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Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften

Beim Rekonstruieren von Funktionen ist es wichtig, aus bekannten Eigenschaften den Funktionsterm zu bestimmen. Die Steckbriefaufgabe kann als eine Art "Kurvendiskussion rückwärts" betrachtet werden. Durch die mathematische Umformung von Sachverhalten, zum Beispiel beim Straßenbau, werden Trassierungsaufgaben gelöst. Interessierst du dich dafür? Entdecke dies und vieles mehr im folgenden Text!

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Lerntext zum Thema Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften

Worum geht es bei Rekonstruktionen von Funktionen?

Du kennst sicherlich die Kurvendiskussion: Dort ist der Term einer Funktion bekannt und du sollst die Eigenschaften ihres Graphen, wie die Lage von Extrem- und Wendepunkten, herausfinden.

Heute geht es um das Thema Rekonstruktion von Funktionen: Aufgaben, bei denen gewisse Eigenschaften der Funktion bekannt sind und ihr Term herausgefunden werden soll. Diese Art von Aufgabe wird daher auch Steckbriefaufgabe oder „Kurvendiskussion rückwärts“ genannt.

Wenn das Thema in einen Sachkontext eingebunden ist, geht es häufig um den Bau von Straßen oder Gleisen, die an bestehende Bedingungen, wie bereits existierende Straßenabschnitte, angepasst werden müssen. Einen geplanten Verkehrsweg nennt man Trasse und spricht dann von Trassierungsaufgaben.

Unabhängig davon, wie du diese Aufgaben nennst, musst du zu ihrer Lösung zunächst einen Text mathematisieren, um anschließend rechnen zu können. Im folgenden Text bekommst du Tipps zum Vorgehen.

Rekonstruktion von Funktionen – Vorgehen

Die folgenden vier Schritte können dir helfen, eine Struktur in deine Aufgaben zu bringen. Sie werden am Beispiel der folgenden Aufgabe veranschaulicht:

Aufgabenstellung
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grads, die durch den Punkt $(3\vert 1)$ verläuft, ein Maximum im Punkt $(0\vert 1)$ hat und an der Stelle $x=1$ die Gerade mit der Gleichung ${g(x)={-}4x+3}$ berührt.

Schritt 1: allgemeinen Funktionsterm und dessen Ableitungen finden

Um den allgemeinen Funktionsterm aufzustellen, muss man zunächst beachten, dass der Grad den höchsten Exponenten der Funktion angibt. Die Koeffizienten (Vorfaktoren) sind unbekannt und werden mit Parametern $a$, $b$, $c$… geschrieben. So lautet der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grads:

${f(x)=a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e}$

Für eine Funktion $n$-ten Grads erhält man einen allgemeinen Funktionsterm mit $n+1$ Parametern – bei unserer Funktion $4$-ten Grads sind es also $5$ Parameter. Ausnahmen von dieser Regel bilden nur Funktionen, zu denen bestimmte Symmetrieeigenschaften angegeben sind.

Bilde die Ableitungen der allgemeinen Funktion mithilfe von Potenzregel und Summenregel. Beachte, dass nach der Variable $x$ differenziert (abgeleitet) wird, d. h., die Parameter $a$ bis $e$ werden wie Zahlen behandelt.

$\begin{array}{rcl} f^{\prime} (x) & = & 4\cdot a\cdot x^{3}+3 \cdot b\cdot x^{2}+2\cdot c\cdot x+d \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 12\cdot a\cdot x^{2}+6 \cdot b\cdot x+2\cdot c \\ \end{array}$

Ausnahmen: Funktionen mit Symmetrien

Wenn eine Funktion mit Achsensymmetrie zur $y$-Achse gesucht ist, dann hat der Funktionsterm nur Glieder mit geraden Exponenten. Der allgemeine Funktionsterm einer achsensymmetrischen Funktion vierten Grads lautet damit: ${f(x)=a\cdot x^{4}+c\cdot x^{2}+e(\cdot x^{0})}$

Wenn eine Funktion mit Punktsymmetrie zum Ursprung gesucht ist, dann hat der Funktionsterm nur Glieder mit ungeraden Exponenten. Der allgemeine Funktionsterm einer punktsymmetrischen Funktion fünften Grads lautet damit: ${f(x)=a\cdot x^{5}+c\cdot x^{3}+e\cdot x^{1}}$

Schritt 2: Bedingungen in Form von Gleichungen formulieren

Da wir in unserem Beispiel fünf unbekannte Parameter haben, benötigen wir auch fünf Gleichungen, die aus dem Text herauszulesen sind:

  • Die Funktion verläuft durch den Punkt $(3\vert 1)$.
    Also ist an der Stelle $x=3$ der Funktionswert $y=1$, wir schreiben: $f(3)=1$.

  • Die Funktion hat ein Maximum im Punkt $(0\vert 1)$.
    Zum einen können wir $f(0)=1$ ablesen. Zum anderen ist noch eine zweite Bedingung enthalten: Da es sich um ein Maximum, also einen Extrempunkt, handelt, ist die Steigung und somit die erste Ableitung an dieser Stelle gleich null ($f^{\prime}(0)=0$).

  • Die Funktion berührt an der Stelle $x=1$ die Gerade mit der Gleichung ${g(x)={-}4x+3}$.
    Auch in diesem Satz sind zwei Bedingungen enthalten. Zum einen hat die Funktion an der Stelle $x=1$ die gleiche Steigung wie die Gerade. Die Steigung der Geraden können wir ablesen: $m={-}4$, also gilt $f^{\prime}(1)={-}4$. Zum anderen haben $f$ und $g$ an der Stelle $x=1$ den gleichen Funktionswert. Wir berechnen $g(1)= {-}4\cdot 1+3={-}1$ und wissen daher: $f(1)={-}1$.

Schritt 3: Gleichungssystem aufstellen und lösen

Unsere fünf Bedingungen aus Schritt 2 können wir in die allgemeinen Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen.

$\begin{array}{lcrcr} f(3)=1& \implies & a\cdot 3^{4}+b\cdot 3^{3}+c\cdot 3^{2}+d\cdot 3+e = 1\\ f(0)=1 & \implies & a\cdot 0^{4}+b\cdot 0^{3}+c\cdot 0^{2}+d\cdot 0+e = 1\\ f^{\prime}(0)=0 & \implies & 4\cdot a\cdot 0^{3}+3 \cdot b\cdot 0^{2}+2\cdot c\cdot 0+d= 0\\ f^{\prime}(1)={-}4 & \implies & 4\cdot a\cdot 1^{3}+3 \cdot b\cdot 1^{2}+2\cdot c\cdot 1+d= {-}4 \\ f(1)={-}1 & \implies & a\cdot 1^{4}+b\cdot 1^{3}+c\cdot 1^{2}+d\cdot 1+e= {-}1\\ \end{array}$

Wir vereinfachen die Gleichungen und erhalten ein lineares Gleichungssystem aus fünf Gleichungen und fünf Unbekannten.

$\begin{array}{rcr} a\cdot 81 +b\cdot 27+c\cdot 9+d\cdot 3+e &=& 1\\ e &=& 1\\ d&=& 0\\ 4\cdot a\cdot 1+3 \cdot b\cdot 1+2\cdot c\cdot 1+d&= &{-}4 \\ a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1+d\cdot 1+e&=& {-}1\\ \end{array}$

Da $d=0$ und $e=1$ direkt abgelesen werden können, setzen wir diese Lösungen in die anderen Gleichungen ein. Wir vereinfachen erneut und erhalten:

$\begin{array}{rcr} 81 \cdot a+27 \cdot b+ 9 \cdot c&=& 0\\ 4\cdot a+3\cdot b+2\cdot c&= &{-}4 \\ a+b+c&=& {-}2\\ \end{array}$

Dies ist nun ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das mit dem Gauß-Algorithmus lösbar ist.

Als Ergebnisse erhalten wir $a=0,5$ , $b={-}1$ und $c={-}1{,}5$. Der Funktionsterm lautet also insgesamt ${f(x)=0{,}5x^{4}{-}x^{3}{-}1{,}5x^{2}+1}$.

Schritt 4: Probe

Wenn du den Funktionsterm gefunden hast, solltest du immer die Probe durchführen und gegebenenfalls den Graphen skizzieren, um zu prüfen, ob die Bedingungen aus der Aufgabenstellung erfüllt sind.

Funktionsgraph der rekonstruierten Funktion

Übersetzung von Bedingungen in mathematische Gleichungen

Eine der größten Schwierigkeiten bei Rekonstruktionsaufgaben ist es, aus dem Aufgabentext die Bedingungen herauszulesen und in mathematische Gleichungen zu formulieren. Häufig sind die Texte sehr kompakt formuliert und in einem Satz sind mehrere Bedingungen enthalten. Denke daran, dass du genügend Bedingungen brauchst, damit das LGS aus Schritt 3 eindeutig lösbar ist.

Um eine eindeutige Lösung für die Funktionsgleichung zu erhalten, muss die Anzahl der Bedingungen, die aus dem Aufgabentext gefunden wird, der Anzahl der unbekannten Parameter entsprechen.

Die Beispiele in der folgenden Tabelle können dir helfen, den Text in mathematische Gleichungen zu schreiben. Zu den Beispielen mit Sternchen findest du unten zusätzliche Erläuterungen.

Beispiel Text Übersetzung in Gleichungen
Die Funktion $f$...
1 ... verläuft durch den Punkt $P(3\vert 8)$. $f(3)=8$
2 ... hat eine Nullstelle bei $x=2$. $f(2)=0$
3 ... schneidet die $y$-Achse bei $y=7$. $f(0)=7$
4* ... schneidet den Funktionsgraphen von $g$ mit $g(x)=3x+2$ an der Stelle $x=1$. $f(1)=5$
5 ... hat eine Extremstelle bei $x=9$. $f^{\prime}(9)=0$
6 ... hat einen Extrempunkt (Hochpunkt, Tiefpunkt) im Punkt $P(9\vert 13)$. $f^{\prime}(9)=0$ und ${f(9)=13}$
7* ... berührt die $x$-Achse an der Stelle $x=4$. $f(4)=0$ und ${f^{\prime}(4)=0}$
8 ... hat an der Stelle $x=2$ die Tangente mit der Gleichung $y=0{,}5 x+3$. $f^{\prime}(2)=0{,}5$ und $f(2)=4$
9 ... hat an der Stelle $x=1$ eine Tangente, die parallel zu ${y=2 x+5}$ verläuft. $f^{\prime}(1)=2$
10 ... hat an der Stelle $x=1$ eine Tangente, die parallel zur $x$-Achse ist. $f^{\prime}(1)=0$
11 ... hat an der Stelle $x=4$ eine Wendestelle. $f^{\prime\prime}(4)=0$
12 ... hat einen Wendepunkt im Punkt $P(4\vert 7)$. $f^{\prime\prime}(4)=0$ und ${f(4)=7}$
13* ... hat bei $x=3$ die Wendetangente $y={-}2x+1$. $f^{\prime\prime}(3)=0$ und $f^{\prime}(3)={-}2$ und ${f(3)={-}5}$
14 ... hat einen Sattelpunkt in $P(7\vert 4)$. $f(7)=4 $ und ${f^{\prime}(7)=0}$ und ${f^{\prime\prime}(7)=0}$
15* ... hat im Punkt $P(5\vert {-}1)$ eine Wendetangente orthogonal zur Parabel $p(x)=x^{2}-3x$. $f(5)={-}1$ und ${f^{\prime\prime}(2)=0}$ und ${f^{\prime}(5)={-}\frac{1}{7}}$
16* … schneidet die erste Winkelhalbierende bei $x=3$ senkrecht. $f(3)=3$ und ${f^{\prime}(3)={-}1}$

Zusätzliche Erläuterungen

  • Zu 4: Warum gilt $f(1)=5$?
    $g$ und $f$ haben im Schnittpunkt den gleichen Funktionswert, berechne also $g(1)=5$.
  • Zu 7: Warum gilt $f^{\prime}(4)=0$?
    Wenn der Graph die $x$-Achse berührt (doppelte Nullstelle), gibt es dort immer eine Extremstelle, also eine waagerechte Tangente, und die Steigung an dieser Stelle ist null.
  • Zu 13: Warum gilt $f(3)={-}5$?
    $f$ hat im Berührpunkt den gleichen Funktionswert wie die Wendetangente, berechne also ${t(3)={-2}\cdot 3 + 1={-}5}$.
  • Zu 15: Warum gilt $f^{\prime}(5)={-}\frac{1}{7}$?
    Zunächst berechnen wir die Steigung der Tangente an $p$ an der Stelle ${x=2}$. Es ist ${p^{\prime}(x)=2x-3}$ und ${p^{\prime}(5)=2\cdot 5-3=7}$. Wenn zwei Geraden orthogonale Steigungen haben, gilt ${m_{1}=-\frac{1}{m_2}}$, also ist hier die Steigung der Wendetangente ${m=-\frac{1}{7}}$ und dies entspricht auch dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=5$.
  • Zu 16: Warum gilt $f(3)=3$ und ${f^{\prime}(3)={-}1}$?
    Die erste Winkelhalbierende/Winkelhalbierende im ersten Quadranten ist die Gerade mit der Gleichung ${w(x)=x}$. Damit gilt ${f(3)=w(3)=3}$ und für die Steigung gilt: ${m={-}\frac{1}{1}={-}1}$.

Vorgehen bei der Rekonstruktionen von Funktionen – Zusammenfassung

  1. Notiere den allgemeinen Funktionsterm und seine Ableitungen.
  2. Übersetze die Bedingungen aus dem Aufgabentext in mathematische Gleichungen.
  3. Löse das lineare Gleichungssystem.
  4. Mache die Probe.

Rekonstruktion von Funktionen – Übungen

Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen bei Rekonstruktionsaufgaben.

    Tipps

    Welche Information bekommst du aus der Aufgabenstellung? Das ist Schritt 1.

    Am Ende lohnt es sich, die erhaltene Lösung noch einmal zu überprüfen.

    Lösung

    Schritt 1

    Stelle den allgemeinen Funktionsterm und die Ableitung(en) auf.

    $f(x)=ax^2+bx+c$

    $f\prime(x)=2ax+b$

    Schritt 2

    Formuliere die im Text gegebenen Aussagen in Form von mathematischen Gleichungen

    $f(0)=0$

    $f(-1)=2$

    $f\prime(-1)=0$

    Schritt 3

    Stelle das LGS auf und löse es.

    $0^2 \cdot a+0 \cdot b+c=0$

    $(-1)^2 \cdot a+ (-1)\cdot b+c=2$

    $2\cdot (-1)\cdot a+(-1)b=0$

    Schritt 4

    Mache die Probe.

    Für die Lösungen $a=-2$, $b=-4$ und $c=0$ des LGS ergibt sich die Funktion

    $f(x)=-2x^2-4x$.

    Diese Funktion verläuft durch den Ursprung und hat ein Maximum bei $P(-1\vert 2)$. Damit sind alle Bedingungen aus der Aufgabe erfüllt.

  • Berechne die Funktionswerte.

    Tipps

    Bei der Extremstelle einer Funktion hat die erste Ableitung eine Nullstelle.

    Wenn der Funktionsgraph die $x$-Achse berührt (und nicht schneidet), dann hat der Graph an dieser Stelle eine Extremstelle.

    Lösung

    Funktion $f$

    Der Graph von $f$ hat einen Hochpunkt bei $P(2\vert7)$.

    $f(2)=7$ und $f'(2)=0$.

    Funktion $g$

    Der Graph $g$ berührt die $x$-Achse im Ursprung.

    $g(0)=0$ und $g'(0)=0$.

  • Gib die passenden Gleichungen an.

    Tipps

    Die aus der Kurvendiskussion bekannten notwendigen Bedingungen für Extrem-, Wende- und Sattelpunkten kannst du hier "rückwärts" anwenden, um eine Aussage in die mathematische Gleichung zu übersetzen.

    Lösung

    $f$ verläuft durch $P(3\vert 4)$: Dieser Satz enthält als einzige Bedingung $f(3)=4$.

    $f$ hat ein Maximum bei $P(4\vert 3)$: Dieser Satz besagt, dass $f$ durch $P(4\vert 3)$ verläuft und enthält daher die Bedingung $f(4)=3$. Da an der Stelle $x=4$ eine Extremstelle ist, gilt außerdem $f^\prime(4)=0$.

    $f$ hat einen Wendepunkt bei $P(4\vert 0)$: Dieser Satz besagt, dass $f$ durch $P(4\vert 0)$ verläuft und enthält daher die Bedingung $f(4)=0$. Da an der Stelle $x=4$ eine Wendestelle ist, gilt außerdem $f^{\prime\prime} (4)=0$.

    $f$ hat einen Sattelpunkt bei $P(3\vert 0)$: Dieser Satz besagt, dass $f$ durch $P(3\vert 0)$ verläuft und enthält daher die Bedingung $f(3)=0$. Da an der Stelle $x=3$ eine Sattelstelle ist, gilt außerdem $f^\prime (3)=0$ und $f^{\prime\prime} (3)=0$.

  • Bestimme die passenden Gleichungen.

    Tipps

    Eine Wendetangente ist eine Tangente, die den Wendepunkt einer gegeben Funktion berührt und somit an dieser Stelle die gleiche Steigung wie die Funktion hat.

    Drei Gleichungen treffen auf diesen Satz zu.

    Lösung

    Da die Funktion an der Stelle $x=2$ einen Wendestelle hat, gilt $f^{\prime\prime}(2)=0$.

    Da $f$ an der Stelle $x=3$ die Wendetangente berührt, hat der Graph hier die gleiche Steigung wie die Tangente, welche wir im Funktionsterm ablesen können. Daher gilt $f^\prime(2)=3$.

    $f$ hat im Berührpunkt den gleichen Funktionswert wie die Wendetangente, also setzen wir $2$ in die Geradengleichung ein und erhalten $3\cdot 2 - 10=-4$. Dieses ist auch der Funktionswert von $f$ an der Stelle $2$ und es gilt $f(2)=-4$.

  • Gib die Eigenschaften des allgemeinen Funktionsterms an.

    Tipps

    Der Grad einer ganzrationalen Funktion wird durch die $x$-Potenz mit dem höchsten Exponenten angegeben.

    Bedenke, dass auch das absolute Glied, also ein Summand der nicht mit $x$ bzw. nur mit $x^0$ multipliziert wird, in der allgemeinen Formel für ganzrationale Funktionen enthalten ist.

    Lösung

    Für eine Funktion $n$-ten Grades erhält man einen allgemeinen Funktionsterm mit n+1 Parametern.

    Ausnahmen von dieser Regel bilden nur Funktionen, zu denen bestimmte Symmetrieeigenschaften angegeben sind.

    Wenn eine Funktion mit Punktsymmetrie zum Ursprung gesucht ist, dann hat der Funktionsterm nur Glieder mit ungeraden Exponenten.

    Wenn eine Funktion mit Achsensymmetrie zur $y$-Achse gesucht ist, dann hat der Funktionsterm nur Glieder mit geraden Exponenten.

  • Bestimme den unbekannten Funktionsterm.

    Tipps

    Die Information "berührt die $x$-Achse bei $x=2$" enthält zwei Aussagen.

    Der Graph hat einen Tiefpunkt bei $TP(0\vert 2)$.

    Du solltest auf folgendes LGS kommen:

    $d=-6$

    $a+b+c+d=0$

    $8a+4b+2c+d=0$

    $12a+4b+c=0$

    Lösung

    Schritt 1 Der allgemeine Funktionsterm und seine Ableitung lautet:

    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

    $f^\prime(x)=3ax^2+2bx+c$

    Schritt 2

    Aus dem Text können wir vier Bedingungen ablesen:

    $f(0)=-6$

    $f(1)=0$

    $f(2)=0$

    $f^\prime(2)=0$

    Schritt 3

    Aus den vier Gleichungen ergibt sich das folgende LGS:

    $d=-6$

    $a+b+c+d=0$

    $8a+4b+2c+d=0$

    $12a+4b+c=0$

    Schritt 4

    Die Lösungen des LGS sind $a=1,5$; $b=-7,5$; $c=12$ und $ d=−6$.

    Der Funktionsterm lautet $f(x)=1,5x^3-7,5x^2+12x-6$. Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $-6$, hat eine Nullstelle bei $1$ und einen Tiefpunkt bei $TP(2\vert 0)$.

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sofatutor Team
Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse