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Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo)

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Die Autor*innen
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Team Digital
Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo)

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Bruchgleichungen mit Hilfe der Über-Kreuz-Multiplikation lösen zu können.

Zunächst lernst du, wie man die Defintionsmenge von Bruchgleichungen bestimmt. Anschließend üben wir anhand mehrerer Bruchgleichungen, diese nach x umzustellen. Abschließend lernst du, wie man die Lösungsmenge solcher Aufgaben überprüft.

Bruchgleichungen lösen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Bruchterm, Bruchgleichung, Definitionsmenge und Lösungsmenge.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits grundlegende Kenntnisse zu Bruchrechnungen haben und wissen, wie man Gleichungen umstellt.

Transkript Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo)

Sieh dir diese Bruchgleichungen an. Sie sind völlig verzweifelt. Sieht aus, als wären sie so gebrochen, dass sie gar nicht mehr mit einer Lösung rechnen. Aber da können wir Abhilfe schaffen und den Bruchgleichungen einen Hoffnungsschimmer geben. Zunächst schauen wir uns die Bruchterme nochmal genauer an. Wir sprechen von einem Bruchterm, wenn die Variable im Nenner auftritt. Im Zähler kann sie zusätzlich auftreten, ist aber kein Muss. Wenn wir Bruchterme kürzen wollen, müssen wir ganz genau hinschauen, denn hier dürfen wir nur Produkte kürzen. Bevor du also draufloskürzt, muss der Faktor, den du kürzen willst, für sich alleine stehen, zum Beispiel durch Ausklammern. „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.“ Wenn Bruchterme in Gleichungen auftauchen, sprechen wir von Bruchgleichungen. Zum Lösen von Bruchgleichungen kennen wir verschiedene Methoden, allerdings fokussieren wir uns in diesem Video auf das Über-Kreuz-Multiplizieren. So, dann schnappen wir uns mal die erste Bruchgleichung, bevor sie anfängt zu weinen, und versuchen eine passende Lösung für sie zu finden. Bevor wir uns die ganze Gleichung vorknöpfen, müssen wir uns zunächst den Bruchterm genauer anschauen und den Definitionsbereich bestimmen. Unter allen reellen Zahlen, müssen wir diejenigen ausschließen, mit denen sich im Nenner Null ergeben würde. Denn durch Null darf man nicht teilen. In unserem Fall ist das die drei. Denn wenn wir für x drei einsetzen, würden wir durch Null teilen - und das geht in der Mathematik wirklich gar nicht! Selbst wenn wir also gleich „x gleich drei“ als Ergebnis ausrechnen würden, wäre das keine gültige Lösung. Dann fangen wir mal an: Zuerst multiplizieren wir mit dem Nenner. Dann können wir „x minus drei“ im Bruch kürzen. Dadurch sind wir den Bruch losgeworden. Nun lösen wir noch die Klammer auf, und stellen nach x um. Unser Ergebnis ist fünf. Fünf wurde nicht im Definitionsbereich ausgeschlossen, ist also eine gültige Lösung. So einfach kann man Bruchgleichungen happy machen. Schnappen wir uns direkt die nächste! Hier haben wir auf beiden Seiten der Gleichung einen Bruchterm. Nicht verzagen! Wir werfen erstmal einen Blick auf die Nenner und den Definitionsbereich. Im linken Bruchterm dürfen wir für x nicht sechs einsetzen und auf der rechten Seiten entsprechend nicht „minus eins“. Alles klar, dann auf in die Lösungssuche! Wir multiplizieren zuerst auf beiden Seiten mit dem ersten Nenner. Dadurch können wir „sechs minus x“ links kürzen. Dann multiplizieren wir beide Seiten mit dem zweiten Nenner und können dadurch auch diesen auf der rechten Seite kürzen. Dadurch sind die Nenner jeweils als Faktoren auf die andere Seite der Gleichung gewandert. Wenn auf beiden Seiten der Gleichung ein Bruchterm steht, macht es sich also am besten, über Kreuz zu multiplizieren. Dann schreiben wir die erste Multiplikation auf die linke, und die zweite Multiplikation auf die rechte Seite. Damit sind wir beide Brüche auf einen Schlag losgeworden und können nun die Terme vereinfachen. Dann bringen wir die x alleine auf eine Seite und die x-losen Zahlen auf die andere Seite, fassen zusammen, und erhalten unser Ergebnis „x gleich vier“. Da wir nur die Minus-eins und die sechs ausschließen, können wir vier als Lösungsmenge notieren. Beim nächsten Beispiel bist du dran. Welche Zahlen müssen hier aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden? Die drei und die acht! Na dann holen wir diese verzagte Bruchgleichung mal aus ihrem Tal der Tränen. Bevor es richtig losgeht, schieben wir das Minus noch in den Zähler, und dann multiplizieren wir wieder über Kreuz. Jetzt können wir die Klammern auflösen, und die Gleichung ordnen. Wenn wir nun die Terme zusammenfassen, haben wir schon direkt das Ergebnis. Minus zwei ist auch tatsächlich Element des Definitionsbereiches, deshalb können wir die Lösungsmenge notieren. Bevor wir noch einmal bei unseren entmutigten Bruchgleichungen vorbeischauen, fassen wir kurz zusammen. Um Bruchgleichungen zu lösen, müssen wir zunächst den Definitionsbereich bestimmen und die Zahlen ausschließen, für die der Nenner null wird. Danach können wir die Bruchgleichung lösen, indem wir mit dem Nenner multiplizieren, oder „über Kreuz multiplizieren“. Nun noch den Term umformen, und dann können wir die Variable berechnen. Diese Lösung müssen wir noch mit dem vorher aufgestellten Definitionsbereich vergleichen. Wenn die Lösung nicht aus der Definitionsmenge ausgeschlossen wurde, können wir die Lösungsmenge angeben. Und wie geht es unseren Bruchgleichungen? Sie strahlen vor Glück :)

Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zu Bruchgleichungen.

    Tipps

    Gleichungen beinhalten auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen oder mehrere Terme.

    Die Bruchgleichung wird durch Multiplikation aufgelöst. Dabei spielt eine entscheidende Rolle, was unter den jeweiligen Bruchstrichen steht.

    Bei der kurzen Variante wird zur Berechnung einer Bruchgleichung diagonal gerechnet.

    Lösung

    Ein Bruch gibt einen Bruchteil an und besteht aus einem Zähler und Nenner, welche durch einen Bruchstrich voneinander getrennt werden. Der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs, der Nenner unterhalb. Bei einem Bruchterm tritt im Nenner des Bruchs eine Variable auf. Sind Bruchterme in Gleichungen zu finden, so spricht man dabei von Bruchgleichungen.

    Lösen von Bruchgleichungen

    Möglichkeit 1: Zum Lösen von Bruchgleichungen können wir die Gleichung mit den Nennern der Bruchterme multiplizieren, kürzen und ausrechnen:

    Beispiel

    $\begin{array}{rcll} \frac{4}{x-4} &= &2& | \cdot (x-4) \\ \\ \frac{4 \cdot (x-4)}{x-4} &=& 2 \cdot (x-4)& \\ \\ 4 &=& 2x - 8 & |+8 \\ \\ 12 &=& 2x & | :2\\ \\ x &=& 6& \\ \end{array}$


    Möglichkeit 2: Es gibt auch eine schnelle Variante. Dabei können wir die Bruchterme in der Gleichung überkreuz multiplizieren:

    Beispiel

    $\begin{array}{rclll} \frac{{\color{magenta}{10}}}{{\color{blue}{x}}} & =& \frac{{\color{blue}{8}}}{{\color{magenta}{x-2}}}&& \\ \\ {\color{magenta}{10 \cdot (x - 2)}}&=& {\color{blue}{8 \cdot x}}&& \\ \\ 10 \cdot x - 20 &=& 8 \cdot x &|-8x& |+20 \\ \\ 10 \cdot x - 8 x &= &20 &&\\ \\ x &= &10&& \\ \end{array}$

  • Ermittle die richtigen Defintionsbereiche.

    Tipps

    Die Definitionsmenge gibt an, für welche möglichen Zahlen die Aussage erfüllbar ist.

    Bei einem Bruchterm darf der Nenner niemals $0$ sein.

    Beispiel:

    $6 = \frac{2}{x-7}$

    Es gilt: $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 7 \rbrace$, da für $x=7$ der Nenner gleich 0 ergibt.

    Lösung

    In der Mathematik versteht man unter dem Definitionsbereich genau die Zahlenmengen, welche du für die Variablen deiner Bruchterme einsetzen darfst. In einer normalen Gleichung kannst du für die Variable die Lösungsmenge ganz einfach berechnen und bestimmen, soweit es eine Lösung gibt. Der Definitionsbereich ist da meist nicht notwendig.
    Ganz anders sieht es bei Bruchtermen und Bruchgleichungen aus. Hier musst du genau hinschauen und Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen, durch welche, in die Gleichung eingesetzt, der Nenner gleich $0$ ist. Denn durch $0$ darf man nicht teilen.

    Folgende Lösungen sind also korrekt:

    • $ \frac{2}{x-3} = 1$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 3 \rbrace$, da für $x=3$ der Nenner gleich 0 ergibt.

    • $\frac{1}{x-3} = -\frac{2}{8-x}$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 3;8 \rbrace$, da für $x=3$ und $x=8$ der Nenner gleich 0 ergibt.

    • $ \frac{4}{x-3} = \frac{8}{x}$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 3;0 \rbrace$, da für $x=3$ und $x=0$ der Nenner gleich 0 ergibt.

    • $\frac{2}{6-x} = \frac{5}{1+x}$ mit $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 6;-1 \rbrace$, da für $x=6$ und $x=-1$ der Nenner gleich 0 ergibt.

  • Löse Schritt für Schritt die Bruchgleichung auf.

    Tipps

    Um eine Bruchgleichung zu lösen, ist es oft sinnvoll, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren.

    Lösung

    Gegeben ist eine Bruchgleichung. Sind Bruchterme in einer Gleichung zu finden, so spricht man von einer Bruchgleichung. Bruchgleichungen können ganz einfach gelöst werden. Entweder man multipliziert die Gleichung mit den Nennern der Bruchterme und löst diese somit auf, oder man rechnet die Bruchterme überkreuz und multipliziert dabei den Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchterms und den Nenner mit dem Zähler des anderen Bruchterms.

    In diesem Fall berechnen wir die Bruchgleichung, in dem wir die Gleichung mit dem Nenner $(x-4)$ multiplizieren. Dabei wird auf beiden Seiten der Gleichung mit $(x-4)$ multipliziert. Anschließend können wir die Gleichung vereinfachen und das Ergebnis für $x$ berechnen:

    $\begin{array}{rcll} \frac{4}{x-4} &= &2& | \cdot {\color{red}{(x-4)}} \\ \\ \frac{4 \cdot {\color{red}{(x-4)}}}{x-4} &=& 2 \cdot {\color{red}{(x-4)}}& \\ \\ 4 &=& 2x - 8 & |+8 \\ \\ 12 &=& 2x & | :2\\ \\ x &=& 6& \\ \end{array}$

  • Berechne die Bruchgleichung durch Multiplikation überkreuz.

    Tipps

    Aus dem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ müssen jene Zahlen ausgeschlossen werden, welche die Nenner der Bruchterme gleich Null setzen.

    Um zur Lösungsmenge zu gelangen, werden die Brüche diagonal miteinander multipliziert.

    Lösung

    Die Bruchgleichung $\frac{10}{x} = \frac{8}{x-2}$ hat die Definitionsmenge $x \in \mathbb{R} \backslash \lbrace 0;2 \rbrace$. Das bedeutet, dass für $x$ alle reellen Zahlen $(\mathbb{R})$ möglich sind, jedoch die Zahlen $2$ und $0$ aus dieser Definitionsmenge ausgeschlossen sind, da sonst der Nenner des jeweiligen Bruchs $0$ ergibt.

    Um die Lösungsmenge herauszufinden, multiplizieren wir die beiden Bruchterme überkreuz. Der Zähler eines Bruchterms wird dabei mit dem jeweiligen Nenner des zweiten Bruchterms multipliziert. Anschließend kann die Gleichung nach $x$ aufgelöst und das Ergebnis ausgerechnet werden:

    $\begin{array}{rclll} \frac{{\color{magenta}{10}}}{{\color{blue}{x}}} & =& \frac{{\color{blue}{8}}}{{\color{magenta}{x-2}}}&& \\ \\ {\color{magenta}{10 \cdot (x - 2)}}&=& {\color{blue}{8 \cdot x}}&& \\ \\ 10 \cdot x - 20 &=& 8 \cdot x &|-8x& |+20 \\ \\ 10 \cdot x - 8 x &= &20 &&\\ \\ x &= &10&& \\ \end{array}$

  • Entscheide, welche Angaben Bruchterme und welche Bruchgleichungen sind.

    Tipps

    Wir sprechen von einem Bruchterm, wenn im Nenner eine Variable auftritt.

    Wenn Bruchterme in Gleichungen auftauchen, handelt es sich um Bruchgleichungen.

    Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, die aus zwei Termen besteht. Diese Terme sind durch ein Gleichheitszeichen verbunden.

    Lösung

    Brüche bestehen aus einem Zähler und einem Nenner, welche mit einem Bruchstrich voneinander getrennt sind. Ist im Nenner eine Variable zu finden, so spricht man von einem Bruchterm. Dabei ist es nicht notwendig, dass auch im Zähler eine Variable zu finden ist. Das kann aber auch zusätzlich vorkommen. Sind Bruchterme in einer Gleichung zu finden, so spricht man von einer Bruchgleichung.

    Folgende Aussagen sind also Bruchterme:

    • $\frac{3}{x-2}$

    • $\frac{14}{x}$

    • $\frac{2x-3}{x+4}$

    Folgende Aussagen sind demnach Bruchgleichungen:

    • $\frac{10}{x} = \frac{8}{x-2}$

    • $\frac{3}{4} = \frac{10}{x}$

    • $\frac{12}{x-5} = \frac{4}{x+3}$

  • Prüfe die Aussagen zu Bruchtermen und Bruchgleichungen.

    Tipps

    Beim Rechnen überkreuz werden die Brüche aufgelöst und in ein Produkt verwandelt.

    Die Definitionsmenge definiert die Grundmenge an Zahlen, für welche die Aussage erfüllbar ist. Bei Bruchgleichungen müssen hinsichtlich des Nenners bestimmte Zahlen von der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

    Die Lösungsmenge enthält alle Zahlen, welche du für $x$ einsetzen kannst, um die Gleichung zu lösen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Die Definitionsmenge gibt an, für welche möglichen Zahlen die Aussage erfüllbar ist. Das ist richtig, da die Definitionsmenge alle Zahlen beinhaltet, für welche die Funktion definiert werden kann. Bei Bruchtermen und Bruchgleichungen müssen alle Zahlen von der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, welche die Nenner der Brüche 0 setzen.
    • Um Bruchgleichungen zu lösen, kann man die Gleichungen mit dem Nenner der Bruchterme multiplizieren und ausrechnen.

    Falsch sind:

    • Um Bruchgleichungen zu berechnen, werden die Zähler und Nenner der Bruchterme überkreuz miteinander addiert. Das ist falsch, da man die Bruchterme überkreuz multipliziert.
    • Die Lösungsmenge kann auch als Definitionsmenge bezeichnet werden. Das ist falsch, da die Lösungsmenge jene Zahlen enthält, welche man für $x$ einsetzen kann, sodass die Gleichung gelöst ist. Die Definitionsmenge hingeben definiert die gesamte Grundmenge an Zahlen, welche für $x$ möglich sind.
    • Bruchterme müssen im Zähler und Nenner mindestens eine Variable aufweisen. Das ist falsch, da lediglich im Nenner eine Variable vorkommen muss.

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