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Wiederholungsaufgaben Klasse 10 – Geradenschnittpunkte 11:00 min

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Transkript Wiederholungsaufgaben Klasse 10 – Geradenschnittpunkte

Hallo. Hier ist eine kleine Aufgabe mit einem lustigen Koordinatensystem. In diesem Koordinatensystem befinden sich zwei Striche. Und da darfst Du dich dran erinnern, dass es sich dabei, bei diesen „Geraden“ genauer gesagt, um Graphen linearer Funktionen handelt. Lineare Funktionen haben Funktionsgleichungen einer bestimmten Form, komme ich gleich zu. Aufgabe besteht hier darin, die Funktionsgleichungen dieser beiden Geraden zu bestimmen, aus den Dingen, aus den Punkten, die man hier ablesen kann. Und diese beiden Funktionsgleichungen bilden dann ein „Gleichungssystem“, dieses Gleichungssystem ist zu lösen und dann mit dem graphisch ermittelten Schnittpunkt dieser beiden Geraden zu vergleichen. So, da fangen wir mal ganz sachte an. Wir haben Geraden. Geraden haben Funktionsgleichungen. Nicht alle Geraden haben Funktionsgleichungen, aber die um die es hier geht. Die Geraden, die parallel zur y-Achse sind, die nicht, die haben andere Gleichungen, sage ich jetzt nichts zu. Die Geraden hier haben Funktionsgleichungen y = mx, ja meistens schreibt man plus b, manchmal plus n oder was anderes, ist auch egal. Das ist der Typ von Funktionsgleichung, den wir hier erhalten müssen. Ich fange mit dieser Geraden an, die ich jetzt der Einfachheit halber mal „g“ nenne, das ist ein g. Und das ist ein f. Die Gerade f und die Gerade g haben wir. Ich fange mit der Geraden g an. Da lautet die Funktionsgleichung, nun ich kann hier den y-Achsen-Abschnitt ablesen. Du weißt ja, das b ist der y-Achsen-Abschnitt, deshalb kann ich den hier direkt ablesen, das ist der, da wo die Gerade durch die y-Achse geht, das ist hier -1. m ist die Steigung, auch die kann ich hier direkt sehen. Ich habe hier schon mit der x- und y-Achse ein Steigungsdreieck, man rechnet y-Differenz durch x-Differenz. Und hier muss ich also, weil ich von hier nach oben gehe und dann rechts zur Seite, 1, also +1/+1 rechnen. Und das ist 1, daher ist die Steigung dieser Geraden 1. Ja, wenn Du wissen willst bei einem Steigungsdreieck, was ist Plus und Minus? Wenn Du entlang der x-Achse nach rechts gehst ist das Plus, wenn Du entlang der x-Achse nach links gehst ist das Minus. Wenn Du entlang der y-Achse nach oben gehst ist das Plus, wenn Du nach unten gehst ist das Minus. Ich könnte hier auch von da nach da so durch gehen. Ich gehe von der Nullstelle der Funktion, hier geht ja die Gerade durch die x-Achse, das ist also die Nullstelle, kann ich also zurückgehen. Eine Einheit nach links, das ist Minus, eine Einheit nach unten, das ist auch Minus. Und dann rechne ich Minus durch Minus und auch das ist dann +1. Diese Steigung ist +1. Du siehst es auch irgendwie. Auch das ist wichtig, dass Du das mit dem optischen Eindruck vergleichst, was Du da ausrechnest. +1 ist die Steigung, bitte. Die Funktionsgleichung lautet y = x - 1. Kommen wir zu dieser Geraden hier, f. Da sieht die Sache so aus, ich habe hier schon kleine Pünktchen eingezeichnet. Ja, man kann ja die Schnittpunkte, man kann ja gewisse Punkte hier ablesen. Ich habe jetzt kein kariertes Papier vorbereitet. Normalerweise hast Du, wenn solche Aufgaben gestellt werden, kariertes Papier als Grundlage und Du darfst dann auf den Ecken der Kästchen irgendwelche Schnittpunkte erkennen und die darfst Du auch so ablesen. Hier kann man also einmal den Schnittpunkt -5 und 2 ablesen und den Schnittpunkt, was heißt Schnittpunkt, den Punkt der Geraden (-5,2). Und den Punkt der Geraden (-3,-4). Dieser Punkt hier ist tatsächlich der Schnittpunkt, auch den darf man ablesen. Der Schnittpunkt beider Geraden ist bei (-3,-4). -3 ist die x-Koordinate, -4 ist die y-Koordinate. Wie komme ich jetzt hier zu einer vernünftigen Funktionsgleichung? Die Funktionsgleichung wird anfangen mit y =. Und die Steigung m kann ich hier ablesen und zwar mit einem ziemlich großen Steigungsdreieck, das mal ich mal hier ein oder zeichne das ein, ja, hätte ich etwas weiter nach da gehen müssen. So, bis da oben geht das, das ist hier mein Steigungsdreieck. Und ich kann nun folgendermaßen hier durchlaufen: Ich gehe von 2 bis nach -4, das sind also 6 nach unten. Wir haben dann eine, also wir müssen ja rechnen y-Differenz durch x-Differenz, diese Seite geteilt durch diese Seite. Diese Seite, weil ich nach unten gegangen bin, ist -6. Dann gehe ich 2 nach rechts, das zählt positiv. Also -6/2 ist dann schon mal die Steigung. Mal x, das steht ja immer bei der Funktionsgleichung da. Und jetzt geht es noch darum, ja, was ist b? +b muss hier hin. Und das kann ich hier nicht ablesen, ja, ich kann das drehen und wenden wie ich will, das steht hier nicht. Wie komme ich jetzt auf mein b? Nun, ich kann einfach eine Zahl für y und eine Zahl für x einsetzen, natürlich nicht irgendeine Zahl, sondern zum Beispiel zwei Koordinaten, die ich hier ablesen kann. Dann komme ich also zu der Gleichung y ist hier -4 = -6/2 ist natürlich -3, das rechne ich jetzt eben nebenbei aus, das macht mir gar nichts. Hier ist der x-Wert, die x-Koordinate ist -3, +b. Und daraus folgt jetzt natürlich messerscharf, das muss ich nicht großartig umformen hoffe ich. Daraus folgt schlicht und ergreifend, dass ja hier (-3)×(-3) = +9. Ich rechne -9 auf beiden Seiten und komme auf -13. b = -13. Und dann lautet also die Funktionsgleichung für f, jetzt komme ich da kaum noch dran. f, die Gerade f hat die Funktionsgleichung y = -3×x -13. Da ist die eine und da ist die andere. Diese beiden Funktionsgleichungen ergeben ein Gleichungssystem, das sich lösen lässt. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist graphisch hoffentlich identisch dann hier mit diesem Schnittpunkt, ja, da, wo sich beide Geraden schneiden. Die x- und y-Koordinate sind dann jeweils die Lösungen dieses Gleichungssystems, was sich hieraus ergibt. So und da darf ich mich kurz fassen, mit diesem Gleichungssystem, denn beide Gleichungen sind nach y aufgelöst, ich werde also das Gleichsetzungsverfahren benutzen, das heißt, beide linken Seiten dieser beiden Gleichungen untereinander gleichsetzen und komme dann zu x -1, das ist die eine linke Seite. Ist gleich -3x -13 und die Gleichung ist so einfach, dass ich hier auch schnell vorgehen kann. Ich brauche nicht alle Äquivalenzumformungen machen. Ich rechne auf beiden Seiten +3x, dann stehen hier 4x und ich rechne auf beiden Seiten +1, dann steht hier -12. Und dann kann ich noch durch 4 teilen und damit ist x = -3. Das sieht schon mal gut aus, x = -3, das steht hier quasi. x = -3, da ist der Schnittpunkt. Und jetzt müssen wir noch auf y = -4 kommen, wenn wir da richtig gerechnet haben. Ich darf einfach hier das x = -3 in diese Funktionsgleichung einsetzen und erhalte dann -3 - 1 = -4. Und auch in die andere Funktionsgleichung werde ich das einsetzen. -3 steht da und x ist auch -3. Ja, so, (-3)×(-3) steht da -13 und auch das ist -4, denn hier steht +9, ja, (-3)×(-3) = 9. Dann 9 - 13 = -4. Schreibe ich jetzt nicht mehr hin, das weißt Du so. Das heißt, wir haben richtig gerechnet. Das was wir gerechnet haben stimmt mit dem graphischen Schnittpunkt überein. Ja und das war es zu dieser Aufgabe. Ich weiß nicht, ob die Form jetzt so die ist, die Du auch verwenden sollst, aber Du kannst deinen Lehrer, deine Lehrerin vorher nochmal fragen, wie das aussehen soll alles. Grundsätzlich kommt dann aber immer das Gleiche raus. Viel Spaß damit. Tschüss.