Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.1 / 8 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Aline Mittag
Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie das Grenzwertverhalten gebrochenrationaler Funktionen von Zähler- und Nennergrad abhängen.

    Tipps

    Hier ist der Graph der Funktion $f(x)=\frac1x$ zu sehen.

    Die Asymptoten (im Unendlichen) sind Graphen von Funktionen.

    Der Graph einer Funktion kann nicht parallel zur y-Achse verlaufen.

    Lösung

    Das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen hängt von dem Zähler- sowie Nennergrad ab.

    Der Zählergrad ist der höchste Exponent des Zählers $Z(x)$ und der Nennergrad der höchste Exponent des Nenners $N(x)$.

    Dabei können drei Fälle unterschieden werden:

    Der Nennergrad ist größer als der Zählergrad.

    Dies ist zum Beispiel bei $f(x)=\frac1x$ der Fall.

    Dann ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote der Funktion. Das bedeutet, dass

    $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=0$ ist.

    Der Nennergrad ist gleich dem Zählergrad.

    Hierfür kann man das Beispiel $f(x)=\frac{x+1}x=1+\frac1x$ betrachten.

    Dann ist eine zur x-Achse parallele Gerade durch $y=c$ eine waagerechte Asymptote der Funktion. Das bedeutet, in dem obigen Beispiel ist $c=1$, dass

    $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=c$

    ist.

    Der Nennergrad ist kleiner als der Zählergrad.

    Dies ist zum Beispiel bei $f(x)=\frac{x^2+1}x=x+\frac1x$ der Fall.

    Dann kann mit Hilfe einer Polynomdivision die Funktion immer geschrieben werden als ganzrationaler Teil plus ein Rest. Der Rest geht immer gegen $0$. Das bedeutet, im Unendlichen verhält sich die gebrochenrationale Funktion ebenso wie der ganzrationale Teil.

    In dem Beispiel ist der Nennergrad ist um $1$ kleiner als der Zählergrad: Dann ist die Funktion $a(x)=x$ eine lineare Asymptote.

    Ist der Nennergrad um mehr als $1$ kleiner als der Zählergrad, so ergibt sich eine Näherungskurve als Asymptote.

    Zur Klärung dient ein Beispiel:

    $m(x)=\frac{x^3+2x}{x-1}=x^2+x+3+\frac{3}{x-1}$,

    dies ergibt sich durch eine Polynomdivision. ***Dieses Wort zum Beispiel kennt mein Rechtschreibprogramm nicht, und zeigt es demzufolge als falsch an!***

    Die quadratische Funktion $a(x)=x^2+x+3$ und damit die zugehörige Parabel ist hier die Asymptote.

  • Ermittle eine gebrochenrationale Funktion mit den gegebenen Eigenschaften.

    Tipps

    Polstellen sind Nennernullstellen.

    Beachte: Wenn der Nennergrad größer ist als der Zählergrad, dann ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote.

    Wenn der Nennergrad kleiner ist als der Zählergrad, dann ist eine Funktion (linear, quadratisch ...) eine Asymptote der Funktion.

    Hier siehst du ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion. Der Grenzwert dieser Funktion ist

    $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\frac ab$.

    Lösung

    Bei gegebenen Informationen zu gebrochenrationalen Funktionen können Bedingungen für den Zähler $Z(x)$ und Nenner $N(x)$ sowie die Relation von Zählergrad und Nennergrad hergeleitet werden.

    Da die Funktion eine Polstelle, also eine Nennernullstelle, bei $x=3$ hat, gilt $N(3)=0$, also zum Beispiel $N(x)=x-3$.

    Die Funktion hat eine waagerechte Asymptote $y=-1$, das bedeutet

    • zum einen, dass der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, und
    • zum anderen, dass der Zähler $Z(x)=-x+c$ ist.
    Zuletzt ist noch bekannt, dass die Funktion eine Nullstelle bei $x=2$ besitzt. Also ist $Z(2)=-2+c=0$. Daraus folgt, dass $c=2$ sein muss.

    Gesamt sieht eine mögliche Funktionsgleichung so aus:

    $f(x)=\frac{-x+2}{x-3}$

  • Entscheide, welche der Funktionen eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

    Tipps

    Merke dir:

    • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
    • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.

    Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle:

    Damit ist eine Polstelle von ungeradem Grad eine ungerade (einfache, dreifache, ...) und eine Polstelle von geradem Grad eine gerade (doppelte, vierfache, ...) Nennernullstelle.

    Bestimme also die Nennernullstelle(n).

    Es liegen drei Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

    Lösung

    Polstellen sind Nennernullstellen:

    • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
    • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.
    Hier sind einige Beispiele zu sehen:

    • $f(x)=\frac{x^2-1}{(x+2)^2}$: Der Nenner $(x+2)^2$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x=-2$ - hier liegt also kein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x^2-1}{x+2}$: Der Nenner $x+2$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=-2$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x+2}{x^2-2x+1}$: Der Nenner kann wie folgt faktorisiert werden $x^2-2x+1=(x-1)^2$, es liegt also eine doppelte Nullstelle bei $x=1$ vor - hier liegt kein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$: Der Nenner $x-1$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=1$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x}{x-3}$: Der Nenner $x-3$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=3$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
  • Prüfe, welche der Funktionen die gegebenen Eigenschaften besitzt.

    Tipps

    Eine Funktion hat die x-Achse als waagerechte Asymptote, wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad.

    Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Nullstellen des Zählers.

    Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle.

    Es liegt ein Vorzeichenwechsel an dieser Polstelle vor, wenn diese einen ungeraden Grad hat.

    Lösung

    (A) Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei $\mathbf{x=1}$:

    Das bedeutet, der Zähler ist $0$ für $x=1$. Dies liegt bei den folgenden beiden Funktionen vor:

    • $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$
    • $m(x)=\frac{2x-2}{(x-1)^2}$
    (B) Die Funktion besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $\mathbf{x=1}$.

    Hier muss der Nenner $0$ sein für $x=1$. Diese Nullstelle muss einfach, dreifach oder ... sein. Dies ist der Fall bei der Funktion:

    • $g(x)=\frac{x+1}{x-1}$
    Die Funktion $k(x)=\frac{x+1}{(x-1)^2}$ hat zwar auch eine Nennernullstelle bei $x=1$, jedoch ist dies eine doppelte Nullstelle, es liegt also kein Vorzeichenwechsel vor.

    (C) Die Funktion hat die x-Achse als waagerechte Asymptote.

    Der Zählergrad muss echt kleiner sein als der Nennergrad. Dies liegt bei den folgenden beiden Funktionen vor:

    • $l(x)=\frac{1}{x+2}$
    • $n(x)=\frac{x+1}{x^2+2}$
    Die Funktion $k(x)=\frac{x+1}{(x-1)^2}$ erfüllt keine dieser Eigenschaften.

  • Beschreibe die Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen.

    Tipps

    Die Funktion $f(x)=\frac1x$ hat eine einfache Nennernullstelle, also Polstelle, bei $x=0$.

    Ein Bruch ist nicht definiert, wenn im Nenner $0$ steht.

    Wenn man von Stellen spricht, ist meist nur $x$ genannt. Ein Punkt hat eine x- sowie eine y-Koordinate $P(x|y)$.

    Lösung

    Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen:

    • Gebrochenrationale Funktionen besitzen Definitionslücken. Dies sind die Stellen, an welchen der Nenner der Funktion $0$ wird.
    • Insbesondere interessiert das Grenzwertverhalten an diesen Definitionslücken.
    • Diese Definitionslücken werden auch Polstellen genannt.
    Wir schauen uns das Beispiel

    $f(x)=\frac{x}{x-1}$

    an. Diese Funktion ist nicht definiert für $x=1$. Man schreibt dies so

    $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

    An dem Graphen kann man erkennen, dass bei $x=1$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt.

    • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
    • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.
    Sei der Nenner zum Beispiel $(x-1)^2$, dann liegt eine doppelte Nullstelle vor, also eine Polstelle vom Grad $2$. An dieser Polstelle liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

  • Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung der gebrochenrationalen Funktion mit den gegebenen Eigenschaften.

    Tipps

    Zum Beispiel hat die Funktion

    $f(x)=\frac{x^2+1}x$

    die Funktion $a(x)=x$ als Asymptote.

    An einer Polstelle ist der Nenner $0$. Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss die Vielfachheit dieser Nullstelle ungerade sein.

    Die Funktion $q(x)=x^2+4x+3$ hat die Nullstellen $x=-3$ oder $x=-1$. Sie lässt sich wie folgt faktorisieren:

    $q(x)=(x+3)\cdot (x+1)$.

    Lösung

    Die gesuchte Funktion kann Schritt für Schritt rekonstruiert werden:

    Da die lineare Funktion $a(x)=2x+1$ eine lineare Asymptote ist, kann man schon einmal folgern, dass der Zählergrad um $1$ größer sein muss als der Nennergrad.

    Es ist zusätzlich bekannt, dass die Funktion eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=1$ hat. Das bedeutet, dass der Nenner $N(x)=x-1$ sein kann.

    Gemeinsam mit der Asymptote muss nun gelten:

    $Z(x)=2x^2+bx+c$.

    Zuletzt sind auch noch die Nullstellen der Funktion bekannt: $x=0$ sowie $x=0,5$. Der Zähler lässt sich dann schreiben als $Z(x)=2x(x-0,5)=2x^2-x$.

    Gemeinsam lautet eine mögliche Funktionsgleichung

    $f(x)=\frac{2x^2-x}{x-1}$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.156

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.930

Lernvideos

37.078

Übungen

34.333

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden