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Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2)

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Mathe-Team
Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2)

Ob eine natürliche Zahl kleiner oder größer als eine andere natürliche Zahl ist, lässt sich schnell entscheiden. Bei Brüchen ist das etwas komplizierter. Ist drei Viertel oder sieben Zehntel größer? Was hier "stört", sind die unterschiedlichen Nenner. Deshalb ist es nützlich, zwei Brüche zunächst auf den gleichen Nenner zu bringen, bevor du sie vergleichst. Das nennt man Erweitern, und genau darum geht es in diesem Video. Du wirst anschaulich erfahren, dass es nach dem Erweitern nur noch ein kleiner Schritt ist, zwei Brüche zu vergleichen: Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.

Transkript Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2)

Hallo und herzlich willkommen. Du stehst im Supermarkt vor dem Saftregal. Welche Flasche sollst du kaufen: die mit drei Viertel Liter Inhalt oder die mit sieben Zehntel Liter. Beide Flaschen kosten dasselbe – aber: wo ist mehr drin?

Du weißt schon, worauf das hinausläuft: auf das Vergleichen von Bruchzahlen. Welcher Bruch ist größer: drei Viertel oder sieben Zehntel?

Damit wollen wir uns in diesem Video beschäftigen. Genauer gesagt, mit einer von mehreren Methoden, Brüche zu vergleichen. Du kennst bereits die Streifenmethode, die wir hier kurz wiederholen.

In diesem Video wirst du dann aber eine weniger aufwändige Methode kennenlernen. Ich bringe dir erst bei, wie du Brüche mit gleichem Nenner vergleichst. Dann, wie du Brüche mit gleichen Zählern, und dann, wie du Brüche mit verschiedenem Nenner und Zähler vergleichst.

Anschließend werden wir dann noch mal zusammenfassen, was wir beim Vergleichen gemacht haben, nämlich Brüche erweitert oder gekürzt. Zuletzt lösen wir das Saftproblem: in Welcher Flasche ist mehr drin?

Streifenmethode

Los gehts mit dem Rückblick auf die Streifenmethode. Hier betrachten wir Brüche als Anteile eines gemeinsamen Ganzen.

Das gemeinsame Ganze stellen wir als zwei gleichgroße Papierstreifen dar und die Brüche als farbig markierten Anteil des Papierstreifens. Anschließend vergleichen wir die beiden Streifen und können so beispielsweise ablesen, dass drei Fünftel größer als vier Siebtel sind.

Brüche mit gleichem Nenner

Jetzt wollen wir eine weitere Methode erforschen. Dazu betrachten wir zunächst Brüche mit gleichem Nenner. Was bedeutet der Nenner denn aber anschaulich?

Der Nenner gibt die Art der Teilung an. Liegt derselbe Nenner vor, dann liegt diesselbe Aufteilung des gemeinsamen Ganzen vor. Zum Beispiel beim Vergleich zweier gleichgroßen Rechtecke.

Beim linken Rechteck sind 7 der 15 gleichgroßen Teile markiert. Zu dem Rechteck gehört der Bruch sieben Fünfzehntel - zum Rechteck rechts gehört der Bruch fünf Fünfzehntel. Der linke Anteil ist größer, also gilt: sieben Fünfzehntel ist größer als 5 Fünfzehntel.

Der erste Merksatz zum Brüche vergleichen lautet demnach:

Sind die Nenner gleich, gehört zum größeren Zähler auch der größere Bruch.

Brüche mit gleichem Zähler

Jetzt vergleichen wir zwei Brüche mit demselben Zähler. Auch dieser Fall ist anschaulich. Wieder haben wir zwei gleichgroße Rechtecke, dieses Mal ist aber die Einteilung verschieden.

Beim linken Rechteck sind 4 von 15 Teilen markiert – zu ihm gehört der Bruch 4 Fünfzentel. Beim Rechteck rechts sind 4 von 6 Teilen markiert – zu ihm gehört der Bruch 4 Sechstel.

In jedem Rechteck sind vier Teile ausgewählt, d.h. bei beiden Brüchen ist der Zähler gleich, nämlich vier. Du siehst beim Vergleich sofort: Unterteilt man ein Rechteck in immer mehr Teile, so wird der Nenner immer größer. Gleichzeitig wird der Anteil von vier schraffierten Teile am gesamten Rechteck kleiner.

Der zweite Merksatz lautet also:

Sind die Zähler gleich, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.

Brüche mit verschiedenen Nennern und verschiedenen Zählern

Was machen wir, wenn aber Nenner und Zähler unterschiedlich sind? Dann helfen uns die ersten zwei Merksätze nicht weiter.

Wir betrachten wieder zwei Rechtecke mit unterschiedlicher Teilung und unterschiedlicher Anzahl schraffierter Teile. Die zugehörigen Brüche sind drei Fünftel und zwei Drittel.

Wollen wir die beiden Brüche vergleichen, haben wir nur die Möglichkeit, die Nenner gleich zu machen, also beide Rechtecke auf die gleiche Art zu unterteilen. Damit ändert sich die Darstellungen der Brüche – aber die markierte Fläche beschreibt jeweils denselben Anteil wie zuvor!

Links haben wir jetzt neun Fünfzehntel, rechts zehn Fünfzehntel. Diese Brüche können wir vergleichen mithilfe von Merksatz Eins: Neun Fünfzehntel ist kleiner als zehn Fünfzehntel. Also gilt auch: Drei Fünftel ist kleiner als zwei Drittel.

Als dritten Merksatz formulieren wir:

Zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend verglichen: Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.

Dir fällt sicher auf, dass der neue gemeinsame Nenner 15 das Produkt der beiden alten Nenner 5 und 3 ist. Dass gilt immer:

Multiplizierst du die Nenner zweier verschiedener Brüche miteinander, erhältst du immer einen gemeinsamen Nenner.

Erweitern und Kürzen

Beim “auf den gleichen Nenner bringen”, das wir eben praktiziert haben, haben wir den Brüchen quasi neue Namen gegeben, indem wir sie erweitert haben:

Die Einteilung des Bruchs, also der Nenner, wird verfeinert. Dadurch steigt aber auch die Anzahl der schraffierten Teile, also der Zähler. Aus zwei Drittel beispielsweise wird so sechs Neuntel.

Zähler und Nenner wurden mit der gleichen Zahl, nämlich drei, multipliziert. Das nennt man Erweitern.

Beim Kürzen geschieht das Umgekehrte, die Einteilung wird gröber. Aus neun Dreißigstel werden drei Zehntel. Jetzt wurden Nenner und Zähler durch drei geteilt. Das ist das Kürzen.

Wichtig: Kürzen und Erweitern verändern den Wert des Bruches nicht.

Beispielaufgabe

Betrachten wir das Beispiel zu Beginn: In welcher Flasche ist mehr Inhalt? Oder auch: Welcher Bruch ist größer, drei Viertel oder sieben Zehntel?

Wir brauchen zunächst einen gemeinsamen Nenner, zum Beispiel durch Multiplizieren der beiden Nenner: vier mal 10 ist 40. Den ersten Bruch müssen wir deshalb mit 10 erweitern, das ergibt dreißig Vierzigstel.

Der zweite Bruch wird mit 4 erweitert , um auf den Nenner 40 zu kommen. Wir erhalten achtundzwanzig Vierzigstel. Jetzt musst du nur noch die Zähler vergleichen. 30 ist größer als 28, also ist drei Viertel größer als sieben Zehntel.

Zusammenfassung

Brüche haben viele Darstellungen, die alle durch Erweitern oder Kürzen ineinander umwandelbar sind. Das ist etwas verwirrend und unterscheidet die Brüche von den natürlichen Zahlen.

In anderen Videos kannst du gerne das Erweitern und Kürzen von Brüchen vertiefen. Es stellt eine wichtige Methode dar, zwei Brüche zu vergleichen. So das war’s. Bis bald. Tschüss.

25 Kommentare

25 Kommentare
  1. es hat mir sehr viel geholfen und habe in mahe jetzt eine3 bekommen danke

    Von Maurabota, vor 4 Monaten
  2. Danke es hat mir sehr geholfen
    5 Sterne

    Von Miladuske, vor 9 Monaten
  3. es ist zwar gut erklärt aber das Video war viel zu lang.

    Von Cheyenne K., vor 11 Monaten
  4. Von Mel 3, vor 11 Monaten
  5. gggggdhdngdnjuzdsaxxc

    Von Mel 3, vor 11 Monaten
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Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Merksätze zum Vergleich von Brüchen wieder.

    Tipps

    $\frac{4}{16} < \frac{4}{6}$

    $\frac{5}{15} > \frac{4}{15}$

    $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

    Lösung

    Die Merksätze lauten:

    1. „Sind die Nenner gleich, gehört zum größeren Zähler auch der größere Bruch.“ Das leuchtet doch ein: $\frac{5}{15} > \frac{4}{15}$, weil $\frac{5}{15}$ ein Fünfzehntel mehr besitzt als $\frac{4}{15}$.
    2. „Sind die Zähler gleich, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.“ So ist beispielsweise $\frac{4}{15} < \frac{4}{6}$. Bei der Verwendung der Streifenmethode kann man sich das gut klarmachen.
    3. „Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend verglichen. Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.“ $\frac{3}{4} = \frac{30}{40} > \frac{28}{40} = \frac{7}{10}$. Bringt man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, verändert sich der Wert der Brüche nicht.
  • Gib an, welcher Bruch kleiner oder größer ist.

    Tipps

    Erinnere dich an den Merksatz: Wenn die Nenner von zwei Brüchen gleich sind, welcher ist dann der größere der beiden?

    Wenn die Zähler von zwei Brüchen gleich sind, welcher ist dann der größere von beiden?

    Bringe, wenn nötig, zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

    Lösung
    • $\frac{5}{15}$ < $\frac{7}{15}$, hier kann wunderbar der Merksatz verwendet werden: „Sind die Nenner gleich, gehört zum größeren Zähler auch der größere Bruch.“
    • $\frac{4}{6}$ > $\frac{4}{15}$. Zu diesem Vergleich passt: „Sind die Zähler gleich, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.“
    • Für $\frac{3}{4}$ > $\frac{7}{10}$ und $\frac{3}{5}$ < $\frac{2}{3}$ gilt: „Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend verglichen. Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.“ Konkret sieht das dann so aus: $\frac{3}{4} = \frac{30}{40} > \frac{28}{40} = \frac{7}{10}$. Dabei wurde 40 als gemeinsamer Nenner festgelegt und entsprechend erweitert. Ähnlich funktioniert es auch bei $\frac{3}{5}$ < $\frac{2}{3}$.
  • Bestimme, welcher Bruch größer ist.

    Tipps

    Wie lautet der Merksatz bei gleichen Zählern?

    Überlege: Was ist mehr? 1 Flasche Saft auf 2 Kinder aufgeteilt oder auf 4 Kinder aufgeteilt?

    Lösung

    Dank unseres Merksatzes wissen wir, dass beim Vergleich zweier Brüche mit gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. So ergibt sich $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

    Häufig ist es hilfreich, sich die Brüche anhand von guten Beispielen vor Augen zu führen.

    Beim Vergleich von Brüchen, bei denen der Zähler gleich ist, kann man sich fragen: Bekommt der Einzelne mehr, wenn wir 2 Liter Limonade unter 10 Kindern oder unter 11 Kindern aufteilen? Weil die gleiche Menge an Limonade unter weniger Kindern aufgeteilt immer bedeutet, dass jedes einzelne Kind mehr bekommt, ist bei Brüchen mit gleichen Zählern immer der Bruch mit dem kleineren Nennern der größer als der Bruch mit dem größeren Nenner.

  • Gib die Brüche in der angegebenen Reihenfolge an.

    Tipps

    Wie kannst du die Brüche sinnvoll vergleichen?

    Finde einen gemeinsamen Nenner.

    Der gemeinsame Nenner ist ein gemeinsames Vielfaches der Nenner von zwei Brüchen, du kannst aber auch das gemeinsame Vielfache von allen gegebenen Brüchen bestimmen. So kannst du die Brüche noch leichter miteinander vergleichen.

    Denke beim Erweitern daran, dass du Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor erweiterst!

    Lösung

    Wenn mehrere Brüche verglichen werden sollen, kannst du alle Brüche gleichnamig machen, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

    Die Nenner unserer Brüche lauten 2, 5, 10 und 25. Wir haben gelernt, dass man den Bruch mit den Nennern der anderen Brüche erweitern muss, um einen gemeinsamen Nenner zu finden. Das ist auch hier richtig: 2500 ist ein gemeinsamer Nenner aller Brüche. Eleganter wäre es jedoch, 50 als kleinstes gemeinsames Vielfaches zu erkennen. So wird jeder Bruch mit einer Zahl, die hier über dem Gleichheitszeichen steht, erweitert, sodass im Nenner 50 steht:

    $\frac{1}{5} \stackrel{\mathrm{\cdot 10}}= \frac{10}{50}$

    $\frac{8}{25} \stackrel{\mathrm{\cdot 2}}= \frac{16}{50}$

    $\frac{4}{10} \stackrel{\mathrm{\cdot 5}}= \frac{20}{50}$ und

    $\frac{1}{2} \stackrel{\mathrm{\cdot 25}}= \frac{25}{50}$.

    Nun können die Brüche wirklich miteinander verglichen und in eine Reihenfolge gebracht werden. Diese lautet:

    $\frac{10}{50} < \frac{16}{50} < \frac{20}{50} < \frac{25}{50}$, also:

    $\frac{1}{5} < \frac{8}{25} < \frac{4}{10} < \frac{1}{2}$.

  • Bestimme die wahren Aussagen über Brüche.

    Tipps

    Die Streifenmethode kann hilfreich sein, Erweitern und Kürzen zu veranschaulichen.

    Überprüfe die Aussagen durch ein Beispiel.

    Lösung

    Überprüfen wir den Wahrheitsgehalt der Aussagen.

    • „Durch Erweitern und Kürzen können Brüche vergleichbar gemacht werden.“ Das ist richtig. Erweitern und Kürzen ist die bevorzugte Methode beim Vergleich zweier Brüche. Die Streifenmethode ist zwar anschaulich, aber dauert in der Umsetzung länger.
    • „Ist der Nenner der beiden Brüche der gleiche, so ist der Bruch mit dem kleineren Zähler größer.“ Das stimmt nicht. Belegen wir dies mit einem Gegenbeispiel, z.B. den Brüchen $\frac{3}{5}$ und $\frac{4}{5}$. Mithilfe der Streifenmethode zeigen wir, dass hier das gemeinsame Ganze in fünf Teile geteilt ist, wobei bei $\frac{3}{5}$ 3 Anteile des Ganzen farbig markiert sind und bei $\frac{4}{5}$ vier Anteile. Da bei $\frac{4}{5}$ ein Anteil mehr farbig ist, gilt $\frac{4}{5} > \frac{3}{5}$. Der Merksatz lautet also richtig: „Sind die Nenner gleich, so ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.“
    • „Ist der Zähler der beiden Brüche der gleiche, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.“ Das ist eine wahre Aussage. Leicht kann man sich das durch ein extremes Beispiel veranschaulichen. Nehmen wir $\frac{3}{10}$ und $\frac{3}{1000}$. Man könnte jetzt durch Erweitern oder die Streifenmethode die Größenverhältnisse überprüfen. Wenn wir uns aber klarmachen, dass der Bruchstrich „geteilt durch“ bedeutet, weißt du, welcher Bruch größer ist: 3 Kuchen auf 10 Kinder verteilt ist mehr, als 3 Kuchen auf 1000 Kinder verteilt. Solche Beispiele können hilfreich sein, sich Merksätze wie diesen einzuprägen.
    • „Beim Erweitern und Kürzen von Brüchen ändert sich der Wert der Zahl nicht.“ Das stimmt und ist wichtig, da Erweitern und Kürzen ansonsten keinen praktischen Wert für uns hätten.
  • Ermittle die Position auf dem Zahlenstrahl.

    Tipps

    Wie kann man Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern vergleichen?

    Brüche kann man erweitern und kürzen, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

    Lösung

    Häufig kann eine Zahl schon grob auf dem Zahlenstrahl einordnet werden.

    Bei $\frac{7}{22}$ kann man schnell ausschließen, dass dieser Bruch zwischen $\frac{2}{3}$ und 1 liegt. Alles Weitere muss man jetzt prüfen. Gilt $\frac{7}{22} < \frac{1}{3}$ oder $\frac{7}{22} > \frac{1}{3}$?

    Um das herauszufinden, müssen wir die beiden Brüche vergleichbar machen. Das funktioniert, indem man sie gleichnamig macht, also auf den gleichen Nenner bringt. Dafür musst du erweitern, indem du Zähler und Nenner des einen Bruches mit dem Nenner des anderen Bruches multiplizierst:

    $\frac{7}{22} = \frac{21}{66} < \frac{22}{66} = \frac{1}{3}$.

    Hier haben wir $\frac{7}{22}$ mit 3 erweitert und $\frac{1}{3}$ mit 22, den jeweiligen Nennern des anderen Bruchs. Es ergibt sich $\frac{7}{22} < \frac{1}{3}$.

    So ähnlich kannst du auch die anderen Brüche einordnen.

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