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Bruchgleichungen lösen – Überblick 06:45 min

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Transkript Bruchgleichungen lösen – Überblick

Nichts ist so spannend, wie völlig verschiedene Dinge zu mischen. Der Mixer versucht sich heute an Gleichungen und Brüchen. Was wird dabei wohl rauskommen?

Eine Bruchgleichung! Und wir schauen uns jetzt an, wie man Bruchgleichungen lösen kann. Wenn in einer Gleichung eine Variable im Nenner eines Bruches vorkommt, nennt man diese Gleichung Bruchgleichung. Beim Lösen einer Bruchgleichung spielen einige Mengen eine wichtige Rolle. Man nennt die Menge aller Zahlen, die uns überhaupt zur Verfügung stehen, die GRUNDMENGE. Meistens bekommst du die Grundmenge in der Aufgabe vorgegeben, wir verwenden hier die rationalen Zahlen Q. Nicht alle Zahlen aus der Grundmenge dürfen aber in die Gleichung eingesetzt werden. Weil die Variable im Nenner steht, musst du aufpassen, dass der Nenner nicht 0 wird – dann würdest du ja durch 0 teilen, und das geht bekanntlich nicht! Welche Werte lassen einen der Nenner gleich 0 werden? Das sind hier die 0 und hier die 2. Alle anderen Zahlen aus der Grundmenge darfst du problemlos in die Gleichung einsetzen. In unserem Beispiel müssen wir daher die Werte 0 und 2 ausschließen. Wir haben somit die Definitionsmenge D gleich Q OHNE 0 und 2. Die Definitionsmenge enthält also alle Zahlen, die du in die Gleichung einsetzen darfst. Jetzt können wir also endlich die Lösungsmenge bestimmen. Dafür stehen uns verschiedene Methoden zur Auswahl. Das erste Verfahren beruht darauf, die Brüche auf einen Hauptnenner zu bringen. Diese Methode funktioniert immer. Zuerst sorgen wir durch Äquivalenzumformungen dafür, dass auf einer Seite der Gleichung eine 0 steht. Dann bringen wir die Brüche auf ihren Hauptnenner, indem wir jeden Bruchterm mit dem Nenner des jeweils anderen erweitern. Nun können wir die Brüche zusammenfassen. Als nächstes multiplizieren wir die Klammern im Zähler aus stellen um und vereinfachen. Ein Bruch ist genau dann gleich 0, wenn sein Zähler 0 ist. Also müssen wir nur den Zähler betrachten und finden x gleich 10. Ist die 10 in unserer Definitionsmenge enthalten? JA, denn 10 ist weder 0 noch 2. Unsere Lösungsmenge - also die Menge aller Lösungen, die unsere Bruchgleichung erfüllen - besteht somit aus der 10. Die zweite Variante, wie du diese Bruchgleichung lösen kannst, ist das Multiplizieren über Kreuz. Bei dieser Methode wird der Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multipliziert und dann wird der Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs multipliziert. Anschließend stellen wir die Gleichung wieder mittels Äquivalenzumformungen um lösen nach x auf und wir erhalten x=10. Diese Methode bietet sich besonders dann an, wenn auf beiden Seiten der Bruchgleichung je EIN Bruchterm vorhanden ist. Weil wir nur einen anderen Weg zum Lösen gewählt haben, ist die Definitionsmenge dieselbe wie zuvor und deshalb erhalten wir auch dieselbe Lösungsmenge. Ein drittes Verfahren für das Lösen einer Bruchgleichung ist die Kehrwertbildung. Die funktioniert immer nur dann, wenn keine der Seiten gleich 0 ist und im Zähler keine Variablen stehen — dafür führt sie oft besonders schnell zur Lösung. Wenn zwei Brüche gleich sind, sind auch die Kehrwerte gleich. Schauen wir uns das an einem Zahlenbeispiel an: Die beiden Brüche ein halb und zwei viertel sind gleich. Bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung den jeweiligen Kehrwert, dann erhalten wir zwei Eintel gleich vier Halbe — das stimmt auch. Wir können also auch in unserer Bruchgleichung auf beiden Seiten je den Kehrwert bilden, ohne die Lösungsmenge unserer Gleichung zu verändern. Zunächst multiplizieren wir mit den übrigen Nennern über Kreuz. Anschließend vereinfachen wir die erhaltene Gleichung und stellen sie mit den jeweiligen Umkehroperationen nach x um. Wir finden wieder x gleich 10. Und auch mit diesem Verfahren und der gleichen Definitionsmenge gelangen wir zur selben Lösungsmenge wie vorhin. Wie du gesehen hast, liefern alle drei Methoden dieselbe Lösung. Schauen wir uns doch noch einmal an, wie wir beim Lösen unserer Bruchgleichung vorgegangen sind. Im ersten Schritt haben wir unsere Definitionsmenge bestimmt. Anschließend haben wir mittels dreier unterschiedlicher Methoden die Lösung der Gleichung ermittelt. Die erste Methode basiert auf dem Hauptnenner. Dabei bringst du alle Bruchterme auf ihren Hauptnenner. Das ist die einzige Methode, die immer funktioniert. Die zweite Methode ist das Multiplizieren über Kreuz. Hierfür darf auf beiden Seiten der Gleichung nur je ein Bruchterm stehen. Genauso ist es auch bei der dritten Methode, nämlich der Kehrwertbildung. Bei dieser Methode musst du auch darauf achten, dass keine der Seiten der Gleichung 0 ist. Wenn der ermittelte Wert für x in der Definitionsmenge enthalten ist, ist er unsere Lösung. Aber warum haben wir das jedes mal überprüft? Es hat doch immer super funktioniert? Schauen wir uns hierfür diese Bruchgleichung an. Um eine Division durch Null zu vermeiden, darf x den Wert 2 nie annehmen. Somit ist unsere Definitionsmenge gleich "Q ohne 2". Was ist aber die Lösung der Gleichung? Die Bruchterme auf den beiden Seiten der Gleichung haben identische Nenner, also müssen auch die Zähler gleich sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Die Zähler sind gleich, wenn x gleich 2 ist. Doch die 2 liegt nicht in unserer Definitionsmenge! Somit ist die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung leer. Ob wir dem Mixer und seinen Mischversuchen damit helfen konnten? Oh oh — das mit der Definitionsmenge hat er wohl noch nicht so richtig verstanden! Und DAS kommt eben dabei raus, wenn man durch 0 teilt.

3 Kommentare
  1. Dragonjpeg

    Sehr professionelles und gutes Video!
    Föpp.io

    Von Soorya G., vor 10 Tagen
  2. Jeanne

    Hallo Okli. e.,
    dieses Video wurde in unserer eigenen Videoproduktion entworfen und von einer/einem unserer internen VideoMotionArtists animiert.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne Ohle, vor 17 Tagen
  3. Basst%c3%b6lpel

    Wie wurde das Mixer-intro gemacht ?

    Von Okli. e., vor 18 Tagen

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