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Gebrochen rationale Gleichungen lösen 05:27 min

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Transkript Gebrochen rationale Gleichungen lösen

Auf einer Reise durch die Karibik musste Großvater Lindbergh mit seiner Reisegruppe auf einer einsamen Insel notlanden. Die tatkräftigen Reisenden wissen, dass sie ein paar Dinge zum Überleben brauchen werden: einen Unterschlupf, Feuer und Nahrung. Und sie müssen wissen, wie man Bruchgleichungen aufstellt und löst, um die Aufgaben effizient zu verteilen. Zum Glück sind sie morgens abgestürzt. Es bleibt ihnen also etwas Zeit. Aber die Uhr tickt und sie wissen nicht, ob sie alle Aufgaben bis Sonnenuntergang erledigen können. Mike macht sich auf Nahrungssuche, General Gutmann sammelt Zweige für einen Unterstand, Jasmin und Großvater sammeln Holz. Nach einer Weile kommt Jasmin mit 10 Holzscheiten zurück, Großvater kehrt 10 Minuten später mit 15 Holzscheiten zurück. Sie wissen aber nicht genau, wie lange sie unterwegs waren. Die Zeit, die Jasmin gebraucht hat, um 10 Holzscheite zu sammeln, nennen wir x. Da Großvater 10 Minuten nach Jasmin zurückgekehrt ist, können wir sagen, er hat x + 10 Minuten gebraucht, um 15 Holzscheite zu sammeln. Da sie das Holz mit der gleichen Rate gesammelt haben, also pro Holzscheit die gleiche Zeit brauchten, können sie eine Bruchgleichung aufstellen, um auszurechnen, wie lange sie unterwegs waren. Um die Aufgabe zu lösen, können wir über Kreuz multiplizieren. Wir müssen einfach den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multiplizieren. Und umgekehrt. Also genau so. Dann multiplizieren wir noch die Klammer aus. So erhalten wir 10x + 100. Jetzt ziehen wir von beiden Seiten der Gleichung 10x ab und teilen dann beide Seiten durch 5, um die Lösung zu erhalten. Jasmin hat also 10 Holzscheite in 20 Minuten gesammelt, also im Durchschnitt ein Scheit alle 2 Minuten. Großvater Lindbergh hat mit der gleichen Rate gesammelt. Er hat 15 Holzscheite in 30 Minuten zusammenbekommen, also auch ein Scheit alle 2 Minuten. Um sicherzugehen, dass das Holz für die Nacht reicht, macht sich Jasmin auf zu einer zweiten Sammeltour. In der Zwischenzeit kommt General Gutmann vom Zweige-sammeln zurück, aus denen sie mit Großvater einen Unterschlupf flechtet, damit die Gruppe etwas Schutz vor der Macht der Elemente hat. Um den Unterschlupf vor Sonnenuntergang fertig zu bekommen, müssen die beiden 80 Zweige in 3 Stunden, also in 180 Minuten, zusammenflechten. Obwohl sie die Zweige mit derselben, unbekannten Rate von 1 durch x zusammenflechten, braucht Großvater nach jedem Zweig eine kleine Pause, wodurch sich seine Rate zu 1 durch x + 6 verändert. Wie lange haben sie für jeden Zweig Zeit? Um die Bruchgleichung zu lösen, müssen wir ein gemeinsames Vielfaches der Nenner finden, denn wir müssen die Brüche auf der rechten Seite addieren. Um das gemeinsame Vielfache zu finden, erweitern wir den ersten Bruch um den Nenner des zweiten Bruchs, also um x + 6. Und umgekehrt. Jetzt nutzen wir das Distributivgesetz, wodurch wir x + 6 durch x Quadrat + 6x plus x durch x Quadrat + 6x erhalten. Da die Nenner beider Brüche nun identisch sind, können wir die Zähler einfach addieren. Jetzt können wir über Kreuz multiplizieren, genauso wie im ersten Beispiel. Jetzt benutzt du wieder das Distributivgesetz. Alle Terme lassen sich nun durch 40 teilen, also machen wir das. Jetzt stellen wir die Gleichung in die allgemeine Form um und vereinfachen sie, indem wir gleichartige Terme zusammenfassen. Als Letztes faktorisieren wir die rechte Seite der Gleichung und bekommen (2x + 9) mal (x - 3). Um nach x aufzulösen nutzen wir den Satz vom Nullprodukt und setzten beide Faktoren gleich 0. Dann können wir nach x auflösen. Eine negative Zeit?! Denk dran, wenn du Textaufgaben löst, musst du deine Lösung nicht nur überprüfen, indem du die Werte einsetzt du musst auch überlegen, ob eine Lösung Sinn ergibt oder nicht. General Gutmann muss also mindestens 1 Zweig je 3 Minuten flechten, während Großvater Lindbergh 1 Zweig je 9 Minuten flechten muss, damit sie den Unterschlupf rechtzeitig fertig bekommen. Gemeinsam müssen sie in 9 Minuten 4 Zweige zusammenflechten. Alle sind erleichtert, dass sie ihre Aufgaben vor Sonnenuntergang erledigen konnten. Aber ihnen knurren ganz schön die Mägen. Apropos! Wo ist Mike!? Und noch wichtiger: Wo ist das Essen? Moment mal, wo hat Mike denn das Fastfood her? Vielleicht hätten sie sich die Insel erst mal etwas genauer anschauen sollen.

2 Kommentare
  1. alles ok?

    Von Tuan Long T., vor 29 Tagen
  2. boar, mann diese trottel
    umsonst gerechnet ne;
    weisste dassisch nischgern reschne? he? Yo

    Von Yiren Y., vor 11 Monaten

Gebrochen rationale Gleichungen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gebrochen rationale Gleichungen lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle die Bruchgleichung auf.

    Tipps

    Die Rate des Holzsammelns kannst du wie folgt als Bruch schreiben:

    $\frac{\text{Anzahl gesammelter Holzscheite}}{\text{benötigte Zeit}}$

    Marie pflückt $14$ Blumen in $7$ Minuten, Emma pflückt $12$ Blumen in $6$ Minuten. Die Rate, mit der sie die Blumen pflücken, ist gleich, denn:

    $\frac{14}{7} = \frac{12}{6}$

    Die Gleichung $\frac{14}{7} = \frac{12}{x}$ kannst du lösen, indem du beide Seiten mit beiden Nennern multiplizierst und dann kürzt.

    Lösung

    Die Rate, mit der Jasmin und Großvater Holzscheite sammeln, ist gleich. Jasmin sammelt $10$ Holzscheite in dem unbekannten Zeitraum von $x$ Minuten, ihre Rate beträgt also $\frac{10}{x}$. Großvater braucht $10$ Minuten länger, also $x+10$ Minuten, um $15$ Holzscheite zu sammeln. Seine Rate ist demnach $\frac{15}{x+10}$. Wir setzen die beiden Raten gleich und erhalten die Bruchgleichung:

    $\dfrac{10}{x} = \dfrac{15}{x+10}$

    Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten über Kreuz. Das bedeutet: wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten. Das ergibt die äquivalente Gleichung:

    $15x = 10x + 100$

    Um diese Gleichung nach $x$ umzustellen, ziehen wir auf beiden Seiten den Term $10x$ ab. So bekommen wir die Gleichung:

    $5x=100$

    Jetzt müssen wir nur noch $x$ isolieren, indem wir durch $5$ dividieren. So erhalten wir das Ergebnis:

    $x=20$

  • Ergänze die Termumformung.

    Tipps

    Den Term

    $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$

    kannst du zu einem Bruch zusammenfassen, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

    Ein gemeinsamer Nenner ist z.B. das Produkt der beiden einzelnen Nenner.

    Die Gleichung

    $\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$

    kannst du lösen, indem du zunächst über Kreuz multiplizierst.

    Lösung

    Um den Term $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} $ zu einem Bruch zusammenzufassen, gehst du folgendermaßen vor:

    • Erweitere den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten.
    • Multipliziere die Zähler und Nenner aus.
    • Fasse gleichnamige Brüche zusammen, indem du die Zähler addierst und den Nenner übernimmst.
    Mit diesen Umformungen erhältst du hier abgebildete Umformung.

  • Erschließe äquivalente Gleichungen und ihre Lösungen.

    Tipps

    Bringe zuerst die zu addierenden oder subtrahierenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, sodass du eine Gleichung erhältst, bei der auf jeder Seite nur ein Bruch steht.

    Die Gleichung

    $\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$

    kannst du lösen, indem du zunächst über Kreuz multiplizierst.

    Durch Multiplikation über Kreuz wird aus der Bruchgleichung

    $\frac{1}{x^2-1} = \frac{2}{x-1}$

    die äquivalente Gleichung:

    $2\cdot(x^2-1) = x-1$

    Ihre Normalform ist:

    $0 = x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{3}{2}$

    Lösung

    Wir lösen die drei angegebenen Bruchgleichungen:

    Erste Gleichung:

    Wir fassen die Brüche zusammen und erhalten:

    $\frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{2 \cdot (x-1) - 2x}{x\cdot (x-1)} = \frac{-2}{x^2-x} = -1$

    Wir multiplizieren über Kreuz, formen in die Normalform um und erhalten:

    $x^2-x-2=0$

    Die Lösungen der Gleichung sind $x=-1$ und $x=2$.

    Zweite Gleichung:

    Durch Zusammenfassen der Brüche erhalten wir:

    $\frac{-1}{x+1} + \frac{1}{x} = \frac{-x + x+1}{x \cdot (x+1)} = \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{2}$

    Das Multiplizieren über Kreuz und Umformen liefert die Normalform:

    $x^2 +x -2=0$

    Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=1$ und $x=-2$.

    Dritte Gleichung:

    Zusammenfassen der Brüche liefert:

    $\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x+4} = \frac{(x+4) + 2 \cdot (x+2)}{(x+2) \cdot (x+4)} = \frac{3x + 8}{x^2 + 6x + 8}= 1$

    Durch Multiplikation über Kreuz und Umformungen erhalten wir die Normalform:

    $x^2+3x=0$

    Die Lösungen dieser Gleichung sind $x=0$ und $x=-3$.

  • Bestimme die Lösungen.

    Tipps

    Überlege, welche Bruchgleichungen sich in lineare Gleichungen umformen lassen.

    Quadratische Gleichungen haben zwei, eine oder keine Lösungen.

    Lösung

    Gebrochenrationale Gleichungen der Form

    $\frac{1}{x} + \frac{a}{x+b} = c$

    mit $a$ und $c$ ungleich Null führen durch Zusammenfassen der Brüche und Multiplikation über Kreuz typischerweise auf quadratische Gleichungen. Dagegen ergibt die Multiplikation über Kreuz einer Gleichung der Form

    $\frac{1}{x} = \frac{a}{x+b}$

    typischerweise eine lineare Gleichung. Diese quadratischen bzw. linearen Gleichungen sind äquivalent zu der ursprünglichen Bruchgleichung und haben daher dieselben Lösungen.

    Mit diesen Überlegungen kannst du die angegebenen Bruchgleichungen lösen. Dabei erhältst du die folgenden Zuordnungen:

    Erste Gleichung

    Für die Gleichung $\frac{4}{x} = \frac{2}{x-1}$ multiplizieren wir über Kreuz und erhalten:

    $$ 4 \cdot (x-1) = 2 \cdot x \Leftrightarrow 4x -4 = 2x \Leftrightarrow 2x -4 =0 \\ \Leftrightarrow x=2 $$

    Die Gleichung hat also die Lösung $x=2$.

    Zweite Gleichung:

    Bei der Gleichung $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}=2$ fassen wir die Brüche zusammen und erhalten:

    $$ \frac{x-1}{(x+1) \cdot (x-1)} - \frac{x+1}{(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{-2}{x^2-1} = 2 $$

    Wir multiplizieren über Kreuz und erhalten die quadratische Gleichung $2x^2-2 =-2$ bzw. $2x^2 =0$. Diese Gleichung hat nur die Lösung $x=0$.

    Dritte Gleichung:

    Die Gleichung $\frac{1}{3x-1} = \frac{3}{5x-7}$ formen wir durch Multiplikation über Kreuz in die äquivalente Gleichung $9x-3 = 5x-7$ bzw. $4x = -4$ um. Die Gleichung hat die Lösung $x=-1$.

    Vierte Gleichung:

    Wir fassen die Brüche der Gleichung $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{4}{9}$ zusammen und multiplizieren die resultierende Gleichung über Kreuz:

    $$ \frac{2x-6}{x^2-6x} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow 4 \cdot (x^2 -6x) = 9 \cdot (2x-6) \Leftrightarrow x^2 - \frac{21}{2} \cdot x + \frac{27}{2} =0 $$

    Mit der $p$-$q$-Formel erhalten wir die Lösungen $x_1= \frac{3}{2}$ und $x_2=9$.

    Fünfte Gleichung:

    Bei der Gleichung $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{3}$ erhalten wie durch Zusammenfassen der Brüche und Multiplikation über Kreuz:

    $$ \frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 4 \cdot (x^2+2x) = 3 \cdot (2x+2) \Leftrightarrow x^2 + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{3}{2} $$

    Die Gleichung hat die Lösungen $x_1= -\frac{3}{2}$ und $x_2=1$.

  • Bestimme die Bruchgleichungen.

    Tipps

    Den Term $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}$ kannst du zu einem Bruch zusammenfassen. Dazu bringst du die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

    Ein gemeinsamer Nenner ist z.B. das Produkt der beiden einzelnen Nenner:

    $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}=\frac{1\cdot x}{(x+1)\cdot x} + \frac{2\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}$

    Achte beim Ausmultiplizieren auf das Distributivgesetz:

    $\frac{2 \cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)} = \frac{2x+2}{x^2+x}$

    Lösung

    Ein gemeinsamer Nenner für zwei Brüche ist z.B. das Produkt der beiden Nenner. Durch Erweiterung mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs kannst du verschiedene Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Achte beim Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf das Distributivgesetz.

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} + \frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x}$
    • $\frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x}{x^2 +6x}$
    • $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} = \frac{x+6}{x^2 +6x}$
    Diese Gleichungen dagegen sind falsch:

    • $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{2}{2x+6}$
    • $\frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x}{x^2 +6}$
    • $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} = \frac{x+6}{x^2 +6}$
    • $\frac{1 \cdot (x+6)}{x \cdot (x+6)} + \frac{1 \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{2x^2 6}{x^2 +6x}$
  • Analysiere die Bruchgleichungen.

    Tipps

    Die Wachstumsrate ist das Verhältnis:

    $\frac{\text{Wachstum}}{\text{Zeit}}$

    Beachte bei Zeitverschiebungen das Vorzeichen.

    Lösung

    Folgende Gleichungen sind richtig aufgestellt:

    • „Franz hat eine Blume gepflanzt. Gespannt beobachtet er das Wachstum der neuen Blätter. In $x$ Tagen wachsen $9$ neue Blätter, vier Tage später sind es bereits $15$. Die Wachstumsrate ist konstant. Du kannst $x$ bestimmen, indem du die Gleichung $\frac{9}{x} = \frac{15}{x+4}$ löst.“ Die Wachstumsrate ist das Verhältnis der neu gewachsenen Blätter zur verstrichenen Zeit. Die Gleichung der Brüche besagt, dass die Rate für beide Zeiträume gleich ist.
    • „Franz und Ferdinand bilden ein Team im Kopfrechnen. Franz schafft $12$ Aufgaben in $x$ Minuten. Ferdinand braucht drei Minuten länger für $9$ Aufgaben. Als Team addieren sie ihre Raten und kommen dabei auf durchschnittlich $18$ Aufgaben in $6$ Minuten. Wie lange Franz für $12$ Aufgaben braucht, findest du durch Lösen der Gleichung $\frac{12}{x} + \frac{9}{x+3} = 3$ heraus.“ Franz hat die Aufgabenrate $\frac{12}{x}$, Ferdinand kommt auf $\frac{9}{x+3}$. Die Summe $\frac{12}{x} + \frac{9}{x+3}$ der beiden Raten ist angegeben als $18$ Aufgaben in $6$ Minuten, also $\frac{18}{6}=3$.
    Diese Gleichungen dagegen sind falsch:

    • „Franz und Ferdinand probieren ihre neue Stoppuhr-App aus. Sie fahren mit dem Fahrrad beide dieselbe Geschwindigkeit. Franz fährt $300~\text m$ in $x$ Sekunden. Ferdinand fährt $7~\text s$ später los und schafft $260~\text m$. Wie lange Franz gefahren ist, findest du heraus, indem du die Gleichung $\frac{300}{x} = \frac{260}{x+7}$ löst.“ Franz' Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ beträgt $\frac{300}{x}$. Ferdinand hat $7~\text s$ weniger Zeit als Franz, da er später losfährt. Seine Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ ist daher $\frac{260}{x-7}$. Das Gleichsetzen der Geschwindigkeiten ergibt die Gleichung $\frac{300}{x} = \frac{260}{x-7}$.
    • „Ferdinand beobachtet die Raupen auf den Brennnesseln im Garten. Innerhalb von sieben Tagen sind $x$ Schmetterlinge geschlüpft. In den drei folgenden Tagen schlüpfen sechs weitere Schmetterlinge. Da die Schlupfdauer pro Schmetterling konstant ist, kannst du die Anzahl der Schmetterlinge bestimmen, indem du die Gleichung $\frac{7}{x} + \frac{10}{x+6} =2$ löst.“ In den ersten sieben Tagen schlüpfen $x$ Schmetterlinge, in den folgenden drei Tagen schlüpfen sechs Schmetterlinge. Zusammen macht das $x + 6$ Schmetterlinge in $10$ Tagen. Die Dauer pro Schmetterling beträgt $\frac{7}{x}$ für die ersten $7$ Tage. Für die nächsten $3$ Tage kommst du auf $\frac{3}{6}$ und für alle $10$ Tage zusammen auf $\frac{10}{x+6}$. Das Gleichsetzen der Dauer pro Schmetterling liefert die Gleichung $\frac{7}{x} = \frac{10}{x+3}$.