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Brüche vergleichen 04:27 min

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Transkript Brüche vergleichen

Kürbis Kalle und seine Nachbarin Salat Sarah streiten sich ständig darum, wer von ihnen schneller bei der Ernte ihrer Felder ist. Damit die beiden Nachbarn wirklich wissen, wer von ihnen den größeren Anteil der Ernte abgeschlossen hat, müssen sie Brüche miteinander vergleichen können. Beide haben gleich große Felder und diese sind jeweils in 12 Abschnitte eingeteilt. Kalle hat schon sieben Abschnitte, also sieben Zwölftel seines Feldes geerntet. Sarah schon sechs Abschnitte, also sechs Zwölftel. Da in beide Brüchen im Nenner zwölf steht, vergleichen wir hier also zwei Brüche mit dem gleichen Nenner. Die Zähler dieser Brüche sind allerdings unterschiedlich. Der Nenner gibt dabei eine Gesamtzahl der Teile an. Der Zähler gibt die Anzahl der geernteten Teile an. Da Kalle sieben Teile geerntet hat und Sarah nur sechs, hat Kalle schon mehr geerntet. Sieben Zwölftel sind also größer als sechs Zwölftel. Vergleichen wir zwei Brüche mit gleichem Nenner, so ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Wie sieht es denn bei Brüchen aus, die gleiche Zähler, aber unterschiedliche Nenner haben? Im Jahr zuvor hatte Kalle sein Feld in neun Teile und Sarah ihr Feld in zwölf Teile aufgeteilt. Als sie da miteinander verglichen hatten, waren bei beiden jeweils 5 Teile der Felder bearbeitet, also Fünf Neuntel und Fünf Zwölftel. Bei dem Feld, welches wir in weniger Teile aufteilen, ist jeder einzelne Anteil natürlich größer! So ist ein Teil in diesem Feld größer als ein Teil in diesem Feld. Daher sind Fünf Neuntel größer als Fünf Zwölftel. Also ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere. Aber wie können wir Brüche denn vergleichen, wenn weder Zähler noch Nenner gleich sind? Was wäre, wenn Kalle sein Feld in 7 Teile aufteilt und Sarah ihr Feld in 3 Teile aufteilt? Kalle hat 3 dieser Teile bearbeitet und Sarah 2. Wir vergleichen also die Brüche drei Siebtel und zwei Drittel. Dabei kann dir das Wissen über Brüche mit gleichen Zählern oder Nennern weiterhelfen. Erweitern wir die Brüche hier so, dass sie den gleichen Nenner erhalten so sehen wir, dass drei Siebtel kleiner als zwei Drittel sind, denn Neun Einundzwanzigstel sind kleiner als Vierzehn einundzwanzigstel. Da wir die Brüche auf den gleichen Nenner gebracht haben, erkennen wir dies an dem größeren Zähler. Stellen wir uns das wieder an den Feldern vor, so teilen wir sie also in 21 Teile ein und sehen ebenfalls, dass bei diesem Feld schon mehr geerntet wurde als bei diesem. Schaffen wir es jetzt wohl auch diese drei Brüche miteinander zu vergleichen? Klar! Schauen wir uns zunächst Sieben Drittel und 17 Vierundzwanzigstel an. Weder der Zähler, noch der Nenner sind hier gleich. Wir können sieben Drittel jedoch mit acht erweitern und erhalten so auch den Nenner 24. Also sind 7 Drittel größer als 17 Vierundzwanzigstel. da 56 größer als 17 ist. Machen wir weiter: 40 Achtundvierzigstel können wir durch zwei kürzen und erhalten ebenfalls eine 24 im Nenner. Wir sehen, dass 20 Vierundzwanzigstel also größer als 17 Vierundzwanzigstel aber kleiner als 56 Vierundzwanzigstel ist. Geschafft! Fassen wir zusammen. Vergleichen wir Brüche mit dem gleichen Nenner, so ist der Zähler entscheidend. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist der größere Bruch. Vergleichen wir Brüche mit gleichem Zähler, so ist der Nenner entscheidend. Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist hier nämlich der größere Bruch. Wollen wir Brüche vergleichen, bei denen Zähler und Nenner unterschiedlich sind, müssen wir zunächst kürzen oder erweitern, um sie auf den gleichen Nenner zu bringen. Dann helfen uns diese beiden Regeln bei der Entscheidung. Kalle kann sich nun also sicher sein, dass er viel mehr als Sarah geerntet hat. Doch, was ist das denn?! Wow! Sarahs Salat ist ja viel schöner als seiner!

8 Kommentare
  1. sorry war mein bruder war sehr gut

    Von Sabine Guenther74, vor 8 Tagen
  2. Hat mir sehr gut geholfen

    Von Janph Nikel, vor 6 Monaten
  3. super erklärt echt lobensdwert

    Von Anna Dresden, vor 8 Monaten
  4. Ist sehr gut erklärt worden. :-)

    Von Xa X, vor 8 Monaten
  5. Sehr gut erklärt und luistig gehalten

    Von Joerdispede, vor 9 Monaten
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Brüche vergleichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche vergleichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Vergleichen von Brüchen.

    Tipps

    Generell gibt der Nenner eines Bruchs die Anzahl an gleich großen Teilen eines Ganzen an.

    Bei Brüchen sind alle Teile gleich groß. Hat ein Bruch einen kleineren Nenner, wurde das Ganze in weniger Teile zerteilt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Betrachten wir den Anteil eines geernteten Feldes als Bruch, dann gibt der Zähler eine Gesamtzahl der Teile an, in die das Feld aufgeteilt wurde.“

    • In diesem Fall beschreibt der Nenner die Gesamtzahl der Teile, in die das Feld aufgeteilt wurde. Generell gibt der Nenner eines Bruchs die Anzahl an gleich großen Teilen eines Ganzen an.
    „Vergleichst du zwei Brüche mit gleichem Nenner, kannst du nicht bestimmen, welcher Bruch größer ist.“

    • In diesem Fall kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Betrachten wir den Anteil eines geernteten Feldes als Bruch, dann gibt der Zähler eine Anzahl der Teile an, die schon geerntet wurden.“

    • Generell gibt der Zähler eines Bruchs die Anzahl an ausgewählten Teilen eines Ganzen an.
    „Vergleichst du zwei Brüche mit gleichem Zähler, ist der Bruch mit kleinerem Nenner der größere.“

    • Bei Brüchen sind alle Teile gleich groß. Ist der Nenner kleiner, wurde das Ganze in weniger Teile zerteilt. Wenn ein Ganzes in weniger Teile zerlegt wird, müssen die einzelnen Teile größer sein.
    „Vergleichst du zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, musst du beide Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.“

    • Nur so kannst du die Brüche vergleichen.
  • Beschreibe das Vorgehen beim Vergleichen von Brüchen.

    Tipps

    Betrachtest du zwei Brüche mit gleichem Nenner, kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.

    Betrachtest du Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, solltest du beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen und anschließend die Zähler vergleichen. Den gleichen Nenner erhältst du, indem du die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweiterst.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zunächst teilen sie ihre Felder in $12$ gleich große Teile ein. Davon hat Kalle $7$ Teile bereits abgeerntet. Er hat also schon $\frac{7}{12}$ seines Feldes geerntet.

    Sarah hat $6$ Teile geerntet. Ihr geernteter Anteil beträgt somit: $\frac{6}{12}$.

    Bei diesem Vergleich hat Kalle bereits einen größeren Teil des Feldes geerntet.“

    • In diesem Fall kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.
    „Im Jahr zuvor teilte Kalle sein Feld in $9$ Teile ein, während Sarah dieselbe Einteilung wie in diesem Jahr, also $12$ Teile, wählte. Beide hatten beim Vergleich bereits $5$ Teile abgeerntet. Also hatte Kalle einen Anteil von $\frac{5}{9}$ und Sarah einen Anteil von $\frac{5}{12}$.

    Bei diesem Vergleich hatte Kalle bereits einen größeren Teil des Feldes geerntet.“

    • Vergleichst du zwei Brüche mit gleichem Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere.
    „Zu einem anderen Zeitpunkt betrug Kalles Anteil $\frac{3}{7}$, während Sarah $\frac{2}{3}$ geerntet hatte. Hier müssen die beiden ihre Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Kalle erhält:

    $\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3}= \dfrac{9}{21}$.

    Bei Sarah ergibt sich:

    $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}= \dfrac{14}{21}$.

    Hier hatte also Sarah bereits mehr gearbeitet.“

    • Betrachtest du Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, solltest du beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen und anschließend die Zähler vergleichen. Den gleichen Nenner erhältst du, indem du die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweiterst.
  • Vergleiche die jeweiligen Brüche.

    Tipps

    Du kannst die Brüche sortieren, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und anschließend die Zähler vergleichst.

    Den ersten Bruch kannst du mit $4$ erweitern:

    $\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\dots $.

    Lösung

    Du kannst die Brüche sortieren, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und anschließend die Zähler vergleichst. Hierzu erweiterst du die Brüche mit entsprechenden Faktoren, indem du Zähler und Nenner mit diesen multiplizierst. Dann erhältst du folgende Reihenfolge:

    • $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{4}{12}$
    • $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \dfrac{6}{12}$
    • $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$
    • $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{10}{12}$
    • $\dfrac{11}{12}$
  • Prüfe, welche Brüche größer sind.

    Tipps

    Sind die Zähler der Brüche gleich, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.

    Lösung

    Um herauszufinden, welche Brüche größer sind als $\frac{1}{2 }$, kannst du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen und die Zähler miteinander vergleichen. Sind die Zähler der Brüche gleich, kannst du auch anhand der Nenner entscheiden, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist dann größer. Demnach folgt:

    Diese Brüche sind kleiner als $\frac{1}{2}$:

    • $\dfrac{1}{3 }~\rightarrow~$ Hier kannst du die Nenner vergleichen. $3$ ist größer als $2$, also ist $\dfrac{1}{2 }$ größer.
    • $\dfrac{5}{12 }~\rightarrow~$ Erweiterst du $\dfrac{1}{2}$ mit $6$, erhältst du $\dfrac{6}{12}$, was größer ist als$\dfrac{5}{12 }$.
    • $\dfrac{3}{8}~\rightarrow~$ Erweiterst du $\dfrac{1}{2}$ mit $4$, erhältst du $\dfrac{4}{8}$. Das ist größer als $\dfrac{3}{8}$.
    Diese Brüche sind größer als $\frac{1}{2}$:

    • $\dfrac{2}{2}~\rightarrow~$ Hier kannst du direkt die Zähler vergleichen.
    • $\dfrac{3}{5}~\rightarrow~$ Erweitern wir $\dfrac{3}{5}$ mit $2$, erhalten wir $\dfrac{6}{10}$. Wird $\dfrac{1}{2}$ mit $5$ erweitert, ergibt das $\dfrac{5}{10}$.
  • Gib den Größenvergleich der Brüche an.

    Tipps

    Um die Brüche vergleichen zu können, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen. Dazu erweiterst du beispielsweise $\frac{7}{3}$ mit $8$.

    Nach dem Erweitern bzw. Kürzen kannst du die Größer-/Kleiner-Zeichen einsetzen, indem du die Zähler vergleichst.

    Lösung

    Du kannst die Rechnung folgendermaßen vervollständigen:

    Um die Brüche vergleichen zu können, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen. Dazu erweiterst du $\dfrac{7}{3}$ mit $8$. Das ergibt:

    $\dfrac{7}{ 3}= \dfrac{7 \cdot 8}{ 3 \cdot 8}=\dfrac{56}{24}$.

    Anschließend kürzt du $\dfrac{40}{48}$ mit $2$ und erhältst:

    $\dfrac{40}{ 48}= \dfrac{40:2}{ 24:2}=\dfrac{20}{24}$.

    Jetzt kannst du die Größer-/Kleiner-Zeichen einsetzen, indem du die Zähler vergleichst.

  • Ermittle, welche Brüche größer sind.

    Tipps

    Möchtest du zwei Brüche auf einen Nenner bringen, kannst du sie jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.

    Gemischte Brüche kannst du auf einen Nenner bringen, indem du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruchs erweiterst. Dann addierst du die beiden Zähler. Hier also:

    $1 \dfrac{1}{4}=1 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{5}{4}$.

    Lösung

    Um die Brüche zu vergleichen, musst du sie zuerst auf den gleichen Nenner bringen.

    Gemischte Brüche kannst du auf einen Nenner bringen, indem du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruchs erweiterst. Dann addierst du die beiden Zähler. Für die erste Zeile erhältst du:

    $1 \dfrac{1}{4}=1 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{5}{4}$.

    Jetzt können wir die beiden Brüche auf einen Nenner bringen, indem wir mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.

    $\dfrac{5}{4}=\dfrac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}=\dfrac{15}{12}$

    Für den linken Bruch erhalten wir:

    $\dfrac{4}{3}= \dfrac{4 \cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{16}{12}$.

    Also ergibt sich:

    • $\dfrac{4}{3}> 1 \dfrac{1}{4} $.
    Für die zweite Zeile erhalten wir links:

    $\dfrac{6}{8}=\dfrac{6\cdot 20}{8\cdot 20}=\dfrac{120}{160}$

    und rechts:

    $\dfrac{16}{20}=\dfrac{16\cdot 8}{20\cdot 8}=\dfrac{128}{160}$.

    Also erhalten wir:

    • $\dfrac{6}{8}<\dfrac{16}{20} $.
    Um den nächsten Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, musst du ihn auf den Nenner $10$ bringen. Dann betrachtest du den Zähler und verschiebst das Komma um die Anzahl der Stellen des Nenners nach links:

    $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 2}= \dfrac{4}{10}=0,4$.

    Also erhalten wir:

    • $0,4=\dfrac{2}{5} $.
    In der vierten Zeile lösen wir wieder einen gemischten Bruch:

    $1\dfrac{3}{2}= \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2}= \dfrac{5}{2}=2 \dfrac{1}{2}$.

    Damit erhalten wir:

    • $1\dfrac{3}{2} >2. $
    Für die letzte Zeile erhalten wir:

    $\dfrac{4}{5}= \dfrac{4\cdot 3}{5\cdot 3 }= \dfrac{12}{15}. $

    Also:

    • $\dfrac{4}{5}= \dfrac{12}{15}. $