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Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen 07:28 min

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Transkript Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen

Hallo. Ich bin Aline. Und in diesem Video werden wir uns mit der Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen beschäftigen. Dazu wiederholen wir zunächst die Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen und werden anschließend eine Beispielaufgabe lösen. Los gehts! Anders, als eine ganzrationale Funktion ist eine gebrochenrationale Funktion an einigen Stellen nicht definiert. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Nenner 0 wird. Aus diesem Grund interessiert uns neben den uns schon bekannten Eigenschaften, wie zum Beispiel Null- oder Extremstellen, das Verhalten der Funktion an den nicht definierten Stellen. Solche Definitionslücken werden auch Polstellen genannt. Die Funktion f(x) = x/(x - 1) zum Beispiel, ist an der Stelle x=1 nicht definiert. Dies können wir auch erkennen, wenn wir uns den verlauf der Funktion anschauen. Da die Funktion eine Polstelle bei x=1 besitzt, nähert sie sich an einer senkrechten Asymptote an der Stelle x=1 an. Da der Graph von dem negativen in den positiven Bildbereich springt, spricht man hier von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Pol ungerader Ordnung ist. Bei einem Pol gerader Ordnung ändert der Graph das Vorzeichen des Bildbereiches nicht. Man spricht dann von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Wir wissen, dass ganzrationale Funktionen für unendliche x auch gegen plus oder minus Unendlich streben. Dies ist bei gebrochenrationalen Funktionen nicht immer der Fall. Abhängig von Zähler- und Nennergrad können wir vier verschiedene Fälle unterscheiden: Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, ist die x-Achse waagerechte Asymptote der Funktion. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion g(x) = 1/(x2 - 1). Wollen wir den Limes x gegen plus oder minus Unendlich für 1/(x2 - 1) berechnen, können wir zunächst die höchste Potenz, also x2 ausklammern und erhalten den Limes x gegen plus oder minus Unendlich für (x2×1/x2)/(x2×(1 - 1/x2). Wir können nun x2 kürzen und es bleibt der Limes x gegen plus oder minus Unendlich für (1/x2)/(1 - 1/x2) übrig. Auch hier können wir die höchste Potenz ausklammern und erhalten als Grenzwert den Limes x gegen plus oder minus Unendlich für x2/(x2×(1 - 1/x2)), sodass wir als Grenzwert null erhalten. Dies kann man auch schön in der Abbildung sehen. Entspricht der Nennergrad dem Zählergrad, dann ergibt dies eine waagerechte Asymptote mit dem Abstand c von der x-Achse. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion h(x) =x2/(x2 - 1). Auch hier können wir die höchste Potenz ausklammern und erhalten für den Grenzwert Limes x gegen plus/minus unendlich ist gleich x2/(x2×(1 - 1/x2. Wir können x2 kürzen und wissen, dass 1/x2 für besonders große und kleine x null wird. Es bleibt 1 übrig. Es ergibt sich also eine waagerechte Asymptote bei y=1. Ist der Grad im Nenner um eins kleiner als im Zähler, erhalten wir eine Asymptote in Form einer linearen Funktion. Ist der Grad im Nenner kleiner ls der im Zähler, reicht das Ausklammern nicht mehr aus, um die Funktionsgleichung der Asymptote zu ermitteln. In diesem Fall muss man eine Polynomdivision durchführen. Dabei dividiert man den Zähler durch den Nenner. Für die Funktion k(x) = x2/(x - 5) teilt man x2 : (x-5). Und erhält x + 5 + 25/(x-5). Der lineare Anteil, also (x+5) entspricht der schiefen Asymptote. Ist der Grad im Nenner um mehr als eins kleiner als im Zähler, dann ergibt sich für die Asymptote eine Näherungskurve. Die Polynomdivision der Funktion m(x) = (x3 + 2x)/(x - 1) ergibt x2 + x + 3 Rest 3. Die Näherungskurve kann nur durch x2 + x + 3 beschrieben werden. Um das Thema zu festigen, lösen wir nun gemeinsam eine Beispielaufgabe: Gesucht sei eine gebrochenrationale Funktion, die bei x=3 eine Polstelle besitzt, eine waagerechte Asymptote bei y=-1 hat und deren Nullstelle bei x=2 liegt. Wir vermuten einen Graphen mit dem folgenden Verlauf. Aus diesen Angaben kannst du nun eine gebrochenrationale Funktion aufstellen. Wie erwähnt, betrachten wir den Nenner, um Polstellen zu ermitteln. Die Polstelle dieser Funktion liegt bei 3. Das heißt, der Nenner wird 0 bei x=3. Ein möglicher Nenner wäre daher x-3. Wir wissen auch, dass die Funktion eine waagerechte Asymptote bei y=-1 besitzt. Dies lässt darauf schließen, dass Zähler- und Nennergrad übereinstimmen. Der Nennergrad ist 1. Daher muss auch der höchste Grad im Zähler 1 sein. Wir wissen also, dass im Zähler -x+c steht. Da die Asymptote -1 ist, x im Nenner jedoch positiv ist, muss im Zähler ein negatives x stehen. x ergibt sich aus der Nullstelle. Diese ist 2. Das heißt: -2+c=0. Damit ergibt sich für c=2. Nun können wir unsere Funktion aufstellen. Diese lautet: n(x) = (-x + 2)/(x - 3). Wir haben uns die Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen noch einmal näher angeschaut. Du hast gelernt, je nach Verhalten im Unendlichen und je nach Polstelle kannst du den Graphen mithilfe weniger Angaben rekonstruieren. Probiere das doch selbst einmal mit verschiedenen Angaben zu Polstellen und Nullstellen und Asymptoten aus. Viel Spaß dabei.

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Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen.

    Tipps

    Die Funktion $f(x)=\frac1x$ hat eine einfache Nennernullstelle, also Polstelle, bei $x=0$.

    Ein Bruch ist nicht definiert, wenn im Nenner $0$ steht.

    Wenn man von Stellen spricht, ist meist nur $x$ genannt. Ein Punkt hat eine x- sowie eine y-Koordinate $P(x|y)$.

    Lösung

    Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen:

    • Gebrochenrationale Funktionen besitzen Definitionslücken. Dies sind die Stellen, an welchen der Nenner der Funktion $0$ wird.
    • Insbesondere interessiert, das Grenzwertverhalten an diesen Definitionslücken.
    • Diese Definitionslücken werden auch Polstellen genannt.
    Wir schauen uns das Beispiel

    $f(x)=\frac{x}{x-1}$

    an. Diese Funktion ist nicht definiert für $x=1$. Man schreibt dies so

    $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

    An dem Graphen kann man erkennen, dass bei $x=1$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt.

    • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
    • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.
    Sei der Nenner zum Beispiel $(x-1)^2$, dann liegt eine doppelte Nullstelle vor, also eine Polstelle vom Grad $2$. An dieser Polstelle liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

  • Gib an, wie das Grenzwertverhalten gebrochenrationaler Funktionen von Zähler- und Nennergrad abhängen.

    Tipps

    Hier ist der Graph der Funktion $f(x)=\frac1x$ zu sehen.

    Die Asymptoten (im Unendlichen) sind Graphen von Funktionen.

    Der Graph einer Funktion kann nicht parallel zur y-Achse verlaufen.

    Lösung

    Das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen hängt von dem Zähler- sowie Nennergrad ab.

    Der Zählergrad ist der höchste Exponent des Zählers $Z(x)$ und der Nennergrad der höchste Exponent des Nenners $N(x)$.

    Dabei können drei Fälle unterschieden werden:

    Der Nennergrad ist größer als der Zählergrad.

    Dies ist zum Beispiel bei $f(x)=\frac1x$ der Fall.

    Dann ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote der Funktion. Das bedeutet, dass

    $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=0$ ist.

    Der Nennergrad ist gleich dem Zählergrad.

    Hierfür kann man das Beispiel $f(x)=\frac{x+1}x=1+\frac1x$ betrachten.

    Dann ist eine zur x-Achse parallele Gerade durch $y=c$ eine waagerechte Asymptote der Funktion. Das bedeutet, in dem obigen Beispiel ist $c=1$, dass

    $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=c$

    ist.

    Der Nennergrad ist kleiner als der Zählergrad.

    Dies ist zum Beispiel bei $f(x)=\frac{x^2+1}x=x+\frac1x$ der Fall.

    Dann kann mit Hilfe einer Polynomdivision die Funktion immer geschrieben werden als ganzrationaler Teil plus ein Rest. Der Rest geht immer gegen $0$. Das bedeutet, im Unendlichen verhält sich die gebrochenrationale Funktion ebenso wie der ganzrationale Teil.

    In dem Beispiel ist der Nennergrad ist um $1$ kleiner als der Zählergrad: Dann ist die Funktion $a(x)=x$ eine lineare Asymptote.

    Ist der Nennergrad um mehr als $1$ kleiner als der Zählergrad, so ergibt sich eine Näherungskurve als Asymptote.

    Zur Klärung dient ein Beispiel:

    $m(x)=\frac{x^3+2x}{x-1}=x^2+x+3+\frac{3}{x-1}$,

    dies ergibt sich durch eine Polynomdivision. ***Dieses Wort zum Beispiel kennt mein Rechtschreibprogramm nicht, und zeigt es demzufolge als falsch an!***

    Die quadratische Funktion $a(x)=x^2+x+3$ und damit die zugehörige Parabel ist hier die Asymptote.

  • Ermittle eine gebrochenrationale Funktion mit den gegebenen Eigenschaften.

    Tipps

    Polstellen sind Nennernullstellen.

    Beachte: Wenn der Nennergrad größer ist als der Zählergrad ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote.

    Wenn der Nennergrad kleiner ist als der Zählergrad, dann ist eine Funktion (linear, quadratisch ...) eine Asymptote der Funktion.

    Hier siehst du ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion. Der Grenzwert dieser Funktion ist

    $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\frac ab$.

    Lösung

    Bei gegebenen Information zu gebrochenrationalen Funktionen können Bedingungen für den Zähler $Z(x)$ und Nenner $N(x)$ sowie die Relation von Zählergrad und Nennergrad hergeleitet werden.

    Da die Funktion eine Polstelle, also eine Nennernullstelle, bei $x=3$ hat, gilt $N(3)=0$, also zum Beispiel $N(x)=x-3$.

    Die Funktion hat eine waagerechte Asymptote $y=-1$, das bedeutet

    • zum einen, dass der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, und
    • zum anderen, dass der Zähler $Z(x)=-x+c$ ist.
    Zuletzt ist noch bekannt, dass die Funktion eine Nullstelle bei $x=2$ besitzt. Also ist $Z(2)=-2+c=0$. Daraus folgt, dass $c=2$ sein muss.

    Gesamt sieht eine mögliche Funktionsgleichung so aus:

    $f(x)=\frac{-x+2}{x-3}$

  • Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung der gebrochenrationalen Funktion mit den gegebenen Eigenschaften.

    Tipps

    Zum Beispiel hat die Funktion

    $f(x)=\frac{x^2+1}x$

    die Funktion $a(x)=x$ als Asymptote.

    An einer Polstelle ist der Nenner $0$. Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss die Vielfachheit dieser Nullstelle ungerade sein.

    Die Funktion $q(x)=x^2+4x+3$ hat die Nullstellen $x=-3$ oder $x=-1$. Sie lässt sich wie folgt faktorisieren:

    $q(x)=(x+3)\cdot (x+1)$.

    Lösung

    Die gesuchte Funktion kann Schritt für Schritt rekonstruiert werden:

    Da die lineare Funktion $a(x)=2x+1$ eine lineare Asymptote ist, kann man schon einmal folgern, dass der Zählergrad um $1$ größer sein muss als der Nennergrad.

    Es ist zusätzlich bekannt, dass die Funktion eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=1$ hat. Das bedeutet, dass der Nenner $N(x)=x-1$ sein kann.

    Gemeinsam mit der Asymptote muss nun gelten:

    $Z(x)=2x^2+bx+c$.

    Zuletzt sind auch noch die Nullstellen der Funktion bekannt: $x=0$ sowie $x=0,5$. Der Zähler lässt sich dann schreiben als $Z(x)=2x(x-0,5)=2x^2-x$.

    Gemeinsam lautet eine mögliche Funktionsgleichung

    $f(x)=\frac{2x^2-x}{x-1}$.

  • Entscheide, welche der Funktionen eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

    Tipps

    Merke dir:

    • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
    • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.

    Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle:

    Damit ist eine Polstelle von ungeradem Grad eine ungerade (einfache, dreifache, ...) und eine Polstelle von geradem Grad eine gerade (doppelte, vierfache, ...) Nennernullstelle.

    Bestimme also die Nennernullstelle(n).

    Es liegen drei Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

    Lösung

    Polstellen sind Nennernullstellen:

    • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
    • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.
    Hier sind einige Beispiele zu sehen:

    • $f(x)=\frac{x^2-1}{(x+2)^2}$: Der Nenner $(x+2)^2$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x=-2$ - hier liegt also kein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x^2-1}{x+2}$: Der Nenner $x+2$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=-2$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x+2}{x^2-2x+1}$: Der Nenner kann wie folgt faktorisiert werden $x^2-2x+1=(x-1)^2$, es liegt also eine doppelte Nullstelle bei $x=1$ vor - hier liegt kein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$: Der Nenner $x-1$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=1$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
    • $f(x)=\frac{x}{x-3}$: Der Nenner $x-3$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=3$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
  • Prüfe, welche der Funktionen die gegebenen Eigenschaften besitzt.

    Tipps

    Eine Funktion hat die x-Achse als waagerechte Asymptote, wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad.

    Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Nullstellen des Zählers.

    Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle.

    Es liegt ein Vorzeichenwechsel an dieser Polstelle vor, wenn diese einen ungeraden Grad hat.

    Lösung

    (A) Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei $\mathbf{x=1}$:

    Das bedeutet, der Zähler ist $0$ für $x=1$. Dies liegt bei den folgenden beiden Funktionen vor:

    • $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$
    • $m(x)=\frac{2x-2}{(x-1)^2}$
    (B) Die Funktion besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $\mathbf{x=1}$.

    Hier muss der Nenner $0$ sein für $x=1$. Diese Nullstelle muss einfach, dreifach oder ... sein. Dies ist der Fall bei der Funktion:

    • $g(x)=\frac{x+1}{x-1}$
    Die Funktion $k(x)=\frac{x+1}{(x-1)^2}$ hat zwar auch eine Nennernullstelle bei $x=1$, jedoch ist dies eine doppelte Nullstelle, es liegt also kein Vorzeichenwechsel vor.

    (C) Die Funktion hat die x-Achse als waagerechte Asymptote.

    Der Zählergrad muss echt kleiner sein als der Nennergrad. Dies liegt bei den folgenden beiden Funktionen vor:

    • $l(x)=\frac{1}{x+2}$
    • $n(x)=\frac{x+1}{x^2+2}$
    Die Funktion $k(x)=\frac{x+1}{(x-1)^2}$ erfüllt keine dieser Eigenschaften.