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Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen"

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André Otto
Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen"
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen"

Herzlich Willkommen zum 10. Teil der Reihe „ Geometrie “. Das Thema des Videos lautet „ Winkel in Dreiecken – gerechnet und gemessen “. Was haben die Winkel in allen Dreiecken gemeinsam? Welcher Satz könnte in diesem Zusammenhang gemeint sein? Richtig, der Innenwinkelsatz für Dreiecke! Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180 °. Wir beginnen zuerst mit einem unregelmäßigen Dreieck und messen zwei Innenwinkel und bestimmen den dritten Winkel mithilfe des Innenwinkelsatzes für Dreiecke. Wir zeigen dir im Video, wie du den Innenwinkelsatz für Dreiecke anwenden kannst, um nicht bekannte Innenwinkel im Dreieck zu berechnen.

Transkript Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen"

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler, herzlich willkommen zum Video Geometrie (Teil 10). Das Thema des Videos lautet: Winkel in Dreiecken. Schon haben wir sie, unsere verschiedenen Dreiecke, die uns begegnen können. Was haben ihre Winkel alle gemeinsam? Erinnert euch doch an einen Satz, den wir in einem der Geometrievideos bewiesen haben. Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°. α + β + γ = 180° Beginnen wir mit einem unregelmäßigen Dreieck. Das Dreieck soll die Winkel α, β und γ haben. Wir messen für den Winkel α 56° und für den Winkel β messen wir 53°. Nach dem Satz, der unten steht, können wir jetzt α und β einsetzen und erhalten: 56°+53°+γ=180°, 56°+53°=109°, also 109°+γ=180°. γ beträgt nach unserer Rechnung 71°. Nun wollen wir mal sehen, ob wir durch Messung, etwa das gleiche Ergebnis bekommen. Meine Messung ergibt: γ=74°, das ist eine kleine Abweichung vom berechneten Wert, aber durchaus möglich. Als Nächstes betrachten wir das rechtwinklige Dreieck. Wir hatten am Anfang ein sehr schönes rechtwinkliges Dreieck, dass wir hier verwenden werden. Das rechtwinklige Dreieck hat die Winkel: α, β und γ. Für α messe ich einen Winkel von 34°, den Winkel β kennen wir, denn das Rechteck ist rechtwinklig, also ist β=90°. Wir können also schreiben: 34°+90+γ=180°, 34°+90°=124°, also 124°+γ=180°. γ beträgt demnach: 56°. Ich messe γ aus und erhalte für γ 58°. Das ist eine kleine Abweichung von der Rechnung, aber durchaus möglich und zulässig. Als Nächstes betrachten wir das gleichschenklige Dreieck. Hier haben wir ein gleichschenkliges Dreieck. Die Seiten, links und rechts, sind die Schenkel des Dreiecks, die gleich groß sind. Für γ messe ich 45°, da die Schenkel gleich groß sind, links und rechts, müssen auch die Winkel α und β gleich sein. Demzufolge können wir α und β schon direkt ausrechnen: α+β+45°=180°. Da α=β ist, können wir schreiben: α+α+45°=180°. Wir erhalten also: 2α=135°, also beträgt α=67,5°. Da α und β gleich sind, ist auch β=67,5°. Nun messen wir noch α und β aus und erhalten jeweils 69°. Eine kleine Abweichung von der Rechnung. Als Letztes betrachten wir das gleichseitige Dreieck. Es hat wieder die Winkel α, β und γ. Da die Seiten im Dreieck alle drei gleich groß sind, müssen auch die Winkel gleich groß sein. Also: α=β=γ. Also können wir schreiben: α+α+α=180°, oder 3α=180°. Wir erhalten also: α=60°. Ich möchte zum Abschluss doch noch messen: α=60°, β=62°, γ=59°. Das ist ganz gut. So, das wärs wieder für heute. Alles Gute und viel Erfolg! Tschüss!  

37 Kommentare

37 Kommentare
  1. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 7 Monaten
  2. das ist cool mami mima mami mia

    Von Nicklcam, vor 8 Monaten
  3. Vielen dank! Dieses video hat mir voll geholfen! Jetzt bin ich bereit für den mathe test
    LG Lina

    Von Sebastian Stasch, vor etwa einem Jahr
  4. Danke ich habe es sehr gut verstanden

    Von Hannes Hoehn1, vor mehr als einem Jahr
  5. Sehr gut erklärt

    Von Katrin Maihs, vor mehr als einem Jahr
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Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen" Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrie (10) Winkel in Dreiecken "Gerechnet und gemessen" kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den fehlenden Winkel $\gamma$.

    Tipps

    Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ beträgt. Es gilt also:

    $\alpha +\beta+\gamma =180^\circ$.

    Setze die bekannten Winkel in den Winkelsummensatz ein. So erhältst du eine Gleichung mit dem unbekannten Winkel $\gamma$.

    Forme diese Gleichung so um, dass der Winkel $\gamma$ auf einer Seite der Gleichung alleine steht.

    Lösung

    Da die beiden Winkel $\alpha=56^\circ$ sowie $\beta=53^\circ$ bereits bekannt sind, kann der fehlende Winkel $\gamma$ mit dem Winkelsummensatz berechnet werden. Dieser lautet für ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ wie folgt:

    $\alpha +\beta +\gamma =180^\circ$.

    • Nun kannst du die bekannten Werte für $\alpha$ sowie $\beta$ in den Winkelsummensatz einsetzen: $56^\circ+53^\circ+\gamma=180^\circ$.
    • Berechne die Summe der beiden bekannten Winkel auf der linken Seite der Gleichung: $109^\circ+\gamma=180^\circ$.
    • Zuletzt kannst du auf beiden Seiten der Gleichung $109^\circ$ subtrahieren und erhältst so $\gamma=180^\circ-109^\circ=71^\circ$.
  • Bestimme in den speziellen Dreiecken jeweils den fehlenden Winkel.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel. Dieser Winkel beträgt also $90^\circ$. Das bedeutet, dass die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$ betragen muss.

    In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel, hier $\alpha$ und $\beta$, gleich groß.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß.

    Lösung

    Du kannst den Winkelsummensatz auch verwenden, um bei speziellen Dreiecken fehlende Winkel zu berechnen. Insbesondere kannst du Besonderheiten für die Winkel herleiten.

    Rechtwinklige Dreiecke

    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der drei Winkel $90^\circ$. Dieser sei zum Beispiel $\beta$. Wenn zusätzlich einer der beiden verbleibenden Winkel, zum Beispiel $\alpha=34^\circ$, bekannt ist, kannst du den dritten Winkel wie folgt berechnen:

    • $34^\circ+90^\circ+\gamma=180^\circ$
    • Fasse auf der linken Seite der Gleichung die beiden bekannten Winkel zusammen. Es folgt $124^\circ+\gamma=180^\circ$.
    • Nun kannst du $124^\circ$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und erhältst $\gamma=180^\circ-124^\circ=56^\circ$.
    Übrigens: Sei zum Beispiel $\alpha=90^\circ$, dann gilt $\beta+\gamma=90^\circ$. Die beiden Winkel sind somit spitze Winkel.

    Gleichschenklige Dreiecke

    In gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang. Diese werden als Schenkel bezeichnet. Gegenüber den Schenkeln liegen die Basiswinkel, welche gleich groß sind.

    Sei $\gamma=45^\circ$ bekannt. Gesucht werden die Basiswinkel $\alpha=\beta$.

    • $\alpha+\beta +45^\circ=180^\circ$
    • $2\alpha+45^\circ=180^\circ$
    • Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung $45^\circ$. So erhältst du $2\alpha=135^\circ$.
    • Zuletzt dividierst du durch $2$ und kommst so zu $\alpha=67,5^\circ$. Es gilt zudem $\beta =67,5^\circ$.
    Gleichseitige Dreiecke

    In gleichseitigen Dreiecken sind alle Seiten gleich lang. Dann sind auch die Winkel alle gleich groß. Es gilt also $\alpha=\beta=\gamma$. Der Winkelsummensatz führt dann zu $3\alpha=180^\circ$. Dividiere durch $3$, dann erhältst du $\alpha=60^\circ$.

    Die drei Winkel in einem gleichseitigen Dreieck betragen jeweils $60^\circ$.

  • Ermittle jeweils den fehlenden Winkel.

    Tipps

    Der Winkelsummensatz lautet $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

    In einem rechtwinkligen Dreieck summieren sich die beiden nicht rechten Winkel zu $90^\circ$.

    Lösung

    Wenn du in einem beliebigen Dreieck zwei Winkel bereits kennst, kannst du den fehlenden dritten Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes berechnen. Du setzt hierfür die bekannten Winkel ein und formst dann nach dem unbekannten Winkel um.

    Für die Anwendung dieses Satzes ist die Besonderheit eines Dreiecks nicht so wichtig. Du kannst allerdings Besonderheiten für die jeweiligen Winkel daraus ableiten.

    Beispiel 1: $\alpha=45^\circ$ sowie $\gamma=80^\circ$

    • $45^\circ+\beta+80^\circ=180^\circ$
    • Addiere die bekannten Winkel auf der linken Seite der Gleichung: $125^\circ+\beta=180^\circ$.
    • Subtrahiere $125^\circ$ auf beiden Seiten der Gleichung. So erhältst du $\beta=180^\circ-125^\circ=55^\circ$.
    Beispiel 2: $\gamma=90^\circ$ und $\beta=62^\circ$

    • $\alpha+62^\circ+90^\circ=180^\circ$
    • Addiere wieder die bekannten Winkel auf der linken Seite der Gleichung: $152^\circ+\alpha=180^\circ$.
    • Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung $152^\circ$. Es folgt $\alpha=28^\circ$.
    Beispiel 3: $\alpha=\gamma=65^\circ$

    • Es ist $2\cdot 65^\circ+\beta=180^\circ$ und damit
    • $130^\circ+\beta=180^\circ$.
    • Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung $130^\circ$. Es folgt $\beta=50^\circ$.
    Beispiel 4: $\beta=110^\circ$ und $\gamma=50^\circ$

    Auch hier gehst du so vor wie bei den obigen Beispielen. Du erhältst $\alpha=180^\circ-160^\circ=20^\circ$.

  • Prüfe, ob ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt.

    Tipps

    Berechne jeweils den fehlenden Winkel.

    Stimmen zwei der drei Innenwinkel überein, so liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.

    Ein rechtwinkliges Dreieck kann durchaus gleichschenklig sein.

    Vier der gegebenen Dreiecke sind gleichschenklig.

    Lösung

    Im Folgenden kannst du jeweils den fehlenden Winkel berechnen. Dafür verwendest du den Winkelsummensatz.

    Stimmen zwei der drei Winkel überein, so liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.

    • Für $\alpha=90^\circ$ und $\beta=50^\circ$ folgt $\gamma=180^\circ-140^\circ=40^\circ$. Dieses Dreieck ist nicht gleichschenklig.
    • $\alpha=90^\circ$ und $\beta=45^\circ$ führen zu $\gamma=180^\circ-135^\circ=45^\circ$. Du siehst $\beta=\gamma$. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck.
    • $\beta=70^\circ$ und $\gamma=40^\circ$: Du erhältst dann $\alpha=180^\circ-110^\circ=70^\circ$. Es ist also $\beta=\alpha$. Auch dieses Dreieck ist gleichschenklig.
    • Mit $\beta=70^\circ$ und $\gamma=55^\circ$ erhältst du $\alpha=180^\circ-125^\circ=55^\circ$. Dies ist wieder ein gleichschenkliges Dreieck.
    • $\alpha=52^\circ$ und $\gamma=54^\circ$: Dann ist $\beta=180^\circ-106^\circ=74^\circ$. Die drei Winkel sind paarweise verschieden. Dies ist sicher kein gleichschenkliges Dreieck.
    • Zu guter Letzt ist $\alpha=64^\circ$ und $\gamma=58^\circ$. Es ist $\beta=180^\circ-122^\circ=58^\circ$. Dieses Dreieck ist wieder gleichschenklig.
  • Vervollständige den Winkelsummensatz für Dreiecke.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der drei Winkel $90^\circ$.

    Dann muss die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$ betragen.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß, also $60^\circ$.

    In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese Seiten werden auch als Schenkel bezeichnet. Die dritte Seite ist die Basis. Die beiden an der Basis anliegenden Winkel werden als Basiswinkel bezeichnet. Es gilt der Basiswinkelsatz: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Hier gilt also $\alpha=\beta$.

    Sei nun $\alpha=\beta=75^\circ$, dann ist $\gamma=30^\circ$.

    Lösung

    Der Winkelsummensatz gilt in jedem beliebigen Dreieck. Er besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ ergibt.

    Es gilt somit $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

    Natürlich gilt der Winkelsummensatz auch in speziellen Dreiecken, also in rechtwinkligen oder in gleichschenkligen oder in gleichseitigen Dreiecken. Allerdings gilt der Winkelsummensatz nicht nur in diesen Dreiecken.

  • Entscheide, wie der fehlende Winkel aussehen muss, damit ein besonderes Dreieck vorliegt.

    Tipps

    Bestimme jeweils die möglichen Winkel mit dem Winkelsummensatz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

    Die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

    Beachte: Bei einem rechtwinkligen Dreieck summieren die beiden spitzen Winkel sich zu $90^\circ$.

    Lösung

    Die Bestimmung von fehlenden Winkeln ist eindeutig, wenn bereits zwei Winkel gegeben sind.

    Ist jedoch nur ein Winkel gegeben, dann kann die Besonderheit eines Dreiecks dazu führen, dass die beiden fehlenden Winkel eindeutig bestimmt werden können. Es kann allerdings auch passieren, dass es mehrere Lösungen für fehlende Winkel gibt.

    Wir schauen uns dies nun an verschiedenen Beispielen an.

    Beispiel 1

    Es ist nur bekannt, dass $\alpha=50^\circ$ ist. Das Dreieck soll rechtwinklig sein. Das bedeutet, dass entweder $\beta$ oder $\gamma$ ein rechter Winkel sein muss. Sei zum Beispiel $\beta=90^\circ$, dann folgt damit $\gamma=180^\circ-140^\circ=40^\circ$.

    Beispiel 2

    In diesem Beispiel ist $\beta=62^\circ$ bekannt. Das Dreieck soll gleichschenklig sein.

    • Dies erreichst du durch $\alpha=62^\circ$ und damit $\gamma=180^\circ-124^\circ=56^\circ$. Dann sind $\alpha$ und $\beta$ die Basiswinkel.
    • Es können aber auch $\alpha=\gamma$ die Basiswinkel sein. Dann ist $2\alpha=180^\circ-62^\circ=118^\circ$, also $\alpha=\gamma=59^\circ$.
    Hier ist die Lösung also nicht eindeutig.

    Beispiel 3

    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel $90^\circ$. Dieser Winkel kann kein Basiswinkel sein. Warum ist das so? Wenn ein Basiswinkel $90^\circ$ betragen würde, wäre die Summe der Innenwinkel sicher größer als $180^\circ$. Dies ist nicht möglich.

    Für die Basiswinkel, zum Beispiel $\alpha=\beta$, muss also gelten $2\alpha=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Dann ist $\alpha=45^\circ$.

    Du siehst, es gibt auch rechtwinklige Dreiecke, welche gleichschenklig sind. Die Basiswinkel betragen dann jeweils $45^\circ$.

    Beispiel 4

    Einer der Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist bekannt: $\alpha=25^\circ$. Der andere Basiswinkel sei zum Beispiel $\beta=\alpha=25^\circ$.

    Dann gilt für den verbleibenden Winkel $\gamma=180^\circ-2\cdot 25^\circ=130^\circ$.

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