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Grenzwerte von Funktionen

Wie verhalten sich Funktionen bzw. ihre Graphen im Unendlichen? Was passiert an anderen kritischen Stellen?

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Was ist der Grenzwert einer Funktion?

Wir benutzen Grenzwerte in der Mathematik immer dann, wenn wir das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines $x$-Wertes untersuchen wollen, den wir selbst nicht in die Funktion einsetzen können. Als erstes wirst du den Grenzwertbegriff normalerweise kennenlernen, wenn du das Verhalten von Funktionen bzw. den zugehörigen Graphen „im Unendlichen“ untersuchen möchtest.

In der Mathematik spricht man auch oft vom Limes, was dem lateinischen Wort für Grenze oder Grenzwall entspricht. Die abkürzende Schreibweise ist $\lim$.

Grenzwerte für $x$ gegen positiv/negativ unendlich ($\pm\infty$)

Wie bereits oben erwähnt, eignet sich das Konzept von Grenzwerten in der Mathematik dazu zu untersuchen, wie sich die Funktionswerte eine Funktion für sehr große oder sehr kleine $x$-Werte verhalten. Man bestimmt also die Grenzwerte für $x$ gegen unendlich.

Wir betrachten nun eine beliebige Funktion $f(x)$, deren $y$-Werte immer größer werden, wenn man größere $x$-Werte einsetzt. Ein Beispiel ist $f(x) = x^{3}$. Man schreibt dann:

$\lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty$

.

Dies liest man so: „Limes $f$ von $x$ für $x$ gegen plus unendlich ist gleich plus unendlich“.

Oft einigt man sich darauf das $+$ wegzulassen und einfach nur von „unendlich“ zu sprechen. Analog dazu kannst du auch untersuchen, was passiert, wenn $x$ immer kleiner wird. Unsere Beispielfunktion wird dann ebenfalls immer kleiner. Es gilt:

$\lim\limits_{x\to -\infty}~f(x)=-\infty$

.

Der Grenzwert ganzrationaler Funktionen ist immer entweder $\infty$ oder $-\infty$. Die Funktion „endet“ also nicht an einem bestimmten Punkt, sondern verläuft immer weiter ins Unendliche.

Grenzwerte für $x$ gegen $x_0$

Bisher haben wir uns die Grenzwerte für $x$ gegen plus/minus unendlich angeschaut. Bei nicht-ganzrationalen Funktionen kann es Sinn machen, auch andere kritische Stellen zu untersuchen. Der Wert $x_0$ steht dabei für eine solche kritische Stelle. Für gebrochenrationale Funktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen und Exponential- und Logarithmusfunktionen ist es manchmal sinnvoll, zusätzlich zum Grenzwert für $x$ gegen unendlich auch die Grenzwerte für $x$ gegen $x_0$ zu bestimmen. Dabei sollte $x_0$ eine Definitionslücke sein. Mathematisch formulierst du das so:

$\lim\limits_{x\to x_0}~f(x)$.

Diese Grenzwerte kannst du mithilfe von vier verschiedener Verfahren ausrechnen. Diese sind Testeinsetzung, Termumformung, die h-Methode und Polynomdivision.

Grenzwertsätze

Für Grenzwerte gelten eigene Rechenregeln. Diese sind unter dem Begriff Grenzwertsätze zusammengefasst. Diese Regeln helfen dir dabei, aus bekannten Grenzwerten neue Grenzwerte zu errechnen.

Stetigkeit und Zwischenwertsatz

Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist die sogenannte Stetigkeit. Sie kann sowohl an einer Stelle als auch in einem Intervall untersucht und gezeigt werden. Die Stetigkeit einer Funktion lässt sich mit Hilfe von Grenzwerten nachweisen. Dabei gilt, dass eine Funktion $f(x)$ im Punkt $x_0$ stetig ist, wenn gilt:

  • $f(x_0)$ ist definiert.
  • Der Grenzwert $\lim\limits_{x\to x_0}~f(x)$ existiert.
  • Der Grenzwert $\lim\limits_{x\to x_0}~f(x)$ ist gleich dem Funktionswert $f(x_0)$.

Für stetige Funktionen gilt der Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Zwischenwertsatz. Dieser Satz gibt Auskunft über den Wertebereich stetiger Funktionen in einem Intervall.