Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen

"Gebrochenrationale Funktionen" Ein Thema, dem sich meistens mit einer gewissen Skepsis genähert wird. Aber wenn man einmal ins kalte Wasser gesprungen ist, ist es gar nicht so schlimm wie erwartet – versprochen! In diesem Video schauen wir uns erstmal an, wie wir die "NULLSTELLEN von gebrochenrationalen Funktionen" berechnen können. Zugegeben: Wenn wir SOLCHE Funktionsgleichungen vor uns haben und es unsere Aufgabe ist, die Nullstellen von diesen zu berechnen, kostet es vielleicht erstmal etwas Überwindung, sich da ran zu wagen. Aber es ist längst nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick vielleicht aussieht. Zuerst machen wir uns nochmal kurz klar, was wir da vor uns haben. Die Funktionen sind "gebrochen-rational", weil wir sowohl im Zähler als auch im Nenner ganzrationale Funktionen haben. Etwas vereinfacht ausgedrückt heißt das: Über und unter den Bruchstrichen finden wir Terme, die jeweils die unabhängige Variable x enthalten. Wie können wir an solche Funktionen jetzt rangehen, um ihre Nullstellen zu bestimmen? Wie bei allen anderen Funktionen auch, suchen wir die x-Werte, für die wir den Funktionswert Null erhalten und setzen daher die Funktionsterme gleich null. Dann hilft uns ein grundlegender Gedanke weiter: Wann haben Brüche eigentlich den Wert Null? Das ist dann (und zwar nur dann der Fall), wenn der Zähler gleich null ist. Und wenn der Zähler gleich null ist, ist es auch fast egal, was im Nenner steht. Der Wert eines solchen Bruches wird (wenn er definiert ist) immer Null sein! Um die Nullstellen zu berechnen, müssen wir also zunächst nur die Zähler betrachten! Und DIESE Gleichungen kommen einem in ihrer Erscheinungsform doch schon deutlich bekannter vor. Wir schauen uns zuerst DIE hier an. Diese Gleichung ist mit Hilfe der "pq"- beziehungsweise der Mitternachtsformel schnell gelöst. Wir erhalten zwei Lösungen für die Gleichung. Sind das dann auch schon unsere Nullstellen? Potenziell schon, aber eine Sache müssen wir bei "gebrochenrationalen" Funktionen noch bedenken, um ganz sicher zu gehen. Und zwar, dass die Definitionsmenge (also die Menge an Zahlen, für die die Funktion überhaupt definiert ist) bei gebrochenrationalen Funktionen etwas eingeschränkt wird. Denn wenn wir für x einen Wert wählen, für den der NENNER den Wert null annimmt, teilen wir de facto durch Null. Das ist aber (wie dir von deiner Mathelehrkraft sicherlich schon eingeschärft wurde) ein absolutes Tabu! "Geteilt durch Null" ist mathematisch nicht definiert, weshalb gebrochenrationale Funktionen an den Nullstellen des Nenners sogenannte "Definitionslücken" haben. Also müssen wir auch für DIESEN Term noch schnell die Nullstellen bestimmen, indem wir ihn gleich null setzen. Wir sehen: In unserem Fall stimmen die Nullstellen des Zählers nicht mit der Nullstelle des Nenners (also der Definitionslücke) überein. Es handelt sich bei den Nullstellen des Zählers also tatsächlich um Nullstellen der Funktion als Ganzes. Wir schauen uns die Vorgehensweise noch schnell an dem zweiten Beispiel an. Du kannst es ja auch mal selbst versuchen und dein Ergebnis dann vergleichen. Zuerst berechnen wir also wieder die Nullstellen des Zählers. Dafür können wir hier wieder die "pq"- oder "Mitternachtsformel" anwenden und kommen so auf die Nullstellen "fünf" und "minus drei". Ob die Nullstellen des Zählers auch Nullstellen der gesamten Funktion sind, überprüfen wir dann noch schnell, indem wir die Definitionslücken der gebrochenrationalen Funktion bestimmen. Praktischerweise sind die Nullstellen des Nenners schon fast ablesbar. Aus der ersten Klammer folgt, dass die eine Definitionslücke bei "x gleich eins" gegeben ist und die zweite Klammer müssen wir schnell noch gleich null setzen und als quadratische Gleichung lösen. AHA! Erwischt! Die Stelle "Minus drei", die sich frecherweise erst als Nullstelle ausgegeben hat, zeigt nun ihr wahres Gesicht! Es handelt sich um eine skrupellose Definitionslücke. Da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist (sprich überhaupt keinen Funktionswert annimmt), kann sie an dieser Stelle auch nicht den Wert Null annehmen. Die Funktion hat also nur EINE Nullstelle und zwar bei "x gleich fünf". Das hätte uns auch durch die Lappen gehen können. Zum Glück haben wir uns aber pflichtbewusst an die Vorgehensweise gehalten. Und DIE schauen wir uns jetzt auch nochmal schnell in einer Zusammenfassung an. Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen zu berechnen, ist eigentlich ganz leicht, wenn wir die Nullstellen von GANZrationalen Funktionen berechnen können. Denn genau darauf können wir unser Vorgehen letztendlich zurückführen. Zuerst berechnen wir die Nullstellen des ZÄHLERS, denn nur wenn der gleich Null ist, kann auch die Funktion insgesamt den Funktionswert "Null" annehmen. Zweitens müssen wir dann nur noch die Definitionslücken der Funktion beachten, die wir herausfinden, indem wir den NENNER gleich null setzen. Denn an Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, kann sie natürlich auch keine Nullstelle haben. Das sollte mit ein bisschen Übung schnell sitzen. Und bevor das Wasser dann doch zu kalt wird, kann man sich ja mal zwischendurch ein bisschen aufwärmen.