Brüche gleichnamig machen
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Grundlagen zum Thema Brüche gleichnamig machen
Inhalt
Was sind gleichnamige Brüche?
Als gleichnamig werden Brüche bezeichnet, die den gleichen Nenner haben. Brüche, bei denen die Nenner unterschiedlich sind, heißen ungleichnamig.
Gleichnamige Brüche lassen sich leicht miteinander vergleichen oder auch addieren und subtrahieren. Wollen wir dagegen ungleichnamige Brüche addieren, subtrahieren oder miteinander vergleichen, dann müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Wie das geht, schauen wir uns jetzt genauer an.
Brüche gleichnamig machen einfach erklärt
Wir können zwei Brüche in nur zwei Schritten gleichnamig machen. Als Erstes müssen wir ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner finden. Dann erweitern wir die Brüche auf diesen gemeinsamen Nenner.
Im Folgenden betrachten wir, wie diese Schritte in verschiedenen Fällen aussehen. Dazu gehen wir drei Beispiele durch, wie wir Brüche gleichnamig machen können.
Gemeinsamen Nenner finden
Um ein gemeinsames Vielfaches der Nenner zu finden, überprüfen wir zunächst, ob einer der Nenner vielleicht schon ein Vielfaches des anderen Nenners ist. Betrachten wir zum Beispiel die beiden Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{8}$ mit den Nennern $4$ und $8$. Da $8$ ein Vielfaches von $4$
Bei zwei Brüchen, die diese Eigenschaft nicht haben, können wir immer das Produkt der beiden Nenner als gemeinsamen Nenner wählen, da es ein Vielfaches von beiden Nennern ist. Zum Beispiel ergibt sich so bei $\frac{1}{4}$ und $\frac{5}{6}$ der gemeinsame Nenner $4 \cdot 6 = 24$.
So lässt sich zwar immer ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner finden. Das Ergebnis kann aber bei größeren Zahlen sehr groß werden. Daher kann es sich lohnen, nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner zu suchen. Dazu notieren wir die Vielfachenmengen der beiden Nenner und suchen nach der kleinsten Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist. Ein Beispiel hierfür wären die Brüche $\frac{5}{6}$ und $\frac{9}{14}$. Wir betrachten die Vielfachenmengen:
$\begin{array}{lcl} V_6 & = & \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 …\} \\ V_{14} & = & \{14, 28, 42, 56, 70, 84 …\} \end{array}$
Wir stellen fest, dass die $42$ als erste Zahl in beiden Mengen auftaucht. Wir legen also $42$ als gemeinsamen Nenner fest. Das ist im Vergleich zum Produkt der Nenner $6 \cdot 14 = 84$ auf jeden Fall kleiner.
Brüche erweitern
Entspricht der gemeinsame Nenner einem der Nenner, so wie in unserem ersten Fall bei $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{8}$ mit gemeinsamem Nenner $8$, dann müssen wir nur einen Bruch erweitern.
Hier wäre das $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$.
Haben wir als gemeinsamen Nenner das Produkt der beiden Nenner festgelegt, dann müssen wir beide Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweitern. Bei $\frac{1}{4}$ und $\frac{5}{6}$ erhalten wir so:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$ und $\frac{5}{6}= \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$.
Wenn wir für den gemeinsamen Nenner das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmt haben, müssen wir die Zahlen, mit denen die Brüche zu erweitern sind, entsprechend anpassen. In unserem Beispiel gilt: $42 = 6 \cdot 7$ und $42 = 14 \cdot 3$. Wir müssen daher $\frac{5}{6}$ mit $7$ und $\frac{9}{14}$ mit $3$ erweitern und erhalten:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{35}{42}$ und $\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$.
Dieses Video
In diesem Video erfährst du, was die Begriffe „gleichnamig“ und „ungleichnamig“ bedeuten. Danach lernst du, wie du Brüche gleichnamig machen kannst. Im Anschluss an das Video findest du Übungen mit verschiedenen Aufgaben zum Thema Brüche gleichnamig machen.
Transkript Brüche gleichnamig machen
Miras Papa hat ein Quiz für sie vorbereitet. Der Lösungssatz soll ihr verraten, was sie zum Geburtstag geschenkt bekommt. Es müssen aber noch drei Felder gefüllt werden. Ausgerechnet Matheaufgaben zum Schluss. Ein Viertel plus drei Achtel? Ein Halb minus vier Fünftel? Und ist „neun Vierzehntel“ größer als „fünf Sechstel“? Hm, Wie wird das gleich nochmal gerechnet? Um all diese Aufgaben berechnen zu können, muss sie VORHER die Brüche gleichnamig machen. Aber was heißt gleichnamig? Gleichnamig sind Brüche, wenn sie den gleichen Nenner aufweisen. Sind die Nenner jedoch verschieden, so heißen die Brüche ungleichnamig. Wir machen Brüche gleichnamig, indem wir zuerst ein gemeinsames Vielfaches der Nenner finden. Das bedeutet, wir suchen eine Zahl, die ein Vielfaches von BEIDEN Nennern ist. Suchen wir doch gemeinsame Vielfache von vier und sechs. Welche Zahl ist also sowohl durch vier als auch durch sechs teilbar? Aha! Das wäre zum Beispiel zwölf, da drei mal vier gleich zwölf und zwei mal sechs auch zwölf ist. Aber auch die vierundzwanzig wäre ein gemeinsames Vielfaches, da sechs mal VIER und auch vier mal SECHS ebenfalls vierundzwanzig ist. Haben wir ein gemeinsames Vielfaches der Nenner gefunden, erweitern wir die Brüche auf DIESEN gemeinsamen Nenner. Schauen wir uns das doch mal genauer an! Wir möchten ein Viertel und drei Achtel gleichnamig machen. Dieses Beispiel ist einfach, da acht ein Vielfaches von vier ist. Wir müssen also nur ein Viertel auf Achtel erweitern und hätten damit zwei gleichnamige Brüche. Wir erweitern mit zwei und erhalten zwei Achtel. Das ist dasselbe wie ein Viertel. Der eigentliche Wert des Bruches verändert sich durch Erweitern also nicht. Wenn also der Nenner eines Bruches bereits ein Vielfaches des anderen Bruches ist, hier ist acht ein Vielfaches von vier, so musst du nur EINEN Bruch entsprechend erweitern. Wie sieht es mit den Brüchen ein Drittel und vier Fünftel aus? Hier ist kein Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners. Einen gemeinsamen Nenner können wir aber auch finden, indem wir die einzelnen Nenner miteinander multiplizieren. Das ergibt hier fünfzehn, da drei mal fünf gleich fünfzehn ist. Wir erweitern also DIESEN Bruch mit fünf, um auf fünfzehn im Nenner zu kommen und erhalten fünf Fünfzehntel. DIESEN Bruch erweitern wir mit drei. Das ergibt zwölf Fünfzehntel. Die Brüche sind nun gleichnamig. Eine weitere Methode ist also, die Brüche jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches zu erweitern. Diese Methode ist aber nicht immer vorteilhaft. Sind die Werte der einzelnen Nenner bereits groß, entstehen bei der Multiplikation miteinander wiederum noch größere Zahlen. Wie zum Beispiel bei fünf Sechstel und neun Vierziehntel. Sechs mal vierzehn ist vierundachtzig. Das ist eine relativ große Zahl für den gemeinsamen Nenner. Das geht doch noch kleiner! Suchen wir doch die KLEINSTE Zahl, die durch sechs UND vierzehn teilbar ist. Diese Zahl wird auch „KLEINSTES GEMEINSAMES Vielfaches“ genannt. Kurz „kgV“. Schreiben wir uns dafür erstmal die Vielfachen der Zahl sechs auf. Das sind sechs, zwölf, achtzehn, vierundzwanzig, dreißig, sechsunddreißig, zweiundvierzig, achtundvierzig und so weiter. Dasselbe machen wir für vierzehn Das sind vierzehn, achtundzwanzig, zweiundvierzig, sechsundfünfzig, siebzig, vierundachtzig und so weiter. Aha! Wir stellen fest, die zweiundvierzig ist von beiden ein Vielfaches. Das ist natürlich kleiner als vierundachtzig. Zweiundvierzig ist das „kgV“, also das KLEINSTE gemeinsame Vielfache, der Zahlen sechs und vierzehn. Damit wissen wir nun auch, wo wir hin müssen. Um die Nenner gleichnamig zu machen, erweitern wir die Brüche auf den gemeinsamen Nenner zweiundvierzig. Dafür erweitern wir DIESEN Bruch mit sieben, da sechs mal sieben gleich zweiundvierzig ist. Wir rechnen das aus und erhalten fünfunddreißig Zweiundvierzigstel. DIESEN Bruch erweitern wir mit drei, da vierzehn mal drei auch zweiundvierzig ist. Das Ergebnis ist siebenundzwanzig Zweiundvierzigstel. Somit sind diese zwei Brüche auch gleichnamig. Fassen wir alles nochmal zusammen! Um Brüche addieren und subtrahieren oder auch einfach nur miteinander vergleichen zu können, müssen Brüche VORHER gleichnamig gemacht werden. Gleichnamig sind Brüche, wenn sie den gleichen Nenner aufweisen. Sind die Nenner jedoch unterschiedlich, so heißen die Brüche ungleichnamig. Wir machen sie gleichnamig, indem wir zuerst ein gemeinsames Vielfaches der Nenner finden. Da hilft uns oft auch das „k“ „g“ „V“, also das kleinste gemeinsame Vielfache. Dann erweitern wir die Brüche auf diesen GEMEINSAMEN Nenner. So und nun hat Mira das Quiz gelöst! DAS ist der Lösungssatz. Nanu? Was hat DAS denn zu bedeuten? gem-EINS-ame ACHT-erbahn Run-DREI-se. Juhu, zum Geburtstag geht es also in den Freizeitpark!
Brüche gleichnamig machen Übung
-
Beschreibe, wie man Brüche gleichnamig macht.
TippsDer Zähler steht im Bruch über dem Bruchstrich und der Nenner unter dem Bruchstrich.
Bei dem Beispiel $\frac{2}{7}$ ist:
- $2$ der Zähler und
- $7$ ist der Nenner.
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.
LösungUm Brüche gleichnamig zu machen, muss man erst ein gemeinsames Vielfaches der Nenner finden:
Beispiel: $\frac{1}{18}$ und $\frac{1}{24}$
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $18$ und $24$ ist $72$.Anschließend muss man die Brüche durch Erweitern auf diesen Hauptnenner bringen.
Wir erweitern entsprechend den ersten Bruch mit $4$ und den zweiten Bruch mit $3$:
$\frac{1}{18} = \frac{1 ~\cdot~ 4}{18 ~\cdot~ 4} = \frac{4}{72}$
$\frac{1}{24} = \frac{1 ~\cdot~ 3}{24 ~\cdot~ 3} = \frac{3}{72}$
-
Gib das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner an.
TippsDas kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist.
Beispiel: $~\frac{1}{6}$ und $\frac{3}{8}$
Die Nenner sind $6$ und $8$. Die Vielfachenmengen sind:
- $V_6=\lbrace 6; 12; 18; {\color{#669900}{24}}; 30; ... \rbrace$
- $V_8=\lbrace 8; 16; {\color{#669900}{24}}; 32; ... \rbrace$
LösungBeispiel 1: $~\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{8}$
Die Nenner sind $4$ und $8$. Die Vielfachenmengen sind:
- $V_4=\lbrace 4; {\color{#669900}{8}}; 12; 16; ... \rbrace$
- $V_8=\lbrace {\color{#669900}{8}}; 16; 24;... \rbrace$
Beispiel 2: $\frac{1}{3}$ und $\frac{4}{5}$
Die Nenner sind $3$ und $5$. Die Vielfachenmengen sind:
- $V_3=\lbrace 3; 6; 9; 12; {\color{#669900}{15}}; 18; ... \rbrace$
- $V_5=\lbrace 5; 10; {\color{#669900}{15}}; 20; ... \rbrace$
Beispiel 3: $\frac{5}{6}$ und $\frac{9}{14}$
Die Nenner sind $6$ und $14$. Die Vielfachenmengen sind:
- $V_6=\lbrace 6; 12; 18; 24; 30; 36; {\color{#669900}{42}}; ... \rbrace$
- $V_{14}=\lbrace 14; 28; {\color{#669900}{42}}; ... \rbrace$
-
Bestimme wertgleiche Brüche so, dass die beiden Brüche gleichnamig sind.
TippsBeispiel: $\frac{1}{3}$ und $\frac{5}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
Die beiden Brüche können also gleichnamig geschrieben werden: $\frac{2}{6}$ und $\frac{5}{6}$
Wenn man die beiden Nenner multipliziert, können manchmal sehr große Zahlen herauskommen. In dem Fall können wir häufig durch das kleinste gemeinsame Vielfache einen kleineren Hauptnenner finden.
LösungBeispiel 1: $~\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{2}$
Wenn der Nenner eines Bruchs ein Vielfaches des Nenners des anderen Bruchs ist, so muss man nur einen Bruch erweitern. Hier muss also nur $\frac 12$ erweitert werden:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$
Die beiden Brüche können also wie folgt gleichnamig geschrieben werden: $\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{4}$
Beispiel 2: $~\frac{3}{5}$ und $\frac{1}{2}$
Wenn die beiden Nenner nicht sehr groß sind, kann man sie miteinander multiplizieren, um den Hauptnenner zu finden. Wir multiplizieren die beiden Nenner: $5 \cdot 2 = 10$ und erweitern entsprechend den ersten Bruch mit $2$ und den zweiten Bruch mit $5$:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$Die beiden Brüche können also wie folgt gleichnamig geschrieben werden: $\frac{6}{10}$ und $\frac{5}{10}$
Beispiel 3: $~\frac{1}{18}$ und $\frac{1}{24}$
Um einen gemeinsamen Hauptnenner zu finden, kann man immer das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von $18$ und $24$ ist $72$. Wir erweitern entsprechend den ersten Bruch mit $4$ und den zweiten Bruch mit $3$:
$\frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{4}{72}$
$\frac{1}{24} = \frac{1 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{3}{72}$Die beiden Brüche können also wie folgt gleichnamig geschrieben werden: $\frac{4}{72}$ und $\frac{3}{72}$
Beispiel 4: $~\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{24}$
Auch hier ist der Nenner eines Bruchs ein Vielfaches des anderen Bruchs, wir müssen also nur einen Bruch erweitern.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}$
Die beiden Brüche können also wie folgt gleichnamig geschrieben werden: $\frac{18}{24}$ und $\frac{1}{24}$
Beispiel 5: $~\frac{1}{18}$ und $\frac{1}{2}$
Wir müssen wieder nur einen Bruch erweitern:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{19}{18}$
Die beiden Brüche können also wie folgt gleichnamig geschrieben werden: $\frac{1}{18}$ und $\frac{9}{18}$
-
Bestimme wertgleiche Brüche so, dass die beiden Brüche gleichnamig sind.
TippsBestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
Erweitere einen oder beide Brüche so, dass in ihrem Nenner jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache steht.
LösungBeispiel 1: $~\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{5}$
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $4$ und $5$ ist $20$. Wir erweitern also den ersten Bruch mit $5$ und den zweiten Bruch mit $4$:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$
$\frac{3}{5}= \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$Beispiel 2: $~\frac{3}{2}$ und $\frac{1}{5}$
Das kgV der Zahlen $2$ und $5$ ist $10$, sodass wir den ersten Bruch mit $5$ und den zweiten Bruch mit $2$ erweitern müssen:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10}$
$\frac{1}{5}= \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$Beispiel 3: $~\frac{5}{6}$ und $\frac{1}{4}$
Der gemeinsame Hauptnenner von $6$ und $4$ ist $12$, wir erweitern also den ersten Bruch mit $2$ und den zweiten Bruch mit $3$:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$
$\frac{1}{4}= \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$Beispiel 4: $~\frac{3}{8}$ und $\frac{2}{5}$
Der gemeinsame Hauptnenner ist $40$, wir erweitern also den ersten Bruch mit $5$ und den zweiten Bruch mit $8$:
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$
$\frac{2}{5}= \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}$Beispiel 5: $~\frac{2}{8}$ und $\frac{7}{24}$
Der gemeinsame Hauptnenner ist $24$, wir erweitern also nur den ersten Bruch mit $3$, da der zweite Bruch bereits den Nenner $24$ hat:
$\frac{2}{8} = \frac{2 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24}$
Beispiel 6: $~\frac{2}{3}$ und $\frac{1}{5}$
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $3$ und $5$ ist $15$, wir erweitern also den ersten Bruch mit $5$ und den zweiten Bruch mit $3$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{1}{5}= \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$ -
Gib an, wofür man gleichnamige Brüche benötigt.
TippsGleichnamige Brüche sind Brüche mit gleichem Nenner.
Beispiele:
$\frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{5}{7}$
$\frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$LösungGleichnamige Brüche werden beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen benötigt. Hierbei gilt: Werden zwei gleichnamige Brüche addiert (subtrahiert), so werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner wird beibehalten.
Gleichnamige Brüche werden auch beim Vergleichen benötigt. Hierbei können einfach die Zähler der gleichnamigen Brüche verglichen werden.
-
Bestimme den kleinsten Hauptnenner der drei Brüche.
TippsSchreibe zunächst die ersten Vielfachen der Nenner auf.
LösungBeispiel 1: $~\frac{1}{4}$ und $\frac{5}{6}$ und $\frac{2}{3}$
Die Nenner sind $4$, $6$ und $3$. Die Vielfachenmengen sind:
- $V_4=\lbrace 4; 8; {\color{#669900}{12}}; 16; ... \rbrace$
- $V_6=\lbrace 6; {\color{#669900}{12}}; 18; ... \rbrace$
- $V_3=\lbrace 3; 6; 9; {\color{#669900}{12}}; 15; ... \rbrace$
$\text{kgV}(4; 6; 3)=12$
Beispiel 2: $~\frac{1}{8}$ und $\frac{3}{2}$ und $\frac{2}{3}$
Die Nenner sind $8$, $2$ und $3$. Die Vielfachenmengen sind:
- $V_8=\lbrace 8; 16; {\color{#669900}{24}}; 32; ... \rbrace$
- $V_2=\lbrace 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; {\color{#669900}{24}}; 26; ... \rbrace$
- $V_3=\lbrace 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; {\color{#669900}{24}}; 27; ... \rbrace$
$\text{kgV}(8; 2; 3)=24$
Beispiel 3: $~\frac{1}{18}$ und $\frac{5}{9}$ und $\frac{8}{27}$
Die Nenner sind $18$, $9$ und $27$.Die Vielfachenmengen sind:
- $V_{18}=\lbrace 18; 36; {\color{#669900}{54}}; 72; ... \rbrace$
- $V_{9}=\lbrace 9; 18; 27; 36; 45; {\color{#669900}{54}}; 72; ... \rbrace$
- $V_{27}=\lbrace 27; {\color{#669900}{54}}; 81; ... \rbrace$
$\text{kgV}(18; 9; 27)=54$
Brüche gleichnamig machen
Addition von Brüchen
Brüche addieren
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen
Brüche addieren 1 – Brüche gleichnamig machen
Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen
Brüche addieren 3 – allgemeine Methode
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen (Übungsvideo)
Brüche addieren – Übung 1
Brüche addieren – Übung 2
Brüche addieren – Übung 3
Brüche addieren – Übung 4
Brüche addieren – Übung 5
3.794
sofaheld-Level
6.574
vorgefertigte
Vokabeln
10.816
Lernvideos
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Übungen
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