion betrachtest und Flächen berechnest, ist es immer gut, wenn du eine Skizze hast. Die kannst du durch eine Kurvendiskussion erhalten. Ich habe die schon mal vorbereitet. Du siehst also hier diese nach unten geöffnete Parabel. Und farblich markiert ein Flächenstück groß A. Und damit kommen wir zum zweiten Punkt hier. Groß A gleich, wie du hier siehst, dieses Flächenstück wird von der linken Nullstelle 1 und der rechten Nullstelle 3 eingeschlossen, das heißt, wir haben das bestimmte Integral von 1 bis 3 (x), die schreibe ich mal ab, -x2 + 4x - 3 dx. Jetzt sind wir also hier. Ich brauche also eine Stammfunktion. Und die erhältst du durch die Potenzregel der Integration. Also -1/3x3 + 2x2 - 3x + c in den Grenzen von 1 bis 3. Was du hier schon mal sehen kannst: Wenn du diese Stammfunktion ableitest, kommst du genau auf diese Funktion. Und hier steht noch ein kleines plus c, das ist die sogenannte Integrationskonstante. Und jetzt rechne ich das mal aus. Also minus ein Drittel Drei hoch Drei plus zwei mal Drei hoch Zwei minus Drei mal Drei plus c. Und davon ziehe ich die Stammfunktion ausgewertet an der unteren Grenze ab, -1/3×33 + 2×32 - 3×3 + c. Und davon ziehe ich die Stammfunktion ausgewertet an der unteren Grenze ab. Also: -(-1/3×13 + 2×12 - 3×1 + c). Was du hier schon sehen kannst, die Integrationskonstante fällt jetzt raus. Deswegen möchte ich die auch im Folgenden einfach nicht mehr betrachten. Bei dieser Rechnung kommt raus: 4/3. Und das ist gerade 1,33. Da wir keine Flächeneinheiten angegeben haben, schreibst du hier allgemein rein: FE für Flächeneinheiten. Und wenn du jetzt nochmal links in der Skizze schaust, da sind so Gitterlinien eingezeichnet. Ein so ein Kästchen ist eine Flächeneinheit. Und du kannst sehen: Das mit dem 1,33 kommt bei diesem Flächeninhalt gut hin. Dann werde ich mich im Folgenden mit einer Funktion beschäftigen, die ein wenig komplizierter ist und wir werden das Gleiche dann nochmal durchführen. So. Nun komme ich zu einem weiteren Beispiel. Ich betrachte diese kubische Funktion: x3 + 2x2 - 3x, welche ich auf das Intervall -2 bis 1 eingeschränkt habe. Zuerst einmal schaue ich mir die Nullstellen an. Also f(x) = 0. Du kannst hier x ausklammern, also x×(x2 + 2x - 3 = 0. Und das liefert jetzt drei Nullstellen, einmal die Nullstelle Null und die beiden anderen durch die p-q-Formel dieser quadratischen Gleichung. Ich sortiere die mal. Die erste Nullstelle wäre -3, die zweite 0 und die dritte 1. Was du hier schon sehen kannst: -3 liegt nicht in dem Intervall, das heißt, diese Nullstelle interessiert uns bei der Integration nicht. Und die Nullstelle 0 liegt in dem Intervall. Was das bedeutet, siehst du hier links an der Skizze. Ganz allgemein kannst du dir, wenn du Flächenberechnungen durchführst, immer eine Skizze anfertigen, zum Beispiel durch eine Kurvendiskussion oder aber du erstellst dir das durch ein Grafikprogramm. Wie du hier sehen kannst: Dieses Flächenstück, das uns interessiert, ist aufgeteilt in zwei Teilflächen, einmal A1. Dieses Flächenstück liegt oberhalb der x-Achse. Und einmal A2, das liegt unterhalb. Was das für die Berechnung bedeutet, wirst du gleich sehen. Also ich berechne jetzt den Betrag des Integrals. Das linke Flächenstück A1 geht von der linken Intervallgrenze -2, wie du da sehen kannst, bis zu dieser Nullstelle, 0. Also die untere Integrationsgrenze ist -2, die obere 0. f(x) dx. Und hier siehst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, wir brauchen eine Stammfunktion. Die erhalten wir durch die Potenzregel der Integration. Also ein 1/4x4 + 2/3x3 - 3/2x2. Und das Ganze in den Grenzen -2 bis 0. Wieder auswerten an der oberen Grenze minus auswerten an der unteren Grenze. Und wir erhalten den Flächeninhalt 22/3 Flächeneinheiten FE. Damit haben wir dieses Flächenstück oberhalb schon ausgerechnet. Du siehst, es kommt was Positives raus. Und jetzt schauen wir mal, was passiert, wenn das Flächenstück unterhalb liegt. Also ich fange an mit dem Integral, die linke Grenze ist 0, die rechte Grenze, die obere, 1, f(x) dx. Das hier bleibt genauso stehen. Die Stammfunktion an der unteren Grenze 0 bis 1 schreibe ich jetzt hier nicht nochmal hin. Und da kommt raus: -7/12. Warum jetzt minus? Weil das Flächenstück unterhalb der x-Achse liegt, bekommen wir einen negativen Wert. Und wenn du die Funktion nicht siehst, kannst du grundsätzlich immer mit den Beträgen rechnen, da Flächeninhalte nicht negativ sein dürfen. Also hier kommt 7/12 Flächeneinheiten raus. Und insgesamt erhalten wir die gesuchte Fläche als Summe von A1 und A2. Das ist eine ganz schöne Bruchrechnungsübung, 95/12 kommt da raus. Und als Dezimalzahl ist das 7,916 Flächeninhalt. Gut. Dann fasse ich nochmal kurz zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe. Ich habe wir Flächen unter Funktionsgraphen angeschaut. Dabei geh ich immer so, wie hier rechts beschrieben, vor. Was du bei dem letzten Beispiel siehst: Wenn du nicht weißt, wie die Funktion liegt, kannst du immer mit Beträgen rechnen, da eine positive Zahl durch den Betrag auch positiv bleibt. Negative Flächeninhalte gibt es nicht. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest. Ich danke dir für deine Aufmerksamkeit und freue mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

6 Kommentare
  1. Super. Und herzlichen Glückwusch.

    Von Frank Steiger, vor etwa 5 Jahren
  2. Ja is super gelaufen hab eine 2 bekommen ;)

    Von Jojo16, vor etwa 5 Jahren
  3. Das freut mich, dass es dir gefallen hat. Und ich hoffe, du hast/hattest eine erfolgreiche mündliche Prüfung.

    Von Frank Steiger, vor etwa 5 Jahren
  4. Hat mir auch sehr gut gefallen habe morgen mündliche Prüfung :D

    Von Jojo16, vor etwa 5 Jahren
  5. Das freut mich. Danke für Deinen Kommentar.

    Von Frank Steiger, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Flächen unter Funktionsgraphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächen unter Funktionsgraphen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie der Flächeninhalt unter Funktionsgraphen berechnet werden kann.

    Tipps

    In dem Beispiel der oben angegebenen Funktion sind die Nullstellen $x=1$ sowie $x=3$ die Integrationsgrenzen.

    Wenn eine Fläche unterhalb der x-Achse liegt, erhältst du beim bestimmten Integrieren einen negativen Wert.

    Achte bei dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf die Reihenfolge bei der Differenz:

    Es wird der Wert der Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze von dem Wert der Stammfunktion an der oberen Integrationsgrenze abgezogen.

    Lösung

    Entweder sind die Integrationsgrenzen in Form eines Intervalls bereits vorgegeben oder sie müssen noch bestimmt werden. Wenn Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse berechnet werden, sind die Nullstellen die Integrationsgrenzen.

    Diese können bei der gegebenen quadratischen Funktion mithilfe der p-q-Formel bestimmt werden:

    Hierfür wird die Gleichung $-x^2+4x-3=0$ zunächst mit $-1$ multipliziert: $x^2-4x+3=0$, sodass der Faktor vor dem $x^2$ gerade $1$ ist:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-4}2\pm\sqrt{\left(\frac{-4}2\right)^2-3}\\ &=&2\pm\sqrt 1\\ x_1&=&2+1=3\\ x_2&=&2-1=1 \end{array}$

    Der Graph der Funktion $f(x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Diese liegt zwischen den beiden Nullstellen oberhalb der x-Achse. In diesem Fall gibt das bestimmte Integral mit den Nullstellen als Grenzen tatsächlich den Flächeninhalt an. Wenn die Parabel unterhalb der x-Achse liegt, ist das bestimmte Integral negativ.

    $A=\int\limits_1^3~(-x^2+4x-3)~dx=\left[-\frac13x^3+2x^2-3x\right]_1^3$.

    Hier kommt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an die Reihe:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Wichtig: Die Reihenfolge bei der Differenz darf nicht vertauscht werden, da die Subtraktion nicht kommutativ ist. Das Vorzeichen würde sich nämlich vertauschen.

    Somit ist

    $A=\left(-\frac13 3^3+2\cdot 3^2-3\cdot 3\right)-\left(-\frac13 1^3+2\cdot 1^2-3\cdot 1\right)=0-\left(-\frac43\right)=\frac43=1,\bar3$ [FE].

  • Berechne den Flächeninhalt, den der Graph der Funktion $f(x)$ über dem Intervall $I=[-2;1]$ mit der x-Achse einschließt.

    Tipps

    Es gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Beachte, dass du Betragsstriche beim bestimmten Integral verwenden musst, wenn du nicht weißt, ob das Flächenstück ober- oder unterhalb der x-Achse liegt.

    Du kannst bei der Funktion $f(x)$ den Faktor $x$ ausklammern.

    Danach wendest du auf die quadratische Gleichung $x^2+2x-3=0$ die p-q-Formel an.

    Es ist zum Beispiel

    $A_1=\left|\int\limits_{-2}^0~(x^3+2x^2-3x)~dx\right|$.

    Lösung

    Es soll der Inhalt der Fläche berechnet werden, die der Graph dieser kubischen Funktion auf dem Intervall $I=[-2;1]$ mit der x-Achse einschließt.

    Eine kubische Funktion kann maximal 3 Nullstellen haben. Diese müssen zunächst berechnet werden:

    $f(x)=0~\Leftrightarrow~x(x^2+2x-3)=0$

    Eine Nullstelle ist somit durch $x_1=0$ gegeben. Die beiden übrigen können mit Hilfe der p-q-Formel bestimmt werden:

    $\begin{array}{rcl} x_{2,3}&=&-\frac22\pm\sqrt{\left(\frac22\right)^2-(-3)}\\ &=&-1\pm\sqrt 4\\ x_2&=&-1+2=1\\ x_3&=&-1-2=-3 \end{array}$

    Nun ist wichtig zu beachten, dass die Nullstelle $x_3=-3$ nicht in dem Intervall $I$ liegt.

    Nun muss zweimal das bestimmte Integral bestimmt werden:

    $A_1=\left|\int\limits_{-2}^0~(x^3+2x^2-3x)~dx\right|$

    sowie

    $A_2=\left|\int\limits_{0}^1~(x^3+2x^2-3x)~dx\right|$

    Die Betragsstriche werden verwendet, da ohne Skizze nicht klar ist, ob das Flächenstück oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.

    Beide Male wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet. Nun muss noch eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$ bestimmt werden. Diese ist

    $F(x)=\frac14 x^4+\frac23x^3-\frac32x^2$.

    So, jetzt können die Teilflächen $A_1$ und $A_2$ berechnet werden:

    $\begin{array}{rcl} A_1&=&\left|\left[\frac14 x^4+\frac23x^3-\frac32x^2\right]_{-2}^0\right|\\ &=&\left|0-\left(\frac14 (-2)^4+\frac23(-2)^3-\frac32(-2)^2\right)\right|\\ &=&\frac{22}3 \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} A_2&=&\left|\left[\frac14 x^4+\frac23x^3-\frac32x^2\right]_{0}^1\right|\\ &=&\left|\left(\frac14 1^4+\frac231^3-\frac321^2\right)-0\right|\\ &=&\left|-\frac{7}{12}\right|=\frac7{12} \end{array}$

    Zuletzt werden die beiden Flächenstücke addiert und wir erhalten die gesuchte Fläche $A$:

    $A=A_1+A_2=\frac{22}3+\frac7{12}=\frac{95}{12}=7,91\bar6$ [FE]

  • Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^3-x^2-2x$.

    Tipps

    Klammere zunächst $x$ aus. Damit ist bereits eine Nullstelle bekannt.

    Verwende die hier abgebildete p-q-Formel zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$.

    Du kannst eine Probe mit den Nullstellen durchführen. Setze diese in die Funktionsgleichung ein: Es muss $0$ herauskommen.

    Lösung

    Um Nullstellen von kubischen Funktionen $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ zu bestimmen, kann zunächst $x$ ausgeklammert werden. Dafür muss aber gelten: $d=0$ aber $b \neq 0$ und/oder $c \neq 0$:

    $x(x^2-x-2)=0$.

    Damit ist eine Nullstelle bereits bekannt: $x_1=0$.

    Nun kann auf die Gleichung $x^2-x-2=0$ die p-q-Formel angewendet werden:

    $\begin{array}{rcl} x_{2,3}&=&-\frac {-1}2\pm\sqrt{\left(\frac {-1}2\right)^2-(-2)}\\ &=&\frac12\pm\sqrt{\frac94}\\ x_2&=&\frac12+\frac32=\frac42=2\\ x_3&=&\frac12-\frac32=-\frac22=-1 \end{array}$

  • Ermittle den Flächeninhalt, den die kubische Funktion mit der x-Achse einschließt.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Zur Bestimmung einer Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion benötigst du die Potenzregel der Integration:

    $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$

    für alle $x\neq -1$.

    Zum Beispiel ist eine Stammfunktion von $x^2$ gegeben durch $\frac13 x^3$.

    Ähnlich wie bei der Faktorregel der Differentiation kannst du bei der Integration einen Faktor aus der Integration herausziehen:

    $\int~(2x^2)~dx=2\cdot\int~(x^2)~dx=2\cdot \frac13x^3=\frac23x^3$.

    Lösung

    Mithilfe der Potenzregel der Integration

    $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$ für $n\neq0$

    kann zunächst eine Stammfunktion von $f(x)$ bestimmt werden. Diese benötigt man für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $F(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-x^2$.

    Zur Kontrolle kann diese Funktion abgeleitet werden. Es muss als Ableitung $f(x)$ heraus kommen.

    Somit ist

    $\begin{array}{rcl} A_1&=&\left|\int\limits_{-1}^0~(x^3-x^2-2x)~dx\right|\\ &=&\left|\left[\frac14x^4-\frac13x^3-x^2\right]_{-1}^0\right|\\ &=&\left|0-\left(-\frac5{12}\right)\right|=\frac5{12} \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} A_2&=&\left|\int\limits_{0}^2~(x^3-x^2-2x)~dx\right|\\ &=&\left|\left[\frac14x^4-\frac13x^3-x^2\right]_{0}^2\right|\\ &=&\left|\left(-\frac8{3}-0\right)\right|=\frac8{3} \end{array}$

    Zuletzt werden diese beiden Teilflächen addiert zu

    $A=A_1+A_2=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}=3,08\bar3$ [FE].

  • Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

    Tipps

    Betrachte die konstante Funktion $f(x)=2$ auf dem Intervall $I=[0;4]$.

    Das eingeschlossene Flächenstück ist ein Rechteck.

    Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $2\cdot 4$.

    Eine Stammfunktion von $f(x)=2$ ist $F(x)=2x$.

    $F(4)-F(0)=2\cdot 4-2\cdot 0=2\cdot 4$.

    Lösung

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist der zentrale Satz bei der Berechnung von Flächeninhalten.

    Der Satz ist hier zu sehen.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Es gilt also $F'(x)=f(x)$.

    Ganz wichtig: Die Reihenfolge bei der Differenz muss beachtet werden.

  • Leite die Gesamtfläche des Logos her.

    Tipps

    Es ist

    • $F(x)=-\frac16x^3+\frac34x^2+2x$ eine Stammfunktion von $f(x)$ und
    • $G(x)=\frac{0,32}3x^3-0,48x^2-1,28x$ eine Stammfunktion von $g(x)$.

    Die untere Integrationsgrenze ist $-1$ und die obere $4$.

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Beachte: Die Fläche, welche von der grünen Parabel und der x-Achse eingeschlossen wird, liegt unterhalb der x-Achse.

    Lösung

    Beide Flächen werden mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet. Dafür benötigt man jeweils eine Stammfunktion:

    • Zu $f(x)=-\frac12x^2+\frac32x+2$ ist diese $F(x)=-\frac16x^3+\frac34x^2+2x$
    • und zu $g(x)=0,32x^2-0.96x-1,28$ ist diese $G(x)=\frac{0,32}3x^3-0,48x^2-1,28x$.
    Es ist

    $\begin{array}{rcl} A_1&=&\int\limits_{-1}^4~f(x)~dx\\ &=&\left[-\frac16x^3+\frac34x^2+2x\right]_{-1}^4\\ &=&\frac{125}{12}=10,41\bar6\approx 10,42 \end{array}$

    sowie

    $\begin{array}{rcl} A_2&=&\int\limits_{-1}^4~g(x)~dx\\ &=&\left|\left[\frac{0,32}3x^3-0,48x^2-1,28x\right]_{-1}^4\right|\\ &=&\left|-\frac{20}{3}\right|=6,\bar6\approx 6,67 \end{array}$

    Zuletzt werden diese Flächenstücke addiert zu

    $A=A_1+A_2=\frac{125}{12}+\frac{20}3=\frac{205}{12}=17,08\bar3\approx 17,08$