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Größenvergleich bei Brüchen – Übung

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Mathe-Team
Größenvergleich bei Brüchen – Übung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Größenvergleich bei Brüchen – Übung

Brüche kann man miteinander vergleichen und anordnen. Wir stellen uns dabei die Frage beantworten: Welcher Bruch von zweien ist kleiner? Allerdings ist der Größenvergleich bei Brüchen etwas aufwendiger als bei natürlichen Zahlen. Mehrere Methoden stehen dir dazu zur Verfügung. In diesem Video werden diese Methoden geübt. Bei der Streifenmethode benutzt du, dass Brüche Anteile ausdrücken. Beziehst du diese Anteile immer auf das gleiche Ganze, zum Beispiel ein Rechteck, kannst du die Anteile und damit die Brüche vergleichen. Beim Vergleichen durch Erweitern nutzt du die Tatsache, dass du bei Brüchen mit demselben Nenner sofort am Zähler sehen kannst, welcher größer oder kleiner ist. Also bringst du durch Erweitern zunächst alle Brüche auf denselben Nenner. Schließlich kannst du wie bei den natürlichen Zahlen Brüche auf dem Zahlenstrahl markieren. Einmal markiert, kannst du Brüche miteinander vergleichen, denn der Zahlenstrahl zeigt immer die Anordnung von Zahlen: nach rechts wird es größer.

Transkript Größenvergleich bei Brüchen – Übung

Hallo und herzlich willkommen. Dieses Video zeigt dir einige Übungen zum Größenvergleich von Brüchen. Dafür stehen dir diese drei Methoden zur Verfügung:

  • Die anschauliche Streifenmethode,
  • der Vergleich durch Erweitern
  • und Anordnung von Brüchen auf dem Zahlenstrahl.

Alle Methode werden in diesem Video geübt. Wir wollen auch gar nicht viel Zeit verlieren und steigen direkt in die Übungen ein.

Übung 1: Streifenmethode

Beginnen wir mit der Streifenmethode.

Welcher Bruch ist größer, sieben Neuntel oder fünf Sechstel? Unser Hilfsmittel ist dieser Streifen: er stellt das Ganze dar.

Um aus ihm einen Neuntel-Streifen zu machen, teilen wir ihn in neun gleich große Teile. Sieben Neuntel sind sieben Teile davon, also dieser Anteil.

Nun nehmen wir einen gleichgroßen Streifen und markieren darauf die Brüche mit dem Nenner 6, d.h. wir teilen ihn in sechs Teile. Fünf Sechstel sind diese fünf Teile.

Jetzt legen wir die zwei Streifen nebeneinander und vergleichen. Der Streifenanteil fünf Sechstel ist eindeutig länger als der von sieben Neuntel. Das bedeutet: fünf Sechstel ist größer als sieben Neuntel.

Übung 2: Streifenmethode

Auf welchem Teller ist der Anteil roter Gummibärchen größer?

Auf dem ersten Teller sind 11 Gummibärchen, also brauchen wir einen Elfer-Bruchstreifen. 5 Bärchen sind rot, ihr Anteil ist fünf Elftel. Das ist dieser Anteil.

Auf dem zweiten Teller beträgt der Rot-Anteil vier von sieben Bärchen, also vier Siebtel. Vier Siebtel auf dem Siebener-Bruchstreifen sind dieser Anteil.

Der Vergleich beider Streifen zeigt: Auf dem zweiten Teller ist der Rot-Anteil größer, denn vier Siebtel sind größer als 5 Elftel.

Guten Appetit!

Übung 3: Erweitern von Brüchen

Die Streifenmethode ist anschaulich, aber natürlich ein wenig umständlich. Ans Ziel kommst du auch mit der Methode des Erweiterns.

Ordne die folgenden Brüche der Größe nach: sieben Neuntel, dreizehn Achtzehntel; fünf Sechstel; drei Viertel. Hier musst du alle Brüche auf einen Hauptnenner erweitern. Aber welchen Nenner legen wir als Hauptnenner fest?

Achtzehn ist der größte Nenner, kommt als Hauptnenner jedoch nicht in Frage, da die vier nicht hinein passt. 36 passt aber, weil 9 mal vier = 36, 18 mal zwei gleich 36, 6 mal 6 gleich 36 und 4 mal 9 gleich 36.

Das sind demnach die Zahlen, mit denen du erweitern musst. Also erweitern wir: sieben Neuntel wird erweitert mit 4 zu 28 36stel, 13 Achtzehntel erweitert mit 2 wird zu 26 36stel. Fünf Sechstel erweitert mit 6 wird zu 30 36stel. Drei Viertel erweitert mit 9 wird zu 27 36stel.

Jetzt musst du nur noch die Zähler vergleichen und findest folgende Reihenfolge: Dreizehn Achtzehntel ist kleiner als drei Viertel ist kleiner als sieben Neuntel ist kleiner als fünf Sechstel.

Übung 4: Unechte Brüche

Übung 4 zeigt eine kleine Besonderheit: Welcher Bruch ist kleiner, vierzig Dreizehntel oder zwanzig Siebtel?

Hier hast du es mit unechten Brüchen zu tun! Unechte Brüche sind solche Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist. In solchen Fällen ist es immer ratsam, sie zunächst als gemischte Zahlen zu schreiben.

So ist vierzig Dreizehntel gleich drei ein Dreizehntel und zwanzig Siebtel gleich zwei sechs Siebtel, d.h. der erste Bruch ist etwas größer als 3, der zweite etwas kleiner. In dieser Schreibweise siehst du sofort, dass zwanzig Siebtel kleiner als 40 Dreizehntel ist.

Übung 5: Zahlenstrahl

Jetzt wenden wir uns noch dem Zahlenstrahl zu. Brüche sind ja Zahlen, also kann man sie auf dem Zahlenstrahl finden und markieren.

Übung 5: Suche 5 Brüche, die zwischen zwei Fünftel und einhalb liegen. Beide Brüche liegen zwischen 0 und 1. Einhalb bildet die Mitte zwischen 0 und 1 und liegt hier.

Die Brüche mit dem Nenner fünf liegen bei den roten Teilstrichen, du kannst sie abzählen: ein Fünftel, zwei Fünftel, drei Fünftel, vier Fünftel. Die Brüche zwischen zwei Fünftel und ein halb liegen hier.

Um sie anzugeben, müssen wir zwei Fünftel und ein halb aber durch Erweitern auf eine gemeinsame Skala bringen, z.B. die zum Nenner zehn. Zwei Fünftel erweitert mit 2 ergibt vier Zehntel, einhalb erweitert mit 5 ergibt fünf Zehntel.

Zwischen 4 Zehntel und 5 Zehntel liegen keine weiteren Brüche mit dem Nenner 10. Also noch mal mit 10 erweitern, das sollte reichen: Vier Zehntel erweitert mit 10 ist 40 Hundertstel, fünf Zehntel mit zehn erweitert ist 50 Hundertstel.

Halten wir die Lupe auf den Zahlstrahl zwischen zwei Fünftel gleich 40 Hundertstel und einhalb gleich 50 Hundertstel, zählt jeder Teilstrich ein Hundertstel weiter.

Jetzt kannst du 5 Brüche angeben, zum Beispiel 42 Hundertstel, 44 Hundertstel, 45 Hundertstel, 46 Hundertstel, 48 Hundertstel. Oder als Dezimalzahlen: 0,42; 0,44; 0,45; 0,46; 0,48.

Brüche über Brüche. Jetzt bist du schon einen großen Schritt weiter und kannst Brüche miteinander vergleichen. Aber im Hinterkopf solltest du immer haben, wo Brüche eigentlich herkommen, nämlich von den Anteilen. Diese Vorstellung hilft dir immer wieder, Klarheit über das Rechnen mit Brüchen zu erlangen. Viel Spaß dabei! Tschüss!

27 Kommentare

27 Kommentare
  1. Viel zu lang aber hilfreich kürze dann ist es perfekt

    Von Tobiasarndt, vor 5 Monaten
  2. Es hat gut geholfen

    Von 75suekran, vor 8 Monaten
  3. Schreibe am Donnerstag Mathe kann es jetzt danke 😉🇧🇦

    Von Idasa28, vor mehr als einem Jahr
  4. Hallo Tabitha Kopp.
    ein spezielles Video zur gemischten Schreibweise haben wird nicht. Aber vielleicht hilft dir folgendes Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/brueche-vergleichen?topic=921
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  5. Gibt es auch ein Video von der gemischten Schreibweise?

    Von Tabitha Kopp, vor mehr als einem Jahr
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Größenvergleich bei Brüchen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größenvergleich bei Brüchen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere den Ablauf der Streifenmethode anhand des Beispiels.

    Tipps

    Der Zähler gibt die Anzahl der roten Gummibärchen an und der Nenner gibt die Gesamtzahl aller Gummibärchen in der Schüssel an.

    Achte darauf, dass die Streifen die gleiche Länge haben.

    Lösung

    In der linken Schüssel beträgt der Anteil der roten Gummibärchen 5 von insgesamt 11 Gummibärchen. Der Anteil kann durch den Bruch $\frac{5}{11}$ dargestellt werden. In der rechten Schüssel kommen wir auf einen Anteil von $\frac{4}{7}$ roter Gummibärchen.

    Wollen wir diese Anteile nun vergleichen, können wir die Streifenmethode verwenden. Es werden zwei gleich lange Streifen in Abschnitte unterteilt, die von der Gesamtzahl der Gummibärchen abhängen, der eine Streifen also in 11 Abschnitte und der andere in 7. Da in der linken Schüssel 5 rote Gummibärchen zu finden sind, werden 5 Abschnitte rot gefärbt. In der anderen Schüssel befinden sich 4 Gummibärchen, es werden also 4 Abschnitte markiert.

    Legen wir nun die beiden Streifen nebeneinander, so sehen wir, dass die farbige Fläche bei $\frac{4}{7}$ etwas größer ist als bei $\frac{5}{11}$. Es gilt also $\frac{5}{11}$ < $\frac{4}{7}$.

    In der rechten Schüssel ist der Anteil roter Gummibärchen größer.

  • Bestimme, welche Brüche den gleichen Wert wie $\frac{3}{4}$ haben.

    Tipps

    Durch Erweitern eines Bruches ändert sich dessen Wert nicht.

    Will man richtig erweitern, müssen Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

    Untersuche erst den Nenner des erweiterten Bruches und prüfe dann, ob der Zähler mit der gleichen Zahl erweitert wurde.

    Lösung

    Der Wert unseres Bruches ist $\frac{3}{4}$. Wir wollen überprüfen, welche anderen Brüche den gleichen Wert haben. Das ist genau dann der Fall, wenn korrekt erweitert (oder gekürzt wurde).

    Schauen wir uns die Brüche mal an.

    Angenommen $\frac{12}{16}$ ist der richtig erweiterte Bruch, so müssen ja sowohl Zähler als auch Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert werden. Das ist hier augenscheinlich die 4. Da 3 $\cdot$ 4 = 12 und 4 $\cdot$ 4 = 16, wurde mit $\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$ richtig erweitert.

    Betrachten wir bei $\frac{25}{100}$ den Nenner. Um im Nenner 100 stehen zu haben, müsste $\frac{3}{4}$ mit 25 erweitert werden. Tun wir dies einmal: $\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} \neq \frac{25}{100}$. Somit ist $\frac{25}{100}$ also falsch.

    Ähnlich ist es bei $\frac{10}{40}$. Hier sieht man schnell beim Vergleich der Nenner, dass $\frac{3}{4}$ mit 10 erweitert sein müsste. Dann sollte aber im Zähler 30 und nicht 10 stehen. $\frac{10}{40}$ ist also keine Erweiterung von $\frac{3}{4}$.

    $\frac{45}{60}$ ist mit 15 richtig erweitert und hat deshalb den gleichen Wert wie $\frac{3}{4}$.

    $\frac{22}{28}$ ist, wie Du schnell sehen wirst, nicht richtig erweitert, da der Zähler nicht mit 7 multipliziert wurde.

  • Ordne die unechten Brüche den gemischten Brüchen zu.

    Tipps

    Teile Zähler durch Nenner und schaue, was du erhältst.

    Vergiss nicht, so weit wie möglich zu kürzen.

    Lösung

    Brüche die größer als ein Ganzes sind, nennt man unechte Brüche. Diese können auch als gemischte Brüche dargestellt werden. Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl, die vor dem Bruch steht, und einem Bruch.

    Schauen wir uns einfach an, wie das anhand unserer Aufgabe aussieht:

    Wir wollen die Brüche $\frac{14}{3}$, $\frac{23}{7}$, $\frac{34}{8}$, $\frac{34}{14}$ und $\frac{66}{9}$ zu gemischten Brüchen umformen.

    Fangen wir mit $\frac{14}{3}$ an. Wie leicht zu erkennen ist, passt die 3 viermal in die 14 hinein. Vor den Bruch schreiben wir also eine 4. Dahinter kommt noch das, was übrig bleibt, in diesem Fall $\frac{2}{3}$. Unser Ergebnis lautet somit $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.

    Auf dieselbe Weise ist mit den anderen unechten Brüchen zu verfahren.

  • Nenne drei Brüche der Größe nach, die zwischen $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$ liegen.

    Tipps

    Finde einen gemeinsamen Nenner für alle Brüche.

    Erweitere alle Brüche, sodass sie diesen Nenner besitzen.

    Vergleiche nun die Zähler der erweiterten Brüche.

    Lösung

    Zwischen $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$ liegen unendlich viele Brüche. Das wird einem schnell klar, da man Brüche beliebig erweitern kann und so immer weitere Brüche findet.

    Hier sind allerdings fünf Brüche gegeben, wovon nur drei in diesem Bereich zwischen $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$ liegen. Wir müssen nun einen gemeinsamen Nenner suchen, um die verschiedenen Brüche einordnen zu können.

    3, 4, 5, 8, 24 und 30 lauten die Nenner der gegebenen Brüche. Da der gemeinsame Nenner ein Vielfaches von 30 sein muss, können wir diese Vielfache einfach mal bilden und dann auf ihre Tauglichkeit untersuchen. 60 und 90 funktionieren nicht, weil man weder 8 noch 24 auf diese Zahlen erweitern kann. Mit 120 aber haben wir, wie wir gleich sehen werden, einen geeigneten Nenner gefunden. Erweitern wir alle Brüche dementsprechend:

    • $\frac{2}{3} = \frac{80}{120}$, $\frac{4}{5} = \frac{96}{120}$,
    • $\frac{3}{5} = \frac{72}{120}$, $\frac{5}{8} = \frac{75}{120}$, $\frac{21}{30} = \frac{84}{120}$, $\frac{3}{4} = \frac{90}{120}$ und $\frac{19}{24} = \frac{95}{120}$.
    Wie wir erkennen, liegen $\frac{21}{30}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{19}{24}$ in eben dieser Reihenfolge zwischen $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$. $\frac{3}{5}$ und $\frac{5}{8}$ sind kleiner als $\frac{2}{3}$.

  • Ordne die Brüche nach ihrer Größe.

    Tipps

    Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

    Der gemeinsame Nenner ist ein Vielfaches der einzelnen Nenner.

    Verwende 36 als gemeinsamen Nenner.

    Lösung

    Beim Vergleichen von Brüchen stößt die Streifenmethode manchmal an ihre Grenzen. Dann ist es sinnvoll, Brüche zu erweitern, um sie trotzdem vergleichen zu können.

    Der Sinn des Erweiterns ist es, die einzelnen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, da nur dann die Brüche gut vergleichbar sind.

    Wie wir schon wissen, kann man einen gemeinsamen Nenner ermitteln, wenn man die einzelnen Nenner miteinander multipliziert. Das kann aber mitunter zu ziemlich großen Nennern führen. Manchmal ist es dann von Vorteil einen genauen Blick auf die Nenner zu werfen.

    In unserem Beispiel bietet sich 36 an.

    Wir erweitern nun die einzelnen Brüche so, dass im Nenner 36 steht:

    $\frac{7}{9} = \frac{28}{36}$, $\frac{13}{18} = \frac{26}{36}$, $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$ und $\frac{3}{4} = \frac{27}{36}$.

    Jetzt können wir die Reihenfolge leicht bestimmen:

    $\frac{13}{18} < \frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$.

  • Erschließe die Anzahl der stets anwesenden Schülerinnen und Schüler.

    Tipps

    Es ist leichter, die Menge Schülerinnen und Schülern als ein Ganzes zu interpretieren.

    Ein Ganzes kannst du auch als $\frac{24}{24}$ oder $\frac{32}{32}$ darstellen.

    Lösung

    Wir wissen, dass $\frac{3}{4}$ der Klasse 7b an jedem Schultag anwesend war. In der Klasse gibt es 24 Schülerinnen und Schüler.

    Gesucht ist also der Anteil $\frac{3}{4}$ von 24.

    Betrachten wir die Klasse von 24 Kindern als unser Ganzes $\frac{24}{24} = 1$, so können wir $\frac{3}{4}$ auf den Nenner 24 erweitern und erhalten $\frac{18}{24}$. Es ist also $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$.

    Anders formuliert haben wir $\frac{3}{4}$ einfach auf unsere Bedürfnisse erweitert, sodass wir eine Gesamtmenge (an Schülerinnen und Schülern) haben, von der $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ stets da waren. Dem Bruch können wir jetzt die gesuchte Zahl entnehmen.

    18 Schülerinnen und Schüler der 7b haben also über das gesamte Schuljahr hinweg nicht gefehlt.

    Ähnlich muss bei der 7c vorgegangen werden. Es ist aber wichtig zu erkennen, dass im Aufgabentext der Anteil der mindestens einmal kranken Kinder angegeben ist.

    Beim Vergleich der Klassen zeigt sich, dass der Anteil der nie kranken Kinder in der 7b höher ist als in der 7c, denn $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} > \frac{3}{8}$.

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