Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen"

Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen" Übung

• Berechne den fehlenden Winkel $\gamma$.

  Tipps

  Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ beträgt. Es gilt also:

  $\alpha +\beta+\gamma =180^\circ$.

  Setze die bekannten Winkel in den Winkelsummensatz ein. So erhältst du eine Gleichung mit dem unbekannten Winkel $\gamma$.

  Forme diese Gleichung so um, dass der Winkel $\gamma$ auf einer Seite der Gleichung alleine steht.

  Lösung

  Da die beiden Winkel $\alpha=56^\circ$ sowie $\beta=53^\circ$ bereits bekannt sind, kann der fehlende Winkel $\gamma$ mit dem Winkelsummensatz berechnet werden. Dieser lautet für ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ wie folgt:

  $\alpha +\beta +\gamma =180^\circ$.

  • Nun kannst du die bekannten Werte für $\alpha$ sowie $\beta$ in den Winkelsummensatz einsetzen: $56^\circ+53^\circ+\gamma=180^\circ$.
  • Berechne die Summe der beiden bekannten Winkel auf der linken Seite der Gleichung: $109^\circ+\gamma=180^\circ$.
  • Zuletzt kannst du auf beiden Seiten der Gleichung $109^\circ$ subtrahieren und erhältst so $\gamma=180^\circ-109^\circ=71^\circ$.

• Bestimme in den speziellen Dreiecken jeweils den fehlenden Winkel.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel. Dieser Winkel beträgt also $90^\circ$. Das bedeutet, dass die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$ betragen muss.

  In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel, hier $\alpha$ und $\beta$, gleich groß.

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß.

  Lösung

  Du kannst den Winkelsummensatz auch verwenden, um bei speziellen Dreiecken fehlende Winkel zu berechnen. Insbesondere kannst du Besonderheiten für die Winkel herleiten.

  Rechtwinklige Dreiecke

  In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der drei Winkel $90^\circ$. Dieser sei zum Beispiel $\beta$. Wenn zusätzlich einer der beiden verbleibenden Winkel, zum Beispiel $\alpha=34^\circ$, bekannt ist, kannst du den dritten Winkel wie folgt berechnen:

  • $34^\circ+90^\circ+\gamma=180^\circ$
  • Fasse auf der linken Seite der Gleichung die beiden bekannten Winkel zusammen. Es folgt $124^\circ+\gamma=180^\circ$.
  • Nun kannst du $124^\circ$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und erhältst $\gamma=180^\circ-124^\circ=56^\circ$.

  Übrigens: Sei zum Beispiel $\alpha=90^\circ$, dann gilt $\beta+\gamma=90^\circ$. Die beiden Winkel sind somit spitze Winkel.

  Gleichschenklige Dreiecke

  In gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang. Diese werden als Schenkel bezeichnet. Gegenüber den Schenkeln liegen die Basiswinkel, welche gleich groß sind.

  Sei $\gamma=45^\circ$ bekannt. Gesucht werden die Basiswinkel $\alpha=\beta$.

  • $\alpha+\beta +45^\circ=180^\circ$
  • $2\alpha+45^\circ=180^\circ$
  • Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung $45^\circ$. So erhältst du $2\alpha=135^\circ$.
  • Zuletzt dividierst du durch $2$ und kommst so zu $\alpha=67,5^\circ$. Es gilt zudem $\beta =67,5^\circ$.

  Gleichseitige Dreiecke

  In gleichseitigen Dreiecken sind alle Seiten gleich lang. Dann sind auch die Winkel alle gleich groß. Es gilt also $\alpha=\beta=\gamma$. Der Winkelsummensatz führt dann zu $3\alpha=180^\circ$. Dividiere durch $3$, dann erhältst du $\alpha=60^\circ$.

  Die drei Winkel in einem gleichseitigen Dreieck betragen jeweils $60^\circ$.

• Ermittle jeweils den fehlenden Winkel.

  Tipps

  Der Winkelsummensatz lautet $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  In einem rechtwinkligen Dreieck summieren sich die beiden nicht rechten Winkel zu $90^\circ$.

  Lösung

  Wenn du in einem beliebigen Dreieck zwei Winkel bereits kennst, kannst du den fehlenden dritten Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes berechnen. Du setzt hierfür die bekannten Winkel ein und formst dann nach dem unbekannten Winkel um.

  Für die Anwendung dieses Satzes ist die Besonderheit eines Dreiecks nicht so wichtig. Du kannst allerdings Besonderheiten für die jeweiligen Winkel daraus ableiten.

  Beispiel 1: $\alpha=45^\circ$ sowie $\gamma=80^\circ$

  • $45^\circ+\beta+80^\circ=180^\circ$
  • Addiere die bekannten Winkel auf der linken Seite der Gleichung: $125^\circ+\beta=180^\circ$.
  • Subtrahiere $125^\circ$ auf beiden Seiten der Gleichung. So erhältst du $\beta=180^\circ-125^\circ=55^\circ$.

  Beispiel 2: $\gamma=90^\circ$ und $\beta=62^\circ$

  • $\alpha+62^\circ+90^\circ=180^\circ$
  • Addiere wieder die bekannten Winkel auf der linken Seite der Gleichung: $152^\circ+\alpha=180^\circ$.
  • Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung $152^\circ$. Es folgt $\alpha=28^\circ$.

  Beispiel 3: $\alpha=\gamma=65^\circ$

  • Es ist $2\cdot 65^\circ+\beta=180^\circ$ und damit
  • $130^\circ+\beta=180^\circ$.
  • Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung $130^\circ$. Es folgt $\beta=50^\circ$.

  Beispiel 4: $\beta=110^\circ$ und $\gamma=50^\circ$

  Auch hier gehst du so vor wie bei den obigen Beispielen. Du erhältst $\alpha=180^\circ-160^\circ=20^\circ$.

• Prüfe, ob ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt.

  Tipps

  Berechne jeweils den fehlenden Winkel.

  Stimmen zwei der drei Innenwinkel überein, so liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.

  Ein rechtwinkliges Dreieck kann durchaus gleichschenklig sein.

  Vier der gegebenen Dreiecke sind gleichschenklig.

  Lösung

  Im Folgenden kannst du jeweils den fehlenden Winkel berechnen. Dafür verwendest du den Winkelsummensatz.

  Stimmen zwei der drei Winkel überein, so liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.

  • Für $\alpha=90^\circ$ und $\beta=50^\circ$ folgt $\gamma=180^\circ-140^\circ=40^\circ$. Dieses Dreieck ist nicht gleichschenklig.
  • $\alpha=90^\circ$ und $\beta=45^\circ$ führen zu $\gamma=180^\circ-135^\circ=45^\circ$. Du siehst $\beta=\gamma$. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck.
  • $\beta=70^\circ$ und $\gamma=40^\circ$: Du erhältst dann $\alpha=180^\circ-110^\circ=70^\circ$. Es ist also $\beta=\alpha$. Auch dieses Dreieck ist gleichschenklig.
  • Mit $\beta=70^\circ$ und $\gamma=55^\circ$ erhältst du $\alpha=180^\circ-125^\circ=55^\circ$. Dies ist wieder ein gleichschenkliges Dreieck.
  • $\alpha=52^\circ$ und $\gamma=54^\circ$: Dann ist $\beta=180^\circ-106^\circ=74^\circ$. Die drei Winkel sind paarweise verschieden. Dies ist sicher kein gleichschenkliges Dreieck.
  • Zu guter Letzt ist $\alpha=64^\circ$ und $\gamma=58^\circ$. Es ist $\beta=180^\circ-122^\circ=58^\circ$. Dieses Dreieck ist wieder gleichschenklig.

• Vervollständige den Winkelsummensatz für Dreiecke.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der drei Winkel $90^\circ$.

  Dann muss die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$ betragen.

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß, also $60^\circ$.

  In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese Seiten werden auch als Schenkel bezeichnet. Die dritte Seite ist die Basis. Die beiden an der Basis anliegenden Winkel werden als Basiswinkel bezeichnet. Es gilt der Basiswinkelsatz: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Hier gilt also $\alpha=\beta$.

  Sei nun $\alpha=\beta=75^\circ$, dann ist $\gamma=30^\circ$.

  Lösung

  Der Winkelsummensatz gilt in jedem beliebigen Dreieck. Er besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ ergibt.

  Es gilt somit $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  Natürlich gilt der Winkelsummensatz auch in speziellen Dreiecken, also in rechtwinkligen oder in gleichschenkligen oder in gleichseitigen Dreiecken. Allerdings gilt der Winkelsummensatz nicht nur in diesen Dreiecken.

• Entscheide, wie der fehlende Winkel aussehen muss, damit ein besonderes Dreieck vorliegt.

  Tipps

  Bestimme jeweils die möglichen Winkel mit dem Winkelsummensatz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  Die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

  Beachte: Bei einem rechtwinkligen Dreieck summieren die beiden spitzen Winkel sich zu $90^\circ$.

  Lösung

  Die Bestimmung von fehlenden Winkeln ist eindeutig, wenn bereits zwei Winkel gegeben sind.

  Ist jedoch nur ein Winkel gegeben, dann kann die Besonderheit eines Dreiecks dazu führen, dass die beiden fehlenden Winkel eindeutig bestimmt werden können. Es kann allerdings auch passieren, dass es mehrere Lösungen für fehlende Winkel gibt.

  Wir schauen uns dies nun an verschiedenen Beispielen an.

  Beispiel 1

  Es ist nur bekannt, dass $\alpha=50^\circ$ ist. Das Dreieck soll rechtwinklig sein. Das bedeutet, dass entweder $\beta$ oder $\gamma$ ein rechter Winkel sein muss. Sei zum Beispiel $\beta=90^\circ$, dann folgt damit $\gamma=180^\circ-140^\circ=40^\circ$.

  Beispiel 2

  In diesem Beispiel ist $\beta=62^\circ$ bekannt. Das Dreieck soll gleichschenklig sein.

  • Dies erreichst du durch $\alpha=62^\circ$ und damit $\gamma=180^\circ-124^\circ=56^\circ$. Dann sind $\alpha$ und $\beta$ die Basiswinkel.
  • Es können aber auch $\alpha=\gamma$ die Basiswinkel sein. Dann ist $2\alpha=180^\circ-62^\circ=118^\circ$, also $\alpha=\gamma=59^\circ$.

  Hier ist die Lösung also nicht eindeutig.

  Beispiel 3

  In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel $90^\circ$. Dieser Winkel kann kein Basiswinkel sein. Warum ist das so? Wenn ein Basiswinkel $90^\circ$ betragen würde, wäre die Summe der Innenwinkel sicher größer als $180^\circ$. Dies ist nicht möglich.

  Für die Basiswinkel, zum Beispiel $\alpha=\beta$, muss also gelten $2\alpha=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Dann ist $\alpha=45^\circ$.

  Du siehst, es gibt auch rechtwinklige Dreiecke, welche gleichschenklig sind. Die Basiswinkel betragen dann jeweils $45^\circ$.

  Beispiel 4

  Einer der Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist bekannt: $\alpha=25^\circ$. Der andere Basiswinkel sei zum Beispiel $\beta=\alpha=25^\circ$.

  Dann gilt für den verbleibenden Winkel $\gamma=180^\circ-2\cdot 25^\circ=130^\circ$.