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Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1)

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Mathe-Team
Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1)

Ob eine natürliche Zahl kleiner oder größer als eine andere natürliche Zahl ist, lässt sich schnell entscheiden. Bei Brüchen ist das etwas komplizierter. Ist drei Viertel größer oder sieben Zehntel? Wie kannst du diese Brüche vergleichen? Dafür gibt es mehrere Methoden. Die anschaulichste Methode besteht darin, Brüche als Anteile an einem Ganzen aufzufassen und dann diese Anteile zu vergleichen. Darum geht es in diesem Video. Als Ganzes wählen wir einen Papierstreifen. Deshalb nennt man die Methode, die in diesem Video vorgestellt wird, auch Streifenmethode. Du wirst zunächst erfahren, wie du einen Bruch auf einem solchen Streifen darstellen kannst. Wenn du das für verschiedene Brüche machst und darauf achtest, dass die Streifen immer gleich lang sind, hast du ein prima Verfahren an der Hand, Brüche zu vergleichen: einfach Streifen nebeneinander halten.

Transkript Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1)

Hallo und herzlich willkommen. Drei von vier Deutschen empfinden Lebensfreude, stand kürzlich in einem Zeitungsartikel. In einem anderen Zeitungsartikel habe ich gelesen: Vier Fünftel aller Deutschen können nicht Nein sagen. Man könnte auch sagen vier Fünftel der Deutschen sind Ja-Sager.

Gibt es nun mehr lebensfrohe Deutsche oder mehr Ja-Sager? Kann man das überhaupt vergleichen? Können wir entscheiden, was mehr ist: Drei Viertel oder vier Fünftel?

Ja, das können wir, und in diesem Video geht es genau darum: den Größenvergleich von Brüchen. Dabei greifen wir auf die anschauliche Bedeutung von Brüchen als Anteile an einem gemeinsamen Ganzen zurück.

  • Zunächst wiederholen wir kurz, wie man Anteile durch Brüche beschreibt und was es mit dem Zähler und Nenner auf sich hat.
  • Dann widmen wir uns dem Vergleich von Brüchen und klären zunächst, wann das überhaupt sinnvoll ist. Dann stelle ich dir eine schöne und anschauliche Methode vor, Brüche zu vergleichen: die Streifenmethode.
  • Mit einem weiteren Beispiel kannst du dann das neu Gelernte festigen und anschließend selbst anwenden.

Wiederholung: Anteile als Brüche darstellen

Zunächst eine kurze Wiederholung: Wie beschreibt man Anteile durch Brüche? Man braucht ein Ganzes, das in mehrere gleich große Teile geteilt wird. Von diesen Teilen wählen wir dann einige aus: das ist der Anteil am Ganzen.

Der zugehörige Bruch wird gebildet aus der Anzahl der schraffierten Teile - hier 3 - und der Zahl aller Teile, also der Art der Teilung. Hier wurde in acht Teile geteilt.

Der Bruch lautet also drei Achtel. Die Zahl oberhalb des Bruchstrichs ist der Zähler, unten steht der Nenner.

Brüche vergleichen

Jetzt wollen wir Brüche vergleichen. Wann ist das überhaupt sinnvoll? Können wir einen dreiviertel Liter Milch mit einem halben Kilo Äpfel vergleichen? Sicher nicht. Aber mit einem halben Liter Apfelsaft vergleichen – das ist sinnvoll.

Brüche mit Einheiten müssen sich auf dieselbe Einheit beziehen. Bei der Mengenangabe von Milch und Apfelsaft liegt die Volumeneinheit Liter vor. Eine Viertel Pizza mit fünf Achteln einer Torte zu vergleichen, wäre demnach wieder nicht sinnvoll.

Drei Viertel aller Deutschen mit vier Fünfteln aller Deutschen wie im Eingangsbeispiel können wir hingegen miteinander vergleichen, weil ein gemeinsames Ganzes vorliegt. Das Ganze sind die Einwohner von Deutschland.

Das solltest du im Hinterkopf haben, wenn wir gleich Brüche vergleichen. Denn wir werden dabei Maßeinheiten, Kuchensorten usw. außer Acht lassen und uns nur auf die Brüche konzentrieren.

Wir betrachten die Brüche 2/6 und ⅗. Wie können wir nun entscheiden, ob 2/6 kleiner oder größer als ⅗ ist? Wir nutzen aus, dass Brüche Anteile darstellen.

Zwei Sechstel bedeutet ja, dass ich das Ganze in sechs gleich große Teile teile und davon zwei Teile nehme. Das gemeinsame Ganze stellen wir jetzt für jeden der beiden Brüche durch einen Papierstreifen dar. Wir teilen ihn in 6 gleichgroße Teile.

Betrachten wir davon einen Teil, entspricht das dem Bruch ein Sechstel, 2 Teile entsprechen dem Bruch zwei Sechstel und so weiter, 5 Teile stellen den Bruch fünf Sechstel dar. Sechs Teile, also sechs Sechstel, sind das Ganze. Das ist nun der Bruchstreifen für Sechstel.

Den Bruchstreifen für Fünftel stellen wir genauso her. Wichtig: der Streifen muss dieselbe Länge haben wie der Sechstel-Streifen! Wir teilen ihn in fünf gleich große Abschnitte und beschriften diese mit ein Fünftel, zwei Fünftel bis fünf Fünftel. Das ist unser Fünftel-Streifen.

Um jetzt 2/6 mit ⅗ zu vergleichen, markieren wir die Anteile auf den jeweiligen Papierstreifen. Bei dem Sechstel Streifen markieren wir die ersten beiden Teile. Denn sie stellen den Anteil 2/6 dar. Dasselbe machen wir mit dem Fünftel-Streifen. Wir markieren die ersten drei Teile als den Anteil ⅗.

Anschließend legen wir die beiden Streifen untereinander. Wir lesen ab: drei Fünftel sind deutlich mehr als zwei Sechstel. Oder mathematisch ausgedrückt: drei Fünftel ist größer als zwei Sechstel.

Wir können also folgende Regel festhalten:

Von zwei Brüchen ist derjenige größer, bei dem im Vergleich der zugehörigen Bruchstreifen die größere Fläche markiert ist.

Beispielaufgabe

Wenden wir das Gelernte auf zwei weitere Beispiele an. In welchem Topf ist der Anteil der roten Bonbons größer?

  • Topf 1 enthält insgesamt 12 Bonbons, davon 7 rote, ihr Anteil ist also sieben Zwölftel.
  • Topf 2 enthält 9 Bonbons, davon 5 rote. Ihr Anteil ist hier demnach fünf Neuntel.

Für’s Vergleichen brauchen wir einen Zwölftel-Streifen und einen Neuntel-Streifen. Wir stellen zwei gleichgroße Papierstreifen her und teilen den einen Streifen in 12 gleichgroße Teile, den anderen in 9 gleichgroße Teile. Das sind unsere Zwölftel- und Neuntel-Streifen

  • Beim Zwölftel-Streifen markieren wir die ersten 7 Teile. Sie stellen den Anteil 7/12 vom Ganzen dar.
  • Beim Neuntel-Streifen markieren wir die ersten 5 Teile. Sie stellen den Anteil 5/9 vom Ganzen dar.

Da beiden Papierstreifen gleich groß sind beschreiben die Brüche Anteile eines gemeinsamen Ganzen. Deshalb können wir sie vergleichen. Wir legen sie also untereinander und können sehen, dass beim Zwölftel-Streifen bei dem der Anteil 7/12 dargestellt ist, mehr Fläche markiert ist. Das bedeutet, der Bruch 7/12 ist größer als 5/9.

Die Eingangsfrage müssen wir ja auch noch beantworten: Drei Viertel aller Deutschen sind glücklich. Vier Fünftel der Deutschen sind Ja-Sager. Sind drei Viertel aller Deutschen mehr Menschen als vier Fünftel?

Das Prozedere, einen Viertel-Streifen und Fünftel-Streifen, kennst du bereits. ich habe sie deshalb schon vorbereitet. Wichtig ist … Richtig! Sie müssen gleichgroß sein, so dass wir sie vergleichen können. Vier Fünftel markiert eine größere Fläche als drei Viertel, also sind drei Viertel kleiner als vier Fünftel.

Unter den Deutschen gibt es demnach angeblich mehr Ja-Sager als Gutgelaunte. Na, da schließen wir uns am liebsten beiden Gruppen an: Wir sagen Ja zur Mathematik, das sorgt für gute Laune und wir sind glücklich. :-) Tschüss.

11 Kommentare

11 Kommentare
  1. Wirklich schön gezeichnet 👍🏼👍🏼👍🏼🌈

    Von Sanjum79, vor 8 Monaten
  2. eva wird ewer geschrieben zumindesten sagt das meine lehrerin

    Von Susan Barchewitz, vor 10 Monaten
  3. ICH Hasse es zwar zu üben aber ich mag das viedeo plus die aufgaben

    Von Susan Barchewitz, vor 10 Monaten
  4. diesen vidio war gut erklert,dange fur die vidio
    isch konte disen tema in das schule nisch aber jezt kan isch diesen tema gut

    Von L. A., vor mehr als einem Jahr
  5. beschtes video evvvaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

    Von E. L., vor mehr als 2 Jahren
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Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Aussagen wahr sind.

    Tipps

    Lies dir die Sätze sorgfältig durch.

    Erinnere dich: Kann man Milch in Litern mit Äpfeln in Kilogramm vergleichen?

    Lösung

    Schauen wir uns die Aussagen in Ruhe an.

    • Brüche mit unterschiedlichen Einheiten wie Liter und Kilogramm lassen sich immer sinnvoll miteinander vergleichen. Das stimmt nicht! Brüche brauchen eine gemeinsame Einheit wie Liter, Kilogramm, Meter usw. oder ein gemeinsames Ganzes, wie zum Beispiel eine Menge von Menschen, Tieren oder Bonbons, um sinnvoll verglichen werden zu können.
    • Anteile lassen sich durch Brüche beschreiben. Das ist eine wahre Aussage. Brüche eignen sich sehr gut, um Anteile zu beschreiben.
    • Beim Vergleich zweier Brüche ist das gemeinsame Ganze entscheidend. Ja, auch das stimmt. Nur wenn es ein gemeinsames Ganzes gibt, können Brüche miteinander verglichen werden.
    • Bei der Papierstreifen-Methode müssen die Streifen nicht gleich lang sein. Das ist falsch! Die Papierstreifen müssen gleich lang sein, damit sie nebeneinander gelegt werden und sinnvoll verglichen werden können.
    • Bei einem Bruch wird der Nenner durch den Zähler dividiert. Das ist falsch. Es wird der Zähler durch den Nenner geteilt, nicht umgekehrt.
  • Ergänze zu sinnvollen und richtigen Sätzen.

    Tipps

    Prüfe mit der Papierstreifenmethode.

    Beachte die angegebenen Einheiten.

    Lösung

    Schauen wir uns die Aussagen genauer an. Schnell bemerken wir, dass sich über die dritte Aussage nichts Sinnvolles sagen lässt, da Liter eine Einheit für das Volumen und Kilogramm eine Einheit für das Gewicht ist. Die Einheiten müssen aber identisch sein.

    Bei den übrigen Angaben kannst du zum Vergleich Papierstreifen verwenden. Hier ist von zwei Brüchen derjenige größer, bei dem im Vergleich der zugehörigen Bruchstreifen die größere Fläche markiert ist. Wichtig ist es, zwei gleich lange Streifen zu verwenden. Der Nenner bestimmt hierbei, in wie viele Abschnitte der Streifen unterteilt wird, der Zähler bestimmt, wie viele Abschnitte farbig markiert werden. So erfährst du:

    • $\frac{2}{6}$ $\ell$ ist weniger als $\frac{3}{5}~\ell$.
    • $\frac{4}{5}$ kg ist mehr als $\frac{3}{4}$ kg.
  • Entscheide, ob die Brüche größer (>) oder kleiner (<) als $\frac {1}{2}$ sind.

    Tipps

    Verwende die Papierstreifen.

    Beginne mit $\frac{1}{2}$ als Vergleichsgröße.

    Zeichne sorgfältig und genau.

    Lösung

    Zuerst kannst du einen Papierstreifen zum Bruch $\frac{1}{2}$ erstellen. Dieser Streifen dient dir als Vergleichsgröße. Nun kannst du Papierstreifen aller anderen Brüche danebenlegen und vergleichen.

    Es ergibt sich:

    Zwei Drittel, drei Viertel, vier Siebtel und drei Fünftel sind größer als $\frac{1}{2}$. Ein Viertel, drei Siebtel und zwei Fünftel und ein Drittel sind kleiner als $\frac{1}{2}$.

  • Ordne die gleichgroßen Brüche einander zu.

    Tipps

    Wenn du bei einer Torte vier Viertel jeweils noch teilst, erhältst du acht Achtel.

    Die Menge deiner Torte verändert sich durch die Teilung nicht.

    Lösung

    Die Anwendung der Papierstreifenmethode liefert uns folgende Ergebnisse:

    $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$, $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ und $\frac{3}{6} = \frac{4}{8}$.

    Hier Papierstreifen zu benutzen, ist zugegebenermaßen eine recht zeitaufwendige Methode.

    Vielleicht hast du gemerkt, dass die Brüche gleich bleiben, wenn du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst.

    An der Pizza erkennst du vielleicht, dass $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$ ist. Es wird nämlich mit beiden Brüchen derselbe Anteil an der Pizza beschrieben.

    Brüche können also verschieden aussehen und doch vom Wert gleich bleiben.

  • Beschreibe, wie du zwei Brüche vergleichen kannst.

    Tipps

    Welche Schritt steht am Anfang, welcher Schritt steht am Ende?

    Lösung

    Bei dieser Methode musst du sehr genau arbeiten, weil davon abhängt, ob die Zeichnung eine richtige Lösung liefert oder nicht. Gerade bei Zahlen, die sehr nah beieinander liegen, musst du sehr sorgfältig arbeiten.

    1. Du bestimmst aus der Aufgabenstellung, welche Brüche du miteinander vergleichen sollst.
    2. Du zeichnest anschließend zwei gleich lange, rechteckige Papierstreifen.
    3. Jeden Streifen unterteilst du in Abschnitte, die von der Zahl im Nenner abhängig sind.
    4. Die vom Zähler abhängige Anzahl von Abschnitten markierst du farbig.
    5. Die farbigen Flächen der gekennzeichneten Streifen kannst du nun vergleichen.
    6. Die größere farbige Fläche gehört zum größeren Bruch. Nun kannst du zwischen die Brüche >, = oder < schreiben.
    Manchmal versagen die Papierstreifen aber trotzdem, weil zwei Brüche sich zu nah sind. Glücklicherweise gibt es noch alternative Möglichkeiten, zwei Brüche zu vergleichen, wie Erweitern und Kürzen oder den Zahlenstrahl.

  • Erstelle die richtige Reihenfolge, beginnend beim kleinsten Bruch.

    Tipps

    Vergleiche immer nur zwei Brüche gleichzeitig.

    Fange mit besonders groß oder klein erscheinenden Brüchen an.

    Lösung

    Die Anwendung der Papierstreifenmethode zeigt uns die richtige Reihenfolge:

    $\frac{2}{7} < \frac{1}{3} < \frac{3}{5} < \frac{6}{7} < \frac{7}{8}$.

    Vielleicht kennst du schon schnellere Methoden, Brüche miteinander zu vergleichen. Alternativen sind nie sinnlos, da diese Methode an ihre Grenzen stoßen kann, wenn Brüche ähnlich groß sind, und es nicht wirklich erkennbar ist, welche markierte Fläche größer ist.

    Eine beliebte Alternative besteht im Erweitern und Kürzen von Brüchen. Aber dazu mehr in einem anderen Video!

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