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Flächen zwischen Funktionsgraphen 15:13 min

Textversion des Videos

Transkript Flächen zwischen Funktionsgraphen

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video berechne ich Flächen zwischen Funktionsgraphen. Was ich dafür alles benötige, siehst du hier rechts angeschrieben. Zum einen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, das bestimmte Integral von a bis b, f(x) dx ist gleich. Wir brauchen dafür eine Stammfunktion von f, die bezeichnen wir als F, und die werten wir an der oberen Grenze aus und an der unteren und bilden in dieser Reihenfolge die Differenz. Und in unserem Beispiel mit “Flächen zwischen Funktionsgraphen” haben wir die folgende Vorgehensweise: Zuerst einmal berechnen wir Schnittstellen, dann bilden wir die Differenz der entsprechenden Funktion und zu guter Letzt den Betrag des Integrals dieser Differenzfunktion. Und ich beginne mal mit einem Beispiel mit zwei quadratischen Funktionen: f(x) = -x2 + 4 und g(x) = x2 - 4x + 4. Los geht es mit den Schnittstellen. f(x) = g(x). Und wenn ich die beiden Funktionen da einsetze, bekomme ich die folgende Gleichung: 2x2 - 4x = 0 und wir können hier 2x ausklammern, also: x - 2 = 0. Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Also hätten wir die erste Schnittstelle bei x1 = 0 und x2 = 2. Nun könntest du eine komplette Kurvendiskussion dieser beiden Funktionen machen, um eine Skizze zu erhalten. Ich habe die hier schon vorbereitet. Und du siehst die obere Funktion f und die untere Funktion g. Und was du auch schon sehen kannst, sind die beiden Schnittstellen bei 0 und bei 2. In diesem Bereich wird ein Flächenstück eingeschlossen, welches du hier farblich markiert sehen kannst. Um dieses Flächenstück zu berechnen, müssen wir jetzt erst einmal eine Differenzfunktion bilden. Ich sehe hier, dass die Funktion f oberhalb von g liegt, also bilde ich die Differenzfunktion f(x) - g(x). Wenn du keine Skizze vorliegen hast, ist das auch egal, wie rum du das machst. Dann müsstest du halt hier immer mit Beträgen rechnen und würdest ein negatives Vorzeichen vermeiden. Und dieses d(x) = f(x) - g(x) = -2x2 + 4x. Und nun kommen wir zu dem dritten Punkt: die Berechnung dieses Flächenstücks A. Da ich ja weiß, dass f oberhalb von g liegt, weiß ich auch, dass da was positives rauskommen wird. Das ist das bestimmte Integral von 0 bis 2 d(x) dx. Ich hoffe, das irritiert dich jetzt nicht mit dem d(x) d x. Dieses d(x) steht für die Differenzfunktion und dieses d x heißt „integriere bezüglich x“. Wie du hier im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sehen kannst, benötigen wir jetzt eine Stammfunktion. Die lautet: -2/3x3 + 2x2. Und das Ganze in den Ganze in den Grenzen von 0 bis 2. Wir werten also die Stammfunktion an 2 aus und ziehen davon die Stammfunktion an 0ausgewertet ab und bekommen heraus: 8/3. Das ist gerade 2,6 FE, dieses FE steht für Flächeneinheiten. Nun sind wir mit diesem Beispiel fertig, haben also dieses Flächenstück berechnet. Und im Folgenden werde ich mal schauen, wie wir ein Flächenstück berechnen können, welches von drei Funktionen eingeschlossen wird, also nicht wie hier von zweien. Nun geht es weiter mit Flächenstücken, die von mehr als zwei Funktionen eingeschlossen werden, in diesem Fall von drei Funktionen. Die habe ich hier schon mal angeschrieben: eine quadratische Funktion f(x) = -x2 + 1,5x + 1. Eine kubische Funktion g(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8. Und eine lineare h(x) = -x + 1. Dann hast du auch drei verschiedene Funktionentypen nochmal hier. Ich beginne mit der Berechnung der Schnittstellen. Und das müssen wir jetzt gleich mehrmals machen, da wir ja drei Funktionen haben, immer paarweise. Ich starte mit f(x) = h(x). Und das ist äquivalent dazu, dass hier das f(x) und hier das h(x), -x2 + 3,5x = 0. Und durch Ausklammern von x erhältst du hier die beiden Schnittstellen x1 = 0 und x2 = 3,5. Und dasselbe mache ich jetzt mit g und h, also...ich bin immer noch bei dem Punkt Eins, Berechnung der Schnittstellen. Also wäre das g(x) = h(x). Und erhalte da x3 - 6x2 + 14x - 9 = 0. Also das ist jetzt eine kubische Gleichung. Ganz allgemein würdest du eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision und p-q-Formel, das mache ich jetzt hier nicht. Wir bekommen eine Nullstelle bei x = 1. Und es gibt auch in der Tat keine weitere, also nicht Nullstelle sondern Schnittstelle. Es gibt auch in der Tat keine weitere Schnittstelle dieser beiden Funktionen. Und zu guter Letzt, ich markiere das hier nochmal, betrachten wir die Schnittstelle zwischen den beiden Funktionen, f und h haben wir schon, g und h haben wir schon, also bleibt übrig f(x) gleich g(x). Und das führt zu der Gleichung x3 - 5x2 + 10,5x - 9 = 0. Würdest du wieder genauso berechnen, wie ich es vorhin angedeutet habe. Das liefert die Schnittstelle x = 2. Und auch da: es gibt keine weitere Schnittstelle. Wie immer bei Flächenberechnungen bietet es sich an, sich die Funktionsgraphen mal zu skizzieren. Das habe ich hier links vorbereitet. Du siehst also den Verlauf der Funktion f(x), dieser nach unten geöffneten Parabel, g(x), diese kubische Funktion, die so verläuft und h(x), die lineare Funktion, so. Was du erkennen kannst, ist, dass die beiden Funktionen f und h sich hier bei 0 schneiden. In dem Bild siehst du es nicht mehr, bei 3,5. Aber wenn du dir das Flächenstück anschaust, das jetzt hier farblich markiert ist, siehst du, diese 3,5 interessiert mich da auch gar nicht, da geht es um diese 0. Und genauso siehst du die Schnittstellen von g(x) und h(x) hier in der Skizze. Du kannst erkennen, dass dieses Flächenstück von diesen drei Funktionen eingeschlossen wird, das heißt, wir können jetzt den Flächeninhalt nicht so berechnen, wie wir das in dem Beispiel zuvor gemacht haben. Sondern wir müssen uns noch was geschicktes einfallen lassen. Ich nehme mal diese Fläche nochmal raus. Das heißt, du siehst wieder die Ausgangsgleichung. Und wenn du genau hinschaust: Wir haben ja die Schnittstellen bei 0, 1 und 2. Und wenn du durch x gleich Eins eine Gerade legst, die parallel zur y-Achse verläuft, kannst du dieses gesamte Flächenstück A aufteilen in ein linkes Flächenstück und ein rechtes Flächenstück. Und das linke Flächenstück nenne ich mal A1 und das rechte Flächenstück nenne ich mal A2. Und wie wir die beiden Flächenstücke berechnen, das siehst du im Folgenden. So. Nachdem wir jetzt die Schnittstellen schon berechnet haben, schauen wir uns an, wie es weitergeht. Hier links siehst du ja nochmal die Skizze, das markierte Flächenstück. Wir haben das ja schon aufgeteilt in ein Flächenstück A1 und ein Flächenstück A2. Schauen wir uns mal dieses linke Flächenstück an. Das wird von den Funktionen f und h begrenzt. Das heißt, ich bilde in dem zweiten Stück die Differenzfunktion zwischen f und h. Und da ich zwei Differenzenfunktionen habe, nenne ich die d1(x). f(x) - h(x). Und das ist gerade -x2 + 3,5x. Und bei dem rechten Flächenstück A2 bekomme ich auch wieder eine Differenzfunktion, die nenne ich dann d2(x). Und dieses Flächenstück wird eingeschlossen, wie du sehen kannst, von f und von g. Also: f(x) - g(x) = -x3 + 5x2 - 10,5x + 9. Das habe ich hier schon vorbereitet. Und jetzt kommen wir wieder zur Berechnung des Integrals. Wie ich bei dem vorherigen Beispiel schon gesagt habe, wenn du das siehst, dann siehst du ja, welche Funktion oberhalb und welche unterhalb liegt. Wenn du es nicht siehst, rechne bitte immer hier mit Beträgen, dann vermeidest du ein Minus in der Rechnung. Ich beginne mit dem linken Flächenstück, also A1. Und das geht von 0 bis zu diesem x = 1, also untere Grenze 0, obere Grenze 1. Und da betrachte ich die Differenzfunktion d1 dx. Ich brauche die Stammfunktion davon. Die lautet -1/3x3 + 7/4x2. Warte mal, da habe ich grad einen Fehler, Klammer zu früh zugemacht. Da gehört noch x Quadrat rein. Und das Ganze in den Grenzen von 0 bis 1. Das heißt, ich werte die Stammfunktion an 1 aus und dann 0 und bekomme hier heraus: 17/12. Wie gehabt, Flächeneinheiten, FE. Dasselbe mache ich mit dem Flächenstück A2. Und wieder in der Skizze. Du siehst, der linke Rand ist die 1und der rechte ist die 2. Und diesmal betrachte ich die Differenzfunktion 2, also d2(x) dx. Zur Stammfunktion: die lautet -1/4x4 + 5/3x3 - 21/4x2 + 9x in den Grenzen 1 bis 2. Und auch das wieder ausrechnen, da kommt raus: 14/12 Flächeneinheiten. So. Und das gesamte Flächenstück, welches wir gesucht haben, ergibt sich natürlich aus Addition von A1 und A2. Das schreibe ich jetzt mal hier unten hin. Also: A = A1 + A2 = 17/12 + 14/12 = 31/12 = 2,583 Flächeneinheiten. Gut, damit sind wir mit diesem Beispiel fertig. Ich fasse nochmal zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe. Ich habe mir Flächen zwischen Funktionsgraphen angeschaut. Begonnen habe ich mit dem Fall, dass zwei Funktionen einen Flächeninhalt einschließen, also das Bild siehst du jetzt nicht mehr hier. Und wir gehen da immer wie folgt vor: Wir berechnen die Schnittstellen, dann bilden wir eine Differenzfunktion und dann den Betrag des Integrals der Differenzfunktion. Was wäre nun, wenn wir mehrere Funktionen haben, die das Flächenstück einschließen? Das siehst du hier noch. Gut. Ich danke dir für deine Aufmerksamkeit, hoffe, dass du alles gut verstehen konntest und freue mich wie immer über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

2 Kommentare
  1. Vielen Dank. Das freut mich.
    Viel Spaß weiterhin mit den Videos.

    Von Frank Steiger, vor etwa 5 Jahren
  2. Super Video, hat mir sehr geholfen! :D

    Von Peter U., vor etwa 5 Jahren

Flächen zwischen Funktionsgraphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächen zwischen Funktionsgraphen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze das Vorgehen zur Berechnung eines Flächeninhaltes zwischen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Wenn 2 (oder mehrere) Funktionen oberhalb der x-Achse ein Flächenstück einschließen, so können

    • zunächst die jeweiligen Flächen zwischen den Funktionen und der x-Achse berechnet werden.
    • Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich anschaulich dadurch, dass von der oberhalb gelegenen Fläche die unterhalb gelegene abgezogen wird.

    Die Integrationsgrenzen sind gerade die Stellen, an welchen die Funktionen sich schneiden.

    Lösung

    Um den Flächeninhalt eines Flächenstücks zu berechnen, welches von 2 Funktionen, $f(x)$ und $g(x)$, eingeschlossen wird, müssen

    • zunächst die Schnittstellen berechnet werden. Zwischen diesen wird das Flächenstück eingeschlossen.
    • Es wird die Differenzfunktion $d(x)=f(x)-g(x)$ aufgestellt. Dabei ist die Reihenfolge der Subtraktion nicht wichtig, wenn konsequent mit Beträgen gerechnet wird.
    • Diese Differenzfunktion wird integriert mit den Schnittstellen als Integrationsgrenzen.
    Dabei wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet:

    $\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Es gilt $F'(x)=f(x)$.

  • Berechne den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Funktion $f(x)$ und $g(x)$ eingeschlossen wird.

    Tipps

    Um zwei Funktionen auf Schnittpunkte zu untersuchen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

    Beim Aufstellen der Differenzfunktion ist es egal, ob $f(x)$ von $g(x)$ oder umgekehrt abgezogen wird. Du musst dann die gesamte Rechnung mit Beträgen durchführen.

    Zur Berechnung des bestimmten Integrals der Differenzfunktion musst du eine Stammfunktion der Differenzfunktion bestimmen.

    Die Potenzregel der Integration lautet:

    $\int (x^n)dx=\frac1{n+1}x^{n+1},~n\neq-1$.

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist gegeben durch:

    $\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$

    mit $F'(x)=f(x)$.

    Lösung

    • Berechnung der Schnittpunkte:
    $\begin{align*} &&f(x)& =g(x) \\ &\Leftrightarrow&-x^2+4&=x^2-4x+4&|&+x^2-4\\ &\Leftrightarrow&0&=2x^2-4x\\ &\Leftrightarrow&0&=2x(x-2)\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &&x_2&=2. \end{align*}$

    Die Integrationsgrenzen sind also $0$ und $2$.

    • Aufstellen der Differenzfunktion. Da der Graph der Funktion zu $f(x)$ oberhalb dem zu $g(x)$ liegt, wird die Differenzfunktion wie folgt gebildet:
    $d(x)=f(x)-g(x)=-x^2+4-(x^2-4x+4)=-2x^2+4x$

    • Berechnung des bestimmten Integrals der Differenzfunktion:
    $\begin{align*} \int_{0}^{2}(-2x^2+4x)dx&=\left[-\frac23x^3+2x^2\right]_0^2\\ &=\left(-\frac23\cdot2^3+2\cdot2^2\right)-\left(-\frac23\cdot0^3+2\cdot0^2\right)\\ &=\frac{8}3=2,\bar6~[\text{FE}]. \end{align*}$

    Hier wurde der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet: $\int_{0}^{2}d(x)dx=[D(x)]_0^2=D(2)-D(0)$ mit $D'(x)=d(x)$.

    Die Stammfunktion wird berechnet mit

    • der Potenzregel der Integration: $\int (x^n)dx=\frac1{n+1}x^{n+1},~n\neq-1$,
    • der Faktorregel $\int (k\cdot f(x))dx=k\cdot F(x),~k\in\mathbb{R}$ sowie
    • der Summen-, beziehungsweise Differenzregel: $\int (f(x)±g(x))dx=F(x)±G(x)$.
    Dabei ist $F'(x)=f(x)$ und $G'(x)=g(x)$.

  • Gib den Flächeninhalt an, der von den drei Funktionen eingeschlossen wird.

    Tipps

    Es müssen gesamt drei Schnittstellenbestimmungen durchgeführt werden, wobei $x_1$ die signifikante Schnittstelle ganz links und $x_3$ die signifikante Schnittstelle ganz rechts ist:

    • $f(x)$ mit $h(x)$, diese liefert $x_1$ und eine weitere Schnittstelle bei $3,5$, welche für die Flächenberechnung nicht von Bedeutung ist,
    • $g(x)$ mit $h(x)$, diese liefert $x_2$ und
    • $f(x)$ mit $g(x)$, diese liefert $x_3$.

    Das Flächenstück muss aufgeteilt werden.

    Die Differenzfunktion zur Berechnung der linken Teilfläche ist $d_1(x)=-x^2+3,5x$, die der rechten ist $d_2(x)=-x^3+5x^2-10,5x+9$.

    Lösung

    Da dieses Flächenstück von drei Funktionen eingeschlossen wird, ist es sinnvoll zur Veranschaulichung die Graphen in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Dabei ist zu erkennen, dass das gesuchte Flächenstück $A$ zerlegt werden kann in zwei Teilflächen $A_1$ und $A_2$.

    Das Flächenstück $A_1$ liegt zwischen den Funktionsgraphen von $f(x)$ und $h(x)$, $A_2$ zwischen denen zu $f(x)$ und $g(x)$.

    Man berechnet zunächst die Schnittstellen der Funktionen:

    • $f(x)=h(x)\Leftrightarrow -x^2+3,5x=0\Leftrightarrow x(-x+3,5)=$, also $x_1=0$, die weitere Nullstelle bei $3,5$ ist für die Flächenberechnung nicht von Bedeutung.
    • $g(x)=h(x) \Leftrightarrow x^3-6x^2+14x-9=0$. Eine Schnittstelle erhält man durch Raten $x_2=1$. Mittels Polynomdivision kann man nachweisen, dass keine weiteren Schnittstellen existieren.
    • $f(x)=g(x)\Leftrightarrow -x^3+5x^2-10,5x+9=0$. Eine Schnittstelle $x_3=2$ erhält man wieder durch Raten. Auch hier existieren keine weiteren Schnittstellen.
    • Somit ist $A_1$ zu berechnen mit der Differenzfunktion $d_1(x)=-x^2+3,5x$ in den Grenzen $0$ bis $1$:
    $\begin{align*} A_1&=\int_{0}^{1}(-x^2+3,5x)dx\\ &=\left[-\frac13x^3+\frac74x^2\right]_0^1\\ &=\left(-\frac13\cdot1^3+\frac74\cdot1^2\right)-\left(-\frac13\cdot0^3+\frac74\cdot0^2\right)\\ &=\frac{17}{12}~[\text{FE}]. \end{align*}$

    • $A_2$ wird berechnet mit der Differenzfunktion $d_2(x)=-x^3+5x^2-10,5x+9$ in den Grenzen $1$ bis $2$:
    $\begin{align*} A_2&=\int_{1}^{2}(-x^3+5x^2-10,5x+9)dx\\ &=\left[-\frac14x^4+\frac53x^3-\frac{21}4x^2+9x\right]_1^2\\ &=\left(-\frac14\cdot 2^4+\frac53\cdot2^3-\frac{21}4\cdot2^2+9\cdot2\right)-\left(-\frac14\cdot1^4+\frac53\cdot1^3-\frac{21}4\cdot1^2+9\cdot1\right)\\ &=\frac{14}{12}~[\text{FE}]. \end{align*}$

    Die gesuchte Fläche ist damit $A=A_1+A_2=\frac{31}{12}\approx 2,58$ [FE].

  • Bestimme das Volumen des Dämmmaterials.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Gleichungen der quadratischen Funktionen.

    • Der Scheitelpunkt der oberen ist $S_1(0|4)$,
    • der der unteren $S_2(0|2)$.

    Die Gleichung

    • der oberen Parabel lautet $f(x)=-x^2+4$,
    • der unteren Parabel $g(x)=-\frac12x^2+2$.

    Bestimme die Schnittpunkte $f(x)=g(x)$.

    Du könntest auch die Symmetrie ausnutzen und nur die Fläche von $0$ bis $2$ berechnen. Um $A$ zu erhalten, wird diese dann verdoppelt.

    Das Volumen in $m^3$ des Hallendaches ist dann gegeben durch $A\cdot 120$. Dabei ist $A$ der Flächeninhalt des Querschnitts.

    Lösung

    Ein solcher Aufgabentyp wird sehr gerne in Abituraufgaben verwendet.

    Zunächst müssen die beiden Gleichungen der Parabeln für die obere und die untere Kante des Daches aufgestellt werden. Bei beiden kann der Scheitelpunkt abgelesen werden:

    • Die obere hat den Scheitelpunkt $S_1(0|4)$, also ist $f(x)=ax^2+4$. Da $f(2)=0$ ist, folgt $a=-1$, also $f(x)=-x^2+4$.
    • Ebenso kann die Gleichung der unteren mit dem Scheitelpunkt $S_2(0|2)$ angegeben werden $g(x)=ax^2+2$. Da $g(2)=0$ ist, erhält man $a=-\frac12$. Somit ist $g(x)=-\frac12x^2+2$.
    Nun können die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnet werden:

    $\begin{align*} &&f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow&-x^2+4&=-\frac12x^2+2&|&+x^2|-2\\ &\Leftrightarrow&2&=\frac12x^2&|&\cdot2\\ &\Leftrightarrow&4&=x^2&|&\sqrt{~}\\ &\Rightarrow&x_1&=2\\ &&x_2&=-2. \end{align*}$

    Zur Vereinfachung der Rechnung kann nun der Flächeninhalt von $0$ bis $2$ berechnet und dann verdoppelt werden, da beide Funktionen und somit das Flächenstück symmetrisch zur y-Achse sind.

    Die Differenzfunktion ist $d(x)=f(x)-g(x)=\left(-x^2+4\right)-\left(-\frac12x^2+2\right)=-\frac12x^2-2$.

    $\begin{align*} A_1&=\int_0^2d(x)dx\\ &=\int_0^2\left(-\frac12x^2+2\right)dx\\ &=\left[-\frac16x^3+2x\right]_0^2\\ &=\left(-\frac16\cdot2^3+2\cdot2\right)-\left(-\frac16\cdot0^3+2\cdot0\right)\\ &=\frac83 \end{align*}$

    Damit ist $A=2\cdot A_1=2\cdot\frac83=\frac{16}3=5,\bar3$.

    Da eine Einheit im Koordinatensystem $10~m$ entspricht, entspricht eine Flächeneinheit im Koordinatensystem $100~m^2$. Somit ist $A=533,\bar3~m^2$

    Das Volumen des Daches und damit des Dämmmaterials beträgt $V=A\cdot120~m=533,\bar3\cdot120~m^3=64000~m^3$.

  • Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen $f(x)=0,5x+1$ sowie $g(x)=x^3-2x^2-2,5x+1$.

    Tipps

    Zum Berechnen der Schnittstellen von Funktionen müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

    Ist bei einer kubischen Gleichung kein Term ohne $x$ vorhanden, so kann $x$ ausgeklammert werden und die erste Lösung ist $x_1=0$.

    Die p-q-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$ lautet:

    $\large{x_{1,2}=-\frac p2±\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}}$.

    Lösung

    Zur Berechnung der Schnittstellen werden die beiden Funktionen gleichgesetzt: $f(x)=g(x)$. Daraus resultiert die Gleichung $0,5x+1=x^3-2x^2-2,5x+1$, welche wir im Folgenden umstellen wollen, um die Schnittstellen zu ermitteln:

    $\begin{align*} &\Leftrightarrow&0&=x^3-2x^2-3x\\ &\Leftrightarrow&0&=x(x^2-2x-3)\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &\text{oder}&x^2-2x-3&=0. \end{align*}$

    Falls noch weitere Schnittstellen existieren, können diese mit der p-q-Formel ermittelt werden:

    $\begin{align*} x_{2,3}&=-\frac{-2}2±\sqrt{\left(\frac{-2}2\right)^2-(-3)}\\ x_2&=1+2=3\\ x_3&=1-2=-1. \end{align*}$

    Was es bedeutet, dass die beiden Funktionsgraphen drei Schnittstellen haben, kannst du an dem Bild erkennen.

  • Gib an, wie der Flächeninhalt, welcher von den beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ eingeschlossen wird, berechnet werden kann.

    Tipps

    Flächenstücke, die von Funktionsgraphen, welche unterhalb der x-Achse liegen, und der x-Achse eingeschlossen werden, müssen mit Beträgen berechnet werden: $A=\left|\int_a^bf(x)dx\right|$.

    Die Funktion $f(x)$ liegt sowohl oberhalb als auch unterhalb der Funktion $g(x)$.

    Wenn du dir unsicher bist, welche Funktion oberhalb und welche unterhalb liegt, kannst du immer mit Beträgen rechnen.

    Die beiden Funktionen schneiden sich dreimal: bei $x_1=-1$, $x_2=0$ und $x_3=3$.

    Lösung

    Wie in dem Bild zu erkennen ist, schließen die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zwei Flächenstücke ein, welche getrennt berechnet werden.

    Dies kann man entweder dadurch tun, dass man aus der Skizze entnimmt, welche Funktion oberhalb und welche unterhalb auf dem entsprechenden Intervall liegt. Die beiden Flächen könnten mit Beträgen berechnet werden.

    Also

    • entweder gilt $A=\int_{-1}^0(g(x)-f(x))dx+\int_{0}^3(f(x)-g(x))dx$, da $g(x)$ oberhalb von $f(x)$ auf $[-1;0]$ liegt und umgekehrt $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ auf $[0;3]$,
    • oder $A=\left|\int_{-1}^0(f(x)-g(x))dx\right|+\left|\int_{0}^3(f(x)-g(x))dx\right|$.
    Es gilt

    $\begin{align*} A_1&=\int_{-1}^0(g(x)-f(x))dx\\ &=\int_{-1}^0(x^3-2x^2-3x)dx\\ &=\left[\frac14x^4-\frac23x^3-\frac32x^2\right]_{-1}^0\\ &=\left(\frac14\cdot 0^4-\frac23\cdot 0^3-\frac32\cdot 0^2\right)-\left(\frac14\cdot(-1)^4-\frac23\cdot(-1)^3-\frac32\cdot(-1)^2\right)\\ &=\frac7{12} \end{align*}$

    sowie

    $\begin{align*} A_2&=\int_0^3(f(x)-g(x))dx\\ &=\int_0^3(-x^3+2x^2+3x)dx\\ &=\left[-\frac14x^4+\frac23x^3+\frac32x^2\right]_0^3\\ &=\left(-\frac14\cdot 3^4+\frac23\cdot 3^3+\frac32\cdot 3^2\right)-\left(-\frac14\cdot0^4+\frac23\cdot0^3+\frac32\cdot0^2\right)\\ &=\frac{45}4 \end{align*}$

    Insgesamt ist $A=A_1+A_2=\frac7{12}+\frac{45}4=\frac{142}{12}=11,8\bar3$ [FE].