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Satz des Thales – Anwendung 06:46 min

Textversion des Videos

Transkript Satz des Thales – Anwendung

Lukas sitzt gerade an seinen Hausaufgaben. Diese muss er lösen, bevor er mit seinem Hund Einstein spielen kann. Heute muss er ein Dreieck konstruieren. Dieses soll einen rechten Winkel bei B und die Seitenlänge a gleich 8cm, b gleich 10cm und c gleich. Hey, was ist denn da passiert? Ohje, da hat Einstein wohl schon wieder einen Teil der Hausaufgaben gegessen. Lukas fragt sich, wie er nun seine Hausaufgaben machen soll, wenn ihm die dritte Seite des Dreiecks fehlt. Hier hilft ihm jedoch sein Wissen über den Satz des Thales. Doch was war der Satz des Thales nochmal? Dieser besagt: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist das Dreieck am Punkt C immer rechtwinklig. Und egal wo C auf dem Kreis liegt: Das Dreieck bleibt immer rechtwinklig. Genau diesen Sachverhalt kann sich Lukas für seine Hausaufgaben zu Nutze machen. Bei ihm soll der der rechte Winkel bei B liegen und er weiß, dass a 8cm und b 10cm lang sein sollen. Damit all diese Bedingungen erfüllt sind, zeichnen wir zunächst die längere der beiden Strecken b mit 10cm. Diesen Punkt bezeichnen wir mit C und diesen mit A. Nun müssen wir den Mittelpunkt dieser Strecke bestimmen. Dazu konstruieren wir die Mittelsenkrechte. Diese schneidet die Strecke im Punkt M. Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis oberhalb der Strecke mit dem Radius CM beziehungsweise MA. Nun stellen wir den Zirkel auf einen Radius von 8cm ein, da die Seite a diese Länge haben soll. Mit diesem Radius zeichnen wir um C nun einen Kreisbogen, der den Halbkreis über der Strecke CA schneidet. Den Schnittpunkt nennen wir B. Abschließend verbinden wir B mit C und B mit A zum Dreieck ABC. Dessen Seite a ist nun 8cm lang, b ist 10cm und es hat einen rechten Winkel am Punkt B. Mit Hilfe des Satz des Thales ist es also möglich, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren, auch wenn nur zwei Seitenlängen bekannt sind. Doch er kann uns nicht nur für die Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke helfen. Das Prinzip kann uns auch bei der Konstruktion von Kreistangenten behilflich sein. Zur Erinnerung: Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt. Somit steht der Radius stets senkrecht zur Tangente. Möchten wir beispielsweise eine Tangente an den Kreis k mit dem Mittelpunkt M konstruieren, so markieren wir zunächst einen beliebigen Punkt P außerhalb des Kreises. Wir verbinden nun M mit P und konstruieren den Mittelpunkt zur Strecke MP den wir S nennen. Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis über der Strecke MP mit dem Radius MS beziehungsweise SP. Den Halbkreis nennen wir f. f schneidet den Kreis k im Punkt T. Abschließend zeichnen wir eine Gerade g durch T und P. g ist nun eine Tangente am Kreis k. Wie hat uns der Satz des Thales jetzt hier geholfen? Nach dem Satz des Thales wissen wir, dass das Dreieck MTP am Punkt T einen rechten Winkel hat. Die Strecke TP liegt auf der Geraden g. Somit steht die Strecke MT senkrecht zu g. Da MT der Radius des Kreises k ist und senkrecht zu g steht, ist g eine Tangente am Kreis k. Mit Hilfe des Satz des Thales können wir auch eine Tangente durch einen vorgegebenen Punkt konstruieren. Hier haben wir den Kreis k mit M als Mittelpunkt und einem Punkt T auf dem Kreis. Wir wollen durch T eine Tangente konstruieren. Dazu markieren wir zunächst einen beliebigen Punkt Q auf dem Kreis, sodass T und Q jedoch nicht auf dem Durchmesser liegen. MTQ bilden nun ein Dreieck. Zu zwei der Seiten des Dreiecks konstruieren wir nun die Mittelsenkrechte. Diese schneiden sich im Umkreismittelpunkt U des Dreiecks. Wir zeichnen nun den Umkreis f zum Dreieck. Eine Gerade durch M und U schneidet f im Punkt P. MP ist somit der Durchmesser des Kreises f. Anschließend zeichnen wir eine Gerade g durch T und P. g steht nun senkrecht zu MT, dem Radius des Kreises k. Das wissen wir, da nach dem Satz des Thales das Dreieck MTP bei T einen rechten Winkel besitzt. Damit ist g die Tangente an k durch den Punkt T. Lass uns das noch einmal zusammenfassen: Der Satz des Thales besagt, dass wenn der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann ist das Dreieck am Punkt C immer rechtwinklig. Diese Tatsache kann uns zum Beispiel dabei helfen, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren. Außerdem können wir uns diesen Satz bei der Konstruktion einer Tangente an einen Kreis zu Nutze machen. Was will Einstein eigentlich mit all den Hausaufgaben? Endlich hat er den letzten Teil für seine Weltherrschaftsformel gefunden.

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Satz des Thales – Anwendung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Thales – Anwendung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem nur zwei Seitenlängen bekannt sind.

    Tipps

    Um den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zuerst den Mittelpunkt der Strecke finden. Denn um diesen Punkt wird der Kreis gezeichnet.

    Der Radius des Thaleskreises beträgt die Hälfte der Strecke $\overline{AC}$.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Um das Dreieck zu konstruieren, musst du zuerst die Strecke $b$ zeichnen. Diese hat die Endpunkte $C$ und $A$.“

    • Diese Strecke ist die Basis des Thaleskreises. Auf ihr konstruieren wir das Dreieck.
    „Mithilfe der Mittelsenkrechten konstruierst du anschließend den Mittelpunkt $M$ der Strecke.“

    • Um den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zuerst den Mittelpunkt der Strecke finden. Denn um diesen Punkt wird der Kreis gezeichnet.
    „Jetzt kannst du einen Kreisbogen um $M$ zeichnen. Der Radius soll die Strecke $\overline{CM}$ oder $\overline{AM}$ betragen.“

    • Der Radius des Kreises beträgt die Hälfte der Strecke $\overline{AC}$. Also jeweils die Strecke der Endpunkte zum Mittelpunkt.
    „Konstruiere anschließend den Punkt $B$. Dazu zeichnest du einen Kreisbogen mit dem Radius $a$ um den Punkt $C$. Dieser schneidet den Thaleskreis in einem Punkt, nämlich dem Eckpunkt $B$ des Dreiecks.“

    • Indem wir einen Kreisbogen mit dem Radius der letzten gegebenen Strecke $a$ zeichnen, können wir den fehlenden Punkt konstruieren.
    „Jetzt kannst du die Punkte zu einem Dreieck verbinden. Dieses muss einen rechten Winkel am Punkt $B$ haben.“

    • Haben wir alle Punkte konstruiert, können wir sie zu einem Dreieck verbinden.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Anwendung des Satz des Thales.

    Tipps

    So kann ein mit dem Thaleskreis konstruiertes rechtwinkliges Dreieck aussehen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Der Satz des Thales besagt: Zeichnen wir einen Kreis um den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ und liegt der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ auf diesem Kreis, dann ist das Dreieck am Punkt $B$ immer rechtwinklig.“

    • Der Satz des Thales besagt, dass in diesem Fall der rechte Winkel am Punkt $C$ liegt.
    „In der Zeichnung des Satz des Thales muss der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ genau zwischen $A$ und $B$ liegen. Sonst ist das Dreieck nicht rechtwinklig.“

    • Die Lage des Punktes $C$ ist in diesem Fall irrelevant. Der Satz besagt, dass der rechte Winkel besteht, solange $C$ auf der Kreislinie liegt.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Mit dem Satz des Thales kannst du ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, auch wenn du nur zwei Seitenlängen kennst.“

    „Möchtest du mit dem Satz des Thales ein Dreieck konstruieren, musst du zuerst einen Halbkreis um den Mittelpunkt einer Strecke zeichnen.“

    • Mit dem Satz des Thales kannst du aus zwei bekannten Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren. Dazu musst du einen Thaleskreis um den Mittelpunkt einer Strecke zeichnen.
    „Den Satz des Thales kannst du auch verwenden, um eine Kreistangente zu konstruieren.“

  • Beschreibe die Konstruktion einer Tangente an einem Kreis.

    Tipps

    Um den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ finden.

    Eine Kreistangente muss immer durch einen Punkt auf dem Kreis verlaufen und senkrecht zum Radius des Kreises sein. Hier ist die Strecke $\overline{MT}$ der Radius des Kreises. Nach dem Satz des Thales muss also die Strecke $\overline{TP}$ Teil der Kreistangente sein.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „(...) Für die Konstruktion zeichnet er zunächst eine Verbindungslinie zwischen $M$ und $P$.“

    • Diese Strecke bildet die Basis des Satz des Thales. Auf ihr konstruieren wir den Thaleskreis.
    „Mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert er anschließend den Mittelpunkt $S$ der Strecke $\overline{MP}$.

    Anschließend zeichnet er einen Kreis $f$ mit dem Radius $\overline{MS}$ bzw. $\overline{SP}$ um $S$. Dieser schneidet den Kreis $k$ im Punkt $T$.“

    • Um den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ finden. Um ihn zeichnen wir einen Halbkreis mit dem Radius der Hälfte dieser Strecke.
    „Jetzt kann er die Kreistangente $g$ einzeichnen. Sie verläuft durch die Punkte $T$ und $P$.“

    • Eine Kreistangente muss immer durch einen Punkt auf dem Kreis verlaufen und senkrecht zum Radius des Kreises sein. Hier ist die Strecke $\overline{MT}$ der Radius des Kreises. Nach dem Satz des Thales muss also die Strecke $\overline{TP}$ Teil der Kreistangente sein.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Satz des Thales.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die Schenkel des rechten Winkels Katheten.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei der Konstruktion einer Tangente an einem Kreis $k$ findet man einen Punkt, der auf dem Kreis $k$, aber nicht auf dem Thaleskreis liegt.“

    • Der gefundene Punkt muss auf dem Kreis $k$ und dem Thaleskreis liegen. Sonst funktioniert die Konstruktion nicht.
    „Wurde die Konstruktion korrekt durchgeführt, ist die gesuchte Tangente die Hypotenuse des Dreiecks.“

    • Ein Schenkel des rechten Winkels bildet den Radius des Kreises und der andere seine Tangente. In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die Schenkel des rechten Winkels Katheten.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Eine Tangente an einem Kreis berührt den Kreis immer an genau einem Punkt und steht senkrecht zum Durchmesser.“

    „Bei dem Punkt des Dreiecks, der auf dem Thaleskreis liegt, liegt immer der rechte Winkel des Dreiecks.“

    • Diese beiden Tatsachen machen wir uns bei der Konstruktion zu Nutze.
    „Die Konstruktion funktioniert, da der gefundene Punkt des Kreises gleichzeitig ein Punkt auf dem Thaleskreis ist und der Radius des Kreises eine Kathete des Dreiecks im Thaleskreis ist.“

  • Ermittle die Koordinaten der Punkte, die für die Konstruktion des Dreiecks nötig sind.

    Tipps

    Du kannst die Koordinaten der fehlenden Punkte des Dreiecks mit dem Satz des Thales bestimmen. Einen Punkt im Koordinatensystem gibst du wie folgt an: $(x\vert y)$

    Für den Punkt $M$ konstruierst du zunächst eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

    Lösung

    Du kannst die Koordinaten der fehlenden Punkte des Dreiecks mit dem Satz des Thales bestimmen. Für den Punkt $M$ konstruierst du zunächst eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Dort wo die Mittelsenkrechte die Strecke schneidet, befindet sich der Punkt $M$. So erhältst du den Punkt $M(6 \vert 3)$.

    Anschließend zeichnest du einen Kreis mit Radius $\overline{AM}=\overline{MB}=3~\text{cm}$ um $M$.

    Danach zeichnest du einen Kreis mit Radius $4,2~\text{cm}$ um $A$. Dieser Kreis schneidet den ersten Kreis im Punkt $C(6 \vert 6)$. Das ist der letzte Punkt des Dreiecks.

  • Ermittle die Koordinaten der Punkte, die für die Konstruktion der Tangenten notwendig sind.

    Tipps

    Bestimme den Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ und zeichne einen Thaleskreis um diesen Mittelpunkt. Der Schnittpunkt mit dem Kreis $k$ ist dann ein Punkt auf der Tangente.

    Den Mittelpunkt $M(x_M\vert y_M)$ einer Strecke $\overline{AB}$ mit $A(x_1\vert y_1)$ und $B(x_2\vert y_2)$ erhältst du wie folgt:

    • $x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$
    • $y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$
    Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    Gesucht ist der Mittelpunkt $M(x_M\vert y_M)$ der Strecke $\overline{AB}$ mit $A(0\vert 0)$ und $B(9,5\vert 0)$. Wir erhalten folgende Rechnung:

    • $x_M=\dfrac{0+9,5}{2}=\dfrac{9,5}{2}=4,75$
    • $y_M=\dfrac{0+0}{2}=0$
    Also liegt der Mittelpunkt bei $M(4,75\vert 0)$.

    Bei Punkten in einem Koordinatensystem wird immer zuerst der $x$-Wert genannt und danach der $y$-Wert. Um beispielsweise den Punkt $R(1 \vert 2)$ zu finden, bewegst du dich vom Koordinatenursprung zuerst $1$ Schritt in $x$-Richtung nach rechts und anschließend $2$ Schritte in $y$-Richtung nach oben. Jetzt bist du beim angegebenen Punkt.

    Lösung

    Um die gesuchten Punkte zu finden, kannst du eine Konstruktion mit dem Satz des Thales durchführen. Dazu ziehst du zuerst eine Linie durch die Punkte $M$ und $P$ und bestimmst den Mittelpunkt dieser Strecke mit Hilfe der Mittelsenkrechten. So erhältst du einen Punkt:

    $S(3,125 \vert 0)$

    Jetzt kannst du einen Halbkreis um $S$ zeichnen, der die Hälfte der Strecke $\overline{MP}$ als Radius hat.

    Dieser Halbkreis schneidet den Kreis um $M$ im Punkt

    $T(4 \vert 3)$