Satz des Thales – Anwendung
Beschreibung Satz des Thales – Anwendung
Satz des Thales
Lukas soll als Hausaufgabe ein Dreieck konstruieren. Dieses soll einen rechten Winkel bei Eckpunkt B haben. Die Seitenlänge $a$ ist gleich $8~ \text{cm}$, $b$ ist gleich $10~ \text{cm}$. Aber die Angabe für $c$ fehlt, da – oh Schreck! – sein Hund Einstein den unteren Teil des Blattes aufgefressen hat. Lukas fragt sich, wie er nun seine Hausaufgaben machen soll, wenn ihm die dritte Seite des Dreiecks fehlt. Hier hilft ihm der Satz des Thales, den der griechische Mathematiker Thales von Milet bereits vor über 2.500 Jahren bewiesen hatte. Doch was war der Satz des Thales nochmal?
Satz des Thales – Definition
Liegt der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ auf einem Kreis mit dem Durchmesser $AB$, dann ist das Dreieck am Punkt $C$ immer rechtwinklig. Und egal wo $C$ auf dem Kreis liegt: Das Dreieck bleibt immer rechtwinklig.
Satz des Thales – Anwendungen
1. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks bei nur zwei bekannten Seiten
Diese Bedingung entspricht genau der Hausaufgabe von Lukas. Lukas kann jetzt den Satz des Thales nutzen. Bei ihm soll der rechte Winkel im Dreieck bei Punkt $B$ liegen und er weiß, dass die Seite $a$ $8~ \text{cm}$ und die Seite $b$ $10~ \text{cm}$ lang sein sollen.
Lukas konstruiert das Dreieck in folgenden Schritten:
- Am Anfang zeichnet er die längere der beiden Strecken, das ist $b$, mit $10~ \text{cm}$. Die Seite $b$ verbindet Punkt $A$ mit Punkt $C$ und entspricht der Strecke $\overline{AC}$.
- Um den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AC}$ zu bestimmen, wird mit dem Zirkel die Mittelsenkrechte konstruiert. Diese schneidet die Strecke $\overline{AC}$ im Mittelpunkt $M$.
- Anschließend zeichnet man einen Halbkreis oberhalb der Strecke $\overline{AC}$. Dazu wird der Zirkel in den Mittelpunkt $M$ gesetzt. Die Strecken $\overline{MC}$ beziehungsweise $\overline{MA}$ entsprechen dem Radius $r$. Mit diesem Radius entsteht der Halbkreis über $\overline{AC}$.
- Nun stellt man den Zirkel auf die Länge der Seite $a$ ein, also auf $8~ \text{cm}$. Mit dieser Einstellung zeichnen wir um Punkt $C$ nun einen Kreisbogen, der den Halbkreis über der Strecke $\overline{AC}$ schneidet. Der Schnittpunkt ist dann Punkt $B$.
- Abschließend verbinden wir den Punkt $B$ mit Punkt $C$ und den Punkt $B$ mit Punkt $A$ zum Dreieck $ABC$.
In diesem Dreieck ist die Seite $a$ nun $8~ \text{cm}$ lang, die Seite $b$ ist $10~ \text{cm}$ lang und es hat einen rechten Winkel am Punkt $B$. Mit Hilfe des Satz des Thales ist es also möglich, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren, auch wenn nur zwei Seitenlängen bekannt sind.
2. Konstruktion einer beliebigen Kreistangente
Erinnern wir uns erst einmal daran, was eine Tangente ist. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt. Dabei steht der Radius senkrecht zur Tangente.
Wir konstruieren eine Tangente an den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ in folgenden Schritten:
- Anfangs zeichnen wir einen Kreis $k$. Wir markieren dann einen beliebigen Punkt $P$ außerhalb des Kreises $k$ und verbinden $P$ mit dem Kreismittelpunkt $M$. Wir haben die Strecke $\overline{MP}$.
- Dann konstruieren wir den Mittelpunkt zur Strecke $\overline{MP}$ den wir $S$ nennen.
- Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis über der Strecke $\overline{MP}$ mit dem Radius $\overline{MS}$ beziehungsweise $\overline{SP}$. Den Halbkreis nennen wir $f$. Du siehst, der Halbkreis $f$ schneidet den Kreis $k$ und der Schnittpunkt ist $T$.
- Abschließend zeichnen wir eine Gerade $g$ durch die Punkte $T$ und $P$. Die Gerade $g$ ist nun eine Tangente am Kreis $k$.
Wie hat uns hier der Satz des Thales geholfen? Nach dem Satz des Thales wissen wir, dass das Dreieck $MTP$ am Punkt $T$ einen rechten Winkel hat. Die Strecke $\overline{TP}$ liegt auf der Geraden $g$. Somit steht die Strecke $\overline{MT}$ senkrecht zu $g$. Da $\overline{MT}$ der Radius des Kreises $k$ ist und senkrecht zu $g$ steht, ist $g$ eine Tangente am Kreis $k$.
3. Konstruktion einer Kreistangente durch den vorgegebenen Punkt T
Mit Hilfe des Satz des Thales können wir auch eine Tangente durch einen vorgegebenen Punkt konstruieren. Wir haben den Kreis $k$ mit Mittelpunkt $M$ und einem Punkt $T$ auf dem Kreis. Wir gehen schrittweise daran, durch den vorgegebenen Punkt $T$ eine Tangente zu konstruieren.
- Zunächst markieren wir einen beliebigen Punkt $Q$ auf dem Kreis. Dabei sollen aber die Punkte $T$ und $Q$ nicht auf dem Durchmesser liegen. Zusammen mit dem Mittelpunkt $M$ wird jetzt das Dreieck $MTQ$ gebildet.
- Nun konstruieren wir zu zwei der Seiten des Dreiecks die Mittelsenkrechte. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich dann im Umkreismittelpunkt $U$ des Dreiecks $MTQ$.
- Wir zeichnen nun den Umkreis $f$ zum Dreieck $MTQ$. Eine Gerade durch die Punkte $M$ und $U$ schneidet dann den Umkreis $f$ im Punkt $P$. Die Strecke $\overline{MP}$ ist somit der Durchmesser des Umkreises $f$.
- Anschließend zeichnen wir eine Gerade $g$ durch die Punkte $T$ und $P$. Die gerade $g$ steht nun senkrecht zur Strecke $\overline{MT}$, dem Radius des Kreises $k$. Das wissen wir, da nach dem Satz des Thales das Dreieck $MTP$ bei $T$ einen rechten Winkel besitzt.
Damit ist $g$ die Tangente an $k$ durch den Punkt $T$.
Zusammenfassung
Nach dem Satz des Thales ist ein Dreieck am Punkt $B$ immer rechtwinklig, wenn der Punkt $B$ eines Dreiecks $ABC$ auf einem Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AC}$ liegt. Diese Tatsache kann uns zum Beispiel dabei helfen, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren. Außerdem können wir mit diesem Satz eine Tangente an einem Kreis konstruieren.
Hinweise zum Video
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Satz des Thales zum Problemlösen verwenden und anwenden zu können. Zunächst lernst du noch einmal, was der Satz des Thales ist, dann wie man ihn für die Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwenden kann und wie er uns bei der Konstruktion von Kreistangenten behilflich sein kann.
Zum besseren Verständnis solltest du die Fachbegriffe im Video wie der Satz des Thales, rechtwinklig, Dreieck, Tangente, Kreis, senkrecht, Mittelsenkrechte, Umkreis und Umkreismittelpunkt bereits kennen.
Übungen und Arbeitsblätter
Du findest hier auch Übungen zum Satz des Thales.
Ausblick
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, den Satz des Thales für die Lösungen verschiedener geometrischer Probleme zu verwenden.
Transkript Satz des Thales – Anwendung
Lukas sitzt gerade an seinen Hausaufgaben. Diese muss er lösen, bevor er mit seinem Hund Einstein spielen kann. Heute muss er ein Dreieck konstruieren. Dieses soll einen rechten Winkel bei B und die Seitenlänge a gleich 8cm, b gleich 10cm und c gleich. Hey, was ist denn da passiert? Ohje, da hat Einstein wohl schon wieder einen Teil der Hausaufgaben gegessen. Lukas fragt sich, wie er nun seine Hausaufgaben machen soll, wenn ihm die dritte Seite des Dreiecks fehlt. Hier hilft ihm jedoch sein Wissen über den Satz des Thales. Doch was war der Satz des Thales nochmal? Dieser besagt: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist das Dreieck am Punkt C immer rechtwinklig. Und egal wo C auf dem Kreis liegt: Das Dreieck bleibt immer rechtwinklig. Genau diesen Sachverhalt kann sich Lukas für seine Hausaufgaben zu Nutze machen. Bei ihm soll der der rechte Winkel bei B liegen und er weiß, dass a 8cm und b 10cm lang sein sollen. Damit all diese Bedingungen erfüllt sind, zeichnen wir zunächst die längere der beiden Strecken b mit 10cm. Diesen Punkt bezeichnen wir mit C und diesen mit A. Nun müssen wir den Mittelpunkt dieser Strecke bestimmen. Dazu konstruieren wir die Mittelsenkrechte. Diese schneidet die Strecke im Punkt M. Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis oberhalb der Strecke mit dem Radius CM beziehungsweise MA. Nun stellen wir den Zirkel auf einen Radius von 8cm ein, da die Seite a diese Länge haben soll. Mit diesem Radius zeichnen wir um C nun einen Kreisbogen, der den Halbkreis über der Strecke CA schneidet. Den Schnittpunkt nennen wir B. Abschließend verbinden wir B mit C und B mit A zum Dreieck ABC. Dessen Seite a ist nun 8cm lang, b ist 10cm und es hat einen rechten Winkel am Punkt B. Mit Hilfe des Satz des Thales ist es also möglich, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren, auch wenn nur zwei Seitenlängen bekannt sind. Doch er kann uns nicht nur für die Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke helfen. Das Prinzip kann uns auch bei der Konstruktion von Kreistangenten behilflich sein. Zur Erinnerung: Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt. Somit steht der Radius stets senkrecht zur Tangente. Möchten wir beispielsweise eine Tangente an den Kreis k mit dem Mittelpunkt M konstruieren, so markieren wir zunächst einen beliebigen Punkt P außerhalb des Kreises. Wir verbinden nun M mit P und konstruieren den Mittelpunkt zur Strecke MP den wir S nennen. Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis über der Strecke MP mit dem Radius MS beziehungsweise SP. Den Halbkreis nennen wir f. f schneidet den Kreis k im Punkt T. Abschließend zeichnen wir eine Gerade g durch T und P. g ist nun eine Tangente am Kreis k. Wie hat uns der Satz des Thales jetzt hier geholfen? Nach dem Satz des Thales wissen wir, dass das Dreieck MTP am Punkt T einen rechten Winkel hat. Die Strecke TP liegt auf der Geraden g. Somit steht die Strecke MT senkrecht zu g. Da MT der Radius des Kreises k ist und senkrecht zu g steht, ist g eine Tangente am Kreis k. Mit Hilfe des Satz des Thales können wir auch eine Tangente durch einen vorgegebenen Punkt konstruieren. Hier haben wir den Kreis k mit M als Mittelpunkt und einem Punkt T auf dem Kreis. Wir wollen durch T eine Tangente konstruieren. Dazu markieren wir zunächst einen beliebigen Punkt Q auf dem Kreis, sodass T und Q jedoch nicht auf dem Durchmesser liegen. MTQ bilden nun ein Dreieck. Zu zwei der Seiten des Dreiecks konstruieren wir nun die Mittelsenkrechte. Diese schneiden sich im Umkreismittelpunkt U des Dreiecks. Wir zeichnen nun den Umkreis f zum Dreieck. Eine Gerade durch M und U schneidet f im Punkt P. MP ist somit der Durchmesser des Kreises f. Anschließend zeichnen wir eine Gerade g durch T und P. g steht nun senkrecht zu MT, dem Radius des Kreises k. Das wissen wir, da nach dem Satz des Thales das Dreieck MTP bei T einen rechten Winkel besitzt. Damit ist g die Tangente an k durch den Punkt T. Lass uns das noch einmal zusammenfassen: Der Satz des Thales besagt, dass wenn der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann ist das Dreieck am Punkt C immer rechtwinklig. Diese Tatsache kann uns zum Beispiel dabei helfen, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren. Außerdem können wir uns diesen Satz bei der Konstruktion einer Tangente an einen Kreis zu Nutze machen. Was will Einstein eigentlich mit all den Hausaufgaben? Endlich hat er den letzten Teil für seine Weltherrschaftsformel gefunden.
Satz des Thales – Anwendung Übung
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Beschreibe die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem nur zwei Seitenlängen bekannt sind.
TippsUm den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zuerst den Mittelpunkt der Strecke finden. Denn um diesen Punkt wird der Kreis gezeichnet.
Der Radius des Thaleskreises beträgt die Hälfte der Strecke $\overline{AC}$.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Um das Dreieck zu konstruieren, musst du zuerst die Strecke $b$ zeichnen. Diese hat die Endpunkte $C$ und $A$.“
- Diese Strecke ist die Basis des Thaleskreises. Auf ihr konstruieren wir das Dreieck.
- Um den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zuerst den Mittelpunkt der Strecke finden. Denn um diesen Punkt wird der Kreis gezeichnet.
- Der Radius des Kreises beträgt die Hälfte der Strecke $\overline{AC}$. Also jeweils die Strecke der Endpunkte zum Mittelpunkt.
- Indem wir einen Kreisbogen mit dem Radius der letzten gegebenen Strecke $a$ zeichnen, können wir den fehlenden Punkt konstruieren.
- Haben wir alle Punkte konstruiert, können wir sie zu einem Dreieck verbinden.
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Beschreibe die Konstruktion einer Tangente an einem Kreis.
TippsUm den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ finden.
Eine Kreistangente muss immer durch einen Punkt auf dem Kreis verlaufen und senkrecht zum Radius des Kreises sein. Hier ist die Strecke $\overline{MT}$ der Radius des Kreises. Nach dem Satz des Thales muss also die Strecke $\overline{TP}$ Teil der Kreistangente sein.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„(...) Für die Konstruktion zeichnet er zunächst eine Verbindungslinie zwischen $M$ und $P$.“
- Diese Strecke bildet die Basis des Satz des Thales. Auf ihr konstruieren wir den Thaleskreis.
Anschließend zeichnet er einen Kreis $f$ mit dem Radius $\overline{MS}$ bzw. $\overline{SP}$ um $S$. Dieser schneidet den Kreis $k$ im Punkt $T$.“
- Um den Thaleskreis zu zeichnen, müssen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ finden. Um ihn zeichnen wir einen Halbkreis mit dem Radius der Hälfte dieser Strecke.
- Eine Kreistangente muss immer durch einen Punkt auf dem Kreis verlaufen und senkrecht zum Radius des Kreises sein. Hier ist die Strecke $\overline{MT}$ der Radius des Kreises. Nach dem Satz des Thales muss also die Strecke $\overline{TP}$ Teil der Kreistangente sein.
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Ermittle die Koordinaten der Punkte, die für die Konstruktion des Dreiecks nötig sind.
TippsDu kannst die Koordinaten der fehlenden Punkte des Dreiecks mit dem Satz des Thales bestimmen. Einen Punkt im Koordinatensystem gibst du wie folgt an: $(x\vert y)$
Für den Punkt $M$ konstruierst du zunächst eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.
LösungDu kannst die Koordinaten der fehlenden Punkte des Dreiecks mit dem Satz des Thales bestimmen. Für den Punkt $M$ konstruierst du zunächst eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Dort wo die Mittelsenkrechte die Strecke schneidet, befindet sich der Punkt $M$. So erhältst du den Punkt $M(6 \vert 3)$.
Anschließend zeichnest du einen Kreis mit Radius $\overline{AM}=\overline{MB}=3~\text{cm}$ um $M$.
Danach zeichnest du einen Kreis mit Radius $4,2~\text{cm}$ um $A$. Dieser Kreis schneidet den ersten Kreis im Punkt $C(6 \vert 6)$. Das ist der letzte Punkt des Dreiecks.
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Ermittle die Koordinaten der Punkte, die für die Konstruktion der Tangenten notwendig sind.
TippsBestimme den Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ und zeichne einen Thaleskreis um diesen Mittelpunkt. Der Schnittpunkt mit dem Kreis $k$ ist dann ein Punkt auf der Tangente.
Den Mittelpunkt $M(x_M\vert y_M)$ einer Strecke $\overline{AB}$ mit $A(x_1\vert y_1)$ und $B(x_2\vert y_2)$ erhältst du wie folgt:
- $x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$
- $y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$
Gesucht ist der Mittelpunkt $M(x_M\vert y_M)$ der Strecke $\overline{AB}$ mit $A(0\vert 0)$ und $B(9,5\vert 0)$. Wir erhalten folgende Rechnung:
- $x_M=\dfrac{0+9,5}{2}=\dfrac{9,5}{2}=4,75$
- $y_M=\dfrac{0+0}{2}=0$
Bei Punkten in einem Koordinatensystem wird immer zuerst der $x$-Wert genannt und danach der $y$-Wert. Um beispielsweise den Punkt $R(1 \vert 2)$ zu finden, bewegst du dich vom Koordinatenursprung zuerst $1$ Schritt in $x$-Richtung nach rechts und anschließend $2$ Schritte in $y$-Richtung nach oben. Jetzt bist du beim angegebenen Punkt.
LösungUm die gesuchten Punkte zu finden, kannst du eine Konstruktion mit dem Satz des Thales durchführen. Dazu ziehst du zuerst eine Linie durch die Punkte $M$ und $P$ und bestimmst den Mittelpunkt dieser Strecke mit Hilfe der Mittelsenkrechten. So erhältst du einen Punkt:
$S(3,125 \vert 0)$
Jetzt kannst du einen Halbkreis um $S$ zeichnen, der die Hälfte der Strecke $\overline{MP}$ als Radius hat.
Dieser Halbkreis schneidet den Kreis um $M$ im Punkt
$T(4 \vert 3)$
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Bestimme die korrekten Aussagen zur Anwendung des Satz des Thales.
TippsSo kann ein mit dem Thaleskreis konstruiertes rechtwinkliges Dreieck aussehen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Der Satz des Thales besagt: Zeichnen wir einen Kreis um den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ und liegt der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ auf diesem Kreis, dann ist das Dreieck am Punkt $B$ immer rechtwinklig.“
- Der Satz des Thales besagt, dass in diesem Fall der rechte Winkel am Punkt $C$ liegt.
- Die Lage des Punktes $C$ ist in diesem Fall irrelevant. Der Satz besagt, dass der rechte Winkel besteht, solange $C$ auf der Kreislinie liegt.
„Mit dem Satz des Thales kannst du ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, auch wenn du nur zwei Seitenlängen kennst.“
„Möchtest du mit dem Satz des Thales ein Dreieck konstruieren, musst du zuerst einen Halbkreis um den Mittelpunkt einer Strecke zeichnen.“
- Mit dem Satz des Thales kannst du aus zwei bekannten Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren. Dazu musst du einen Thaleskreis um den Mittelpunkt einer Strecke zeichnen.
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Satz des Thales.
TippsIn einem rechtwinkligen Dreieck heißen die Schenkel des rechten Winkels Katheten.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Bei der Konstruktion einer Tangente an einem Kreis $k$ findet man einen Punkt, der auf dem Kreis $k$, aber nicht auf dem Thaleskreis liegt.“
- Der gefundene Punkt muss auf dem Kreis $k$ und dem Thaleskreis liegen. Sonst funktioniert die Konstruktion nicht.
- Ein Schenkel des rechten Winkels bildet den Radius des Kreises und der andere seine Tangente. In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die Schenkel des rechten Winkels Katheten.
„Eine Tangente an einem Kreis berührt den Kreis immer an genau einem Punkt und steht senkrecht zum Durchmesser.“
„Bei dem Punkt des Dreiecks, der auf dem Thaleskreis liegt, liegt immer der rechte Winkel des Dreiecks.“
- Diese beiden Tatsachen machen wir uns bei der Konstruktion zu Nutze.
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8 Kommentare
Warum kann mein Lehrer nicht so gut erklaeren
echt gutes video hab sofort alles verstanden
wer das liest kann lesen
Nice
Geflogen bruder