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Brüche auf dem Zahlenstrahl 04:08 min

Textversion des Videos

Transkript Brüche auf dem Zahlenstrahl

Das ist Winny. Sie bereitet sich auf einen ganz besonderen Wettkampf vor. Im Weitsprung. Um ihre Sprünge zu vergleichen, kann sie Brüche auf einen Zahlenstrahl eintragen. Wiederholen wir dazu zunächst was ein Bruch ist. Brüche verwenden wir zur Beschreibung von Anteilen. Ein Bruch besteht aus drei Komponenten. Die obere Zahl eines Bruchs nennen wir Zähler. Der Zähler "zählt" die Teile, die wir beschreiben. Die untere Zahl des Bruchs ist der Nenner. Der Nenner benennt die Art eines Anteils. Zähler und Nenner werden durch den Bruchstrich, der einem Geteilt-Zeichen entspricht, voneinander getrennt. Du kannst jeden Bruch auf einen Zahlenstrahl eintragen. Beginnen wir dabei doch bei den echten Brüchen. Dies sind Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist. Du kannst echte Brüche am Zahlenstrahl eintragen, indem du den Bereich zwischen 0 und 1 in so viele gleich große Abschnitte teilst, wie der Nenner es dir anzeigt. Tragen wir doch einmal drei Viertel in den Zahlenstrahl ein. Der Nenner dieses Bruchs ist 4. Wir müssen den Bereich zwischen 0 und 1 also in 4 gleichgroße Teile einteilen. Dazu können wir uns ein Lineal und einen Zirkel zur Hilfe nehmen. Wir messen aus, wie lang die Strecke zwischen 0 und 1 ist und stellen den Zirkel zunächst auf die Hälfte dieser Länge ein. Nun stechen wir den Zirkel in 0 ein und zeichnen einen Kreisbogen, der den Zahlenstrahl in einem Punkt schneidet. Um vier Teile zu bekommen, müssen wir diese beiden Abschnitte ebenfalls in zwei Teile teilen. Hier haben wir dann ein Viertel, hier zwei Viertel, hier drei Viertel und hier vier Viertel beziehungsweise 1 Ganzes. Zwei Viertel können wir kürzen und wissen so, dass hier ein Halb liegt. Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, werden also an derselben Stelle eingetragen. Versuchen wir doch nun einmal den ersten Sprung von Winny in den Zahlenstrahl einzutragen. Sie sagt, sie ist Sieben Halbe Meter weit gesprungen. Um unechte Brüche, wie diesen hier, in einen Zahlenstrahl einzutragen, ist es immer einfacher ihn in einen gemischten Bruch umzuwandeln. Sieben Halbe sind das gleiche wie drei einhalb. An der drei können wir nun direkt erkennen, dass dies zwischen 3 und 4 Metern liegt. Wir müssen den Zahlenstrahl also erweitern und da wir hier im Nenner ein zwei haben, müssen wir die Abschnitte nur in zwei gleich große Teile teilen. Genau in der Hälfte zwischen jeder ganzen Zahl liegt ein Halb. Hier haben wir also Ein ein halb, hier zwei ein Halb und so weiter. Drei ein Halb liegt also hier. Bevor wir den entscheidenden Sprung verpassen, fassen wir das noch einmal zusammen. Du kannst jeden Bruch auf einen Zahlenstrahl eintragen. Echte Brüche trägst du ein, indem du den Bereich zwischen 0 und 1 in so viele gleich große Abschnitte teilst, wie der Nenner es dir anzeigt. Ist der Zähler größer als der Nenner – also ein unechter Bruch – so erweitern wir den Zahlenstrahl. Am einfachsten ist es, wenn wir diesen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln. So können wir direkt erkennen zwischen welchen Zahlen der Bruch liegen muss. Und Winny ist bereit für den großen Sprung. Toller Sprung. Schauen wir uns doch nochmal die Wiederholung an. Naja, gewinnen ist ja auch nicht immer alles.

3 Kommentare
  1. Hallo Anna 1977, versuch mal dieses Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/dezimalbrueche-einfuehrung?launchpad=video
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 6 Monaten
  2. Gibt es auch Videos zum Thema „Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl“ ?
    Danke für eine kurze Rückmeldung

    Von Anna 1977, vor 6 Monaten
  3. Also wir haben mit diesem Thema eine Arbeit geschrieben, und die ist nicht so gut ausgegangen aber jetzt habe ich es verstanden.

    Von Kerstin K., vor 8 Monaten

Brüche auf dem Zahlenstrahl Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche auf dem Zahlenstrahl kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige die Brüche auf dem Zahlenstrahl.

    Tipps

    Der Abstand zwischen zwei Strichen ist auf diesem Zahlenstrahl immer $\frac{1}{2}$.

    Die Zahl $5\frac{1}{2}$ steht auf dem Zahlenstrahl rechts von $5$ und links von $6$.

    Die Zahl $\frac{1}{2}$ ist nach $0$ die kleinste auf diesem Zahlenstrahl verzeichnete Zahl.

    Lösung

    Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen der Größe nach angeordnet. Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist sie. Die natürlichen Zahlen sind in gleichmäßigen Abständen abgetragen, d.h. der Abstand von einer natürlichen Zahl zur nächsten ist überall derselbe.

    Jeden Bruch, der nicht als ganze Zahl dargestellt werden kann (der also kein Scheinbruch ist), kannst du auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen eintragen. Um die genaue Position zu finden, wandelst du am einfachsten zuerst den Bruch in einen gemischten Bruch um. Die ganze Zahl des Bruches markiert die natürliche Zahl, neben der du rechts den Bruch einträgst. Der Nenner des gekürzten Bruches verrät dir, in wie viele gleich große Abschnitte du die Strecke zwischen dieser natürlichen Zahl und der um $1$ größeren einteilen musst. Am Zähler liest du ab, an welchem Teilstrich dieser Einteilung du dann die Position des Bruchs findest.

    Willst du z.B. den Bruch $\frac{17}{5}$ eintragen, so rechnest du zuerst $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$. Die Strecke zwischen der $3$, d.h. der natürlichen Zahl aus dem gemischten Bruch, und der nächstgrößeren natürlichen Zahl $4$ teilst du dann in $5$ gleich große Stücke, da der Nenner des Bruches $5$ ist. Die Zahl $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$ liegt nun am zweiten Teilstrich rechts von $3$.

  • Beschreibe, wie man den Bruch $\frac 34$ auf dem Zahlenstrahl abträgt.

    Tipps

    Beginne die Konstruktion mit der Markierung der Punkte $0$ und $1$ auf dem Zahlenstrahl.

    Die Zahl $\frac{3}{4}$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $0$.

    Lösung

    Für die Eintragung eines echten Bruches mit dem Nenner $4$ musst du die Strecke zwischen $0$ und $1$ in vier gleich große Stücke einteilen. Dann kannst du jeden solchen Bruch einem der Teilstriche dieser Einteilung zuordnen: $\frac{1}{4}$ liegt bei dem ersten Teilstrich, der den ersten der vier Teile von dem zweiten trennt.

    Die Einteilung und Markierung kannst du mit Zirkel und Lineal in folgender Weise vornehmen:

    $1.$ Markiere zuerst $0$ und $1$ auf dem Zahlenstrahl und miss die Strecke dazwischen mit einem Lineal ab.

    $2.$ Stelle dann den Zirkel auf die Hälfte der Länge der Strecke zwischen $0$ und $1$ ein und zeichne einen Kreisbogen um $0$, der den Zahlenstrahl rechts von $0$ schneidet.

    $3.$ Um vier Teile zu bekommen, musst du die so entstandenen beiden Abschnitte genauso in zwei Teile teilen.

    $4.$ Insgesamt erhältst du zwischen $0$ und $1$ vier Teile, die jeweils ein Viertel groß sind.

    $5.$ Der Schnittpunkt nach dem dritten Viertel entspricht $\frac 34$.

  • Erschließe die Beschriftung der Unterteilung des Zahlenstrahls.

    Tipps

    Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen von links nach rechts aufsteigend der Größe nach angeordnet.

    Der Zähler gibt dir vor, wie viele Teile betrachtet werden. Da du hier den Bereich zwischen $0$ und $1$ betrachtest, darf der Zähler nie größer als der Nenner sein.

    Lösung

    Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen von links nach rechts aufsteigend der Größe nach sortiert. Das gilt für Brüche genauso wie für natürliche Zahlen. Der hier betrachtete Zahlenstrahl ist in $8$ gleich große Teile unterteilt. Demnach entspricht jedes Teil einem Achtel. Die Linie nach dem ersten Teil ist also genau:

    • $0+\dfrac 18=\dfrac 18$
    Dann zählen wir weiter:

    • $\dfrac 28=\dfrac 14$
    Die $1$ über dem Bruchstrich gibt uns den Nenner $4$ vor. Wenn wir hier weiterhin Achtel angeben wollen würden, müsste über dem Bruchstrich eine $2$ stehen. Wir beschriften die nächsten Unterteilungen wie foglt:

    • $\dfrac 38$
    • $\dfrac 48=\dfrac 24=\dfrac 12$
    • $\dfrac 58$
    • $\dfrac 68=\dfrac 34$
    • $\dfrac 78$
  • Ermittle die Positionen der Brüche auf dem Zahlenstrahl.

    Tipps

    Die Bereiche zwischen den ganzen Zahlen sind nicht immer in dieselben Bruchteile eingeteilt.

    Wandle die unechten Brüche in gemischte Brüche um und bestimme dann die Position auf dem Zahlenstrahl.

    Teile die Strecke zwischen $7$ und $8$ in fünf gleich große Stücke. Dann liegt der Bruch $\frac{38}{5} = 7\frac{3}{5}$ auf dem dritten Teilstrich rechts der $7$.

    Lösung

    Um die Positionen der Brüche auf dem Zahlenstrahl zu markieren, kannst du zuerst jeden Bruch als gemischten Bruch aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch darstellen. Der gemischte Bruch liegt auf dem Zahlenstrahl rechts dieser natürlichen Zahl, außer wenn der echte Bruch den Zähler $0$ hat. In diesem Fall ist der gemischte Bruch mit der natürlichen Zahl identisch. Nun trägst du den echten Bruch rechts der natürlichen Zahl ab. Der Nenner benennt die Art der Einteilung des Abschnittes zwischen der natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger, der Zähler zählt die Zahl der Einteilungsstriche, die du von der natürlichen Zahl nach rechts gehen musst.

    Im Bild sind die Abschnitte zwischen den natürlichen Zahlen nicht alle gleichmäßig eingeteilt. Die Strecken zwischen $0$ und $1$, zwischen $1$ und $2$ sowie zwischen $5$ und $6$ sind jeweils in Drittel eingeteilt, alle anderen Abschnitte in Viertel.

    Wir diskutieren exemplarisch die Eintragung dreier Brüche:

    • $5 \frac{2}{3}$ liegt auf dem zweiten Teilstrich rechts von $5$, da der Zähler des Bruches $2$ ist und der Abschnitt zwischen $5$ und $6$ in Drittel eingeteilt ist.
    • $4\frac{3}{4}$ liegt auf dem dritten Teilstrich rechts der $4$, da der Abschnitt zwischen $4$ und $5$ in Viertel eingeteilt und der Zähler $3$ die rechte Grenze des dritten Viertels benennt.
    • $\frac{18}{3} = 6$ ist ein Scheinbruch. Das bedeutet, dass der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist. Damit handelt es sich bei einem Scheinbruch eigentlich um eine ganze Zahl. Die Zahl liegt hier also auf dem natürlichen Zahlenstrahl.
  • Definiere die Begriffe.

    Tipps

    Der Zähler eines Bruches zählt die Anteile.

    Teilt man eine Strecke in fünf gleich große Teile, so nennt man die Art dieser Teile Fünftel und stellt sie durch den Bruch $\frac{1}{5}$ dar.

    Der Bruch $\frac{1}{4}$ ist größer als $0$ und kleiner als $\frac{1}{2}$, denn es gilt: $~\frac 12=\frac 24$

    Lösung

    Ein Bruch besteht aus drei Elementen: Zähler, Nenner und Bruchstrich. Du kannst einen Bruch als Darstellung eines Anteils verstehen. Der Zähler ist die Zahl über dem Bruchstrich. Sie zählt die Anteile. Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner, da sie die Art der Anteile (z.B. Drittel, Viertel, Siebtel usw.) benennt. Der Bruchstrich selbst steht für ein Geteiltzeichen: Ist der Zähler des Bruches $1$, so teilst du ein Ganzes in so viele Teile, wie der Nenner vorgibt. Ist der Nenner $3$, so teilst du ein Ganzes in drei Teile, die dann Drittel heißen. Du rechnest also $1:3$. Der Bruch $\frac{2}{3}$ entsteht entweder, indem du zwei der drei Teile, also zwei Drittel des Ganzen, zu einem Anteil zusammenfasst, oder indem du zwei Ganze in drei Teile teilst.

    Auf dem Zahlenstrahl liegen die Zahlen umso weiter rechts, je größer sie sind. Die Zahl $\frac{1}{2}$ liegt genau in der Mitte zwischen $0$ und $1$. Die Zahl $\frac{1}{4}$ liegt genau in der Mitte zwischen $0$ und $\frac{1}{2}$, und $\frac{3}{4}$ in der Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$.

    Mit diesen Überlegungen findest du folgende richtigen Sätze:

    • Der Zähler eines Bruches ... ist die Zahl über dem Bruchstrich.
    • Der Nenner eines Bruches ... benennt die Art der Anteile.
    • Der Bruchstrich ... entspricht einem Geteiltzeichen.
    • Der Bruch $\frac{3}{4}$ ... liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$.
    • Der Bruch $\frac{1}{4}$ ... liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen $0$ und $\frac{1}{2}$.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Der Bruch $3\frac{3}{5}$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $3\frac{3}{6}$ und links von $3\frac{3}{4}$.

    Es gilt die Gleichung $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Ist der Zähler eines Bruches mehr als doppelt so groß wie der Nenner, so liegt der Bruch auf dem Zahlenstrahl rechts von $2$.“ Du kannst nämlich die Darstellung als gemischten Bruch bestimmen, indem du den Zähler (evtl. mit Rest) durch den Nenner dividierst: Der Quotient ist die natürliche Zahl der Darstellung als gemischter Bruch, der Rest der Division ist der Zähler des echten Bruches. Ist der Zähler des unechten Bruches mehr als doppelt so groß wie der Nenner, so ist der Quotient der Division mindestens $2$. Der Bruch liegt also auf dem Zahlenstrahl rechts von $2$.
    • „Jeder Bruch mit einem Nenner $>10$ und einem Zähler $<5$ liegt auf dem Zahlenstrahl links von $\frac{1}{2}$.“ Da der Zähler kleiner ist als der Nenner handelt es sich um einen echten Bruch. Der Bruch liegt also auf dem Zahlenstrahl zwischen $0$ und $1$. Der Nenner ist mehr als doppelt so groß wie der Zähler, d.h. der Bruch ist kleiner als $\frac{1}{2}$ und liegt demnach auf dem Zahlenstrahl links von $\frac{1}{2}$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Bei zwei verschiedenen Brüchen liegt der mit dem größeren Zähler weiter rechts auf dem Zahlenstrahl.“ Die Aussage wäre nur richtig, wenn die Brüche denselben Nenner hätten. Ein Gegenbeispiel ist $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} > 3 >\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, obwohl $7 < 8$.
    • „Links der $4$ liegen auf dem Zahlenstrahl alle Brüche mit Zähler kleiner als $4$.“ Der Bruch $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} < 4$ liegt links der $4$, hat aber einen Zähler, der größer ist als $4$.
    • „Kein Bruch mit dem Nenner $3$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $3$ und links von $4$.“ Die Brüche $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ und $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$ liegen rechts von $3$ und links von $4$.