30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Flächeninhalt und Winkel von Parallelogrammen 08:16 min

Textversion des Videos

Transkript Flächeninhalt und Winkel von Parallelogrammen

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video Geometrie, Teil 25. Auch in diesem Video haben wir das Thema "Das Parallelogramm". Das Unterthema dieses Videos lautet: Teil C, Flächeninhalt und Winkel. Achtung, dieses Video ist nicht für die Grundschule geeignet! Ich habe es vorgesehen für Schülerinnen und Schüler ab der 10. Klasse. In diesem Video möchte ich zeigen, wie man den Flächeninhalt eines Parallelogramms aus 2 Seiten und 1 Winkel berechnen kann. Zur besseren Veranschaulichung hefte ich hier das Modell eines Parallelogramms auf die Tafel. Die Eckpunkte des Parallelogramms werden mit den Großbuchstaben A, B, C und D bezeichnet. Die Seiten mit den Kleinbuchstaben a, b, c und d und die Winkel mit den griechischen Buchstaben α, β, γ und δ. Ihr wisst ja bereits aus einem der vorigen Videos, dass man den Flächeninhalt eines Parallelogramms nach der Formel A=a×h berechnen kann. a ist die Seite AB, die ich in dem Parallelogramm schon eingetragen habe. h ist die Höhe, das heißt ich fälle das Lot von C auf die Verlängerung der Seite AB. Die Formel oben kennt ihr aus dem Video "Geometrie, Teil 23". Stellen wir uns nun vor, wir haben folgendes Problem: Die Höhe h sei unbekannt. Dafür sei aber der Winkel α bekannt und außerdem kennen wir die beiden Seiten b und a. Lösung: Zunächst notieren wir die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms: A=a×h. a ist uns bekannt, uns muss es nur noch gelingen, dass wir h durch α und b ausdrücken. Das gelingt uns durch das rechtwinklige Dreieck, das wir an das Parallelogramm rechts angebaut haben. Wir können nämlich den Sinus α schreiben als Gegenkathete zu Hypotenuse. Die Gegenkathete ist Gerade h und die Hypotenuse die Parallelogrammseite b. Also, Sinus α=h/b. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit b und erhalten in der letzten Zeile b×sinα=h. Die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms bezeichnen wir als (1) und die Gleichung b×sinα=h als Gleichung (2). Wir setzen nun den Wert für h aus Gleichung (2) in die Gleichung (1) ein und erhalten A=a×b×sinα. Damit haben wir für den Flächeninhalt des Parallelogramms eine Formel, die keine Höhe h mehr enthält. Ich notiere sie mit roter Schrift über das Parallelogramm: A=a×b×sinα. Nun wollen wir die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms für einige spezielle Werte für α konkretisieren. Nehmen wir zunächst α=30°. Das ergibt sin30°=½. Also, der Flächeninhalt A=½×a×b. α=45°. Dann ergibt das sin45°=½\sqrt2. Also erhalten wir für den Flächeninhalt A=½×\sqrt2×a×b. α=60°. Der Sinus von 60°=½×\sqrt3. Und der Flächeninhalt des Parallelogramms wird dann: A=½×\sqrt3×a×b. Und schließlich α=90°. Der Sinus von 90°=1. Der Flächeninhalt des Parallelogramms errechnet sich somit: A=a×b. Um welches spezielle Parallelogramm handelt es sich hier: α=90°? Richtig, es handelt sich hierbei um ein Rechteck und wir haben für den Flächeninhalt auch die Formel des Rechtecks hier erhalten. Nehmen wir nun an, dass β gegeben ist. Wir wissen bereits, dass α+β=180° sind. Diesen Zusammenhang kennen wir aus dem Video "Geometrie, Teil 24". Wir formen um und erhalten: α=180°-β. Sinus α ist dann Sinus von 180°-β. Für die rechte Seite der Gleichung ergibt sich Sinus β. Das könnt ihr, wenn ihr es vergessen habt, in der Formelsammlung nachschauen. Also ergibt sich: sinα=sinβ. Damit können wir die Fläche des Parallelogramms auf andere Weise berechnen, nämlich A=a×b×sinβ. Ich notiere diese Formel unterhalb des Parallelogramms mit roter Farbe. Es gibt noch andere Möglichkeiten, die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms zu formulieren, zum Beispiel A=c×d×sinγ. Versucht, noch andere Möglichkeiten der Darstellung einer Formel zu finden. Bevor wir das Video abschließen, wollen wir noch einen schönen Merksatz formulieren: Man berechnet den Flächeninhalt eines Parallelogramms als Produkt aus 2 verschiedenen Seiten und dem Sinus eines beliebigen Innenwinkels. Das war's schon wieder für heute! Mir hat es viel Spaß bereitet - ich hoffe, euch auch. Und die Grundschülerinnen und Grundschüler, natürlich könnt auch ihr euch dieses Video anschauen, ich möchte nur nicht, dass ihr enttäuscht seid, weil ihr etwas nicht verstanden habt. Ich wünsche allen Schülerinnen und Schülern Freude an den weiteren Videos. Alles Gute und viel Erfolg - tschüss!

6 Kommentare
  1. Default

    Anna Jordan wir auch

    Von Johnnygigi, vor fast 2 Jahren
  2. 001

    Das ist schön. Es gibt aber riesige Unterschiede zwischen den Bundesländern und den verschiedenen Schulen.

    Von André Otto, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    wir machen das schon in der 6.Klasse (:

    Von Anna Jordan, vor etwa 3 Jahren
  4. 001

    Lieber Roman,

    gutes Verstehen mach es uns möglich, Dinge zu merken.

    Es ist besser, Beweise selber auszuführen und die Formeln herzuleiten. Das einfache Abschreiben und Benutzen von Formeln ist totes Kapital.

    Meine ersten Beweise habe ich in der 7. Klasse ausgeführt. Das fiel mir nicht leicht.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    ich bin 7 Klässler und habe es verstanden. Von 100% hätten das nur 5-15% 7klässler verstanden

    Von Roman Ionkin, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    gut

    Von T Mikeljevic, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Flächeninhalt und Winkel von Parallelogrammen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt und Winkel von Parallelogrammen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Herleitung der Flächenformel für ein Parallelogramm wieder.

    Tipps

    Verwende $\alpha+\beta=180^\circ$. Das bedeutet, dass $\alpha$ und $\beta$ sich zu einem gestreckten Winkel ergänzen.

    Das kannst du hier an Beispielwinkeln erkennen.

    Verwende die Definition des Sinus:

    $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Die Hypotenuse in dem abgebildeten blauen rechtwinkligen Dreieck ist $b$ und eine der Katheten $h$.

    Beachte, dass $a$ und $\alpha$ recht ähnlich aussehen. Schau ganz genau hin.

    Lösung

    Du kannst an einer Seite des Parallelogramms ein rechtwinkliges Dreieck anfügen:

    • Die Hypotenuse dieses Dreiecks ist $b$.
    • Der Winkel bei $B$ ist $180^\circ-\beta=\alpha$.
    • Die Höhe $h$ ist die Gegenkathete von $\alpha$.
    Du weißt bereits, dass $A=a\cdot h$ ist. Dabei ist $h$ die Höhe, also der Abstand der parallelen Seiten $a$ und $c$ zueinander.

    Wenn du nun die Flächenformel ohne die Höhe angeben willst, verwendest du die Definition des Sinus:

    $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    • Es ist also $\sin(\alpha)=\frac hb$.
    • Multipliziere nun mit $b$. So erhältst du $b\cdot \sin(\alpha)=h$.
    • Setze dies in die Flächenformel $A=a\cdot h$ für ein Parallelogramm ein. So erhältst du $A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.
    Übrigens: Es gilt $\alpha+\beta=180^\circ$ und damit $\alpha=180^\circ-\beta$. So erhältst du $\sin(\alpha)=\sin(180^\circ-\beta)=\sin(\beta)$. Nun kannst du die Formel auch mit $\beta$ aufschreiben: $A=a\cdot b\cdot \sin(\beta)$.

  • Benenne die Besonderheiten für $\alpha=90^\circ$.

    Tipps

    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A=a\cdot b$.

    Hier siehst du das Haus der Vierecke. Es sortiert die Vierecke nach ihren Eigenschaften. Das Quadrat hat die meisten besonderen Eigenschaften. Jedes Viereck in diesem Haus besitzt alle Eigenschaften der Vierecke unter ihm. Schau es dir doch einmal etwas genauer an:

    • Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.
    • Das Drachenviereck erkennst du in der mittleren Etage ganz links.
    Lösung

    Wenn $\alpha=90^\circ$ ist, stehen die Seiten $a$ und $b$ senkrecht aufeinander. Weißt du schon, welches spezielle Viereck du dann erhältst?

    Du erhältst dann ein Rechteck. Für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ erhältst du den Flächeninhalt mit der Formel $a\cdot b$.

    Das ist genau die Formel, welche du oben sehen kannst.

  • Gib die Formeln für spezielle Winkel an.

    Tipps

    Hier siehst du einen Ausschnitt einer Tabelle mit speziellen Funktionswerten der trigonometrischen Funktionen.

    Achte darauf, den Sinus zu verwenden.

    Setze die speziellen Funktionswerte in die obige Formel ein.

    Es ist übrigens $\sin(90^\circ)=1$.

    Lösung

    Diesem Tabellenausschnitt kannst du spezielle Sinuswerte entnehmen. Diese kannst du dann in die Formel $A=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)$ für die Fläche eines Parallelogramms einsetzen.

    • Für $\alpha=30^\circ$ ist $\sin(\alpha)=\frac12$ und damit $A=\frac12\cdot a\cdot b$.
    • Mit $\alpha=45^\circ$ und $\sin(\alpha)=\frac12\cdot\sqrt2 $ erhältst du $A=\frac12\cdot \sqrt 2\cdot a\cdot b$.
    • Der Sinuswert von $\alpha=60^\circ$ ist $\sin(\alpha)=\frac12\cdot\sqrt3 $. So kommst du zu $A=\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a\cdot b$.
    • Schließlich ist für $\alpha=90^\circ$ der Sinuswert $\sin(\alpha)=1$. Das führt zu $A=a\cdot b$. Bei diesem Parallelogramm handelt es sich um ein Rechteck.
  • Ermittle alle fehlenden Größen eines Parallelogramms.

    Tipps

    Beachte die folgenden Identitäten:

    • $a=c$
    • $b=d$
    • $\alpha=\gamma$
    • $\beta=\delta$

    Winkel, die in einem Parallelogramm benachbart sind, ergänzen sich zu $180^\circ$.

    Es ist $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.

    Lösung

    Für den speziellen Winkel $\alpha=60^\circ$ erhältst du mit $\sin(\alpha)=\frac12\cdot \sqrt 3$ die Formel:

    $A=\frac12\cdot\sqrt 3\cdot a\cdot b$.

    Da $b=d$ ist gilt somit $A=\frac12\cdot\sqrt 3\cdot a\cdot d$.

    Setze nun den bekannten Flächeninhalt sowie die bekannte Seite $d$ in diese Formel ein und forme nach $a$ um:

    $\begin{array}{rclll} 63~\text{cm}^2&=&\frac12\cdot\sqrt 3\cdot a\cdot 7\cdot\sqrt 3~\text{cm}\\ &=&\frac{21}2\cdot a~\text{cm}&|&\cdot \frac2{12}~\text{cm}\\ 6~\text{cm}&=&a \end{array}$

    So! Fast fertig. Verwende noch die Eigenschaften des Parallelogramms:

    • $a=c=6~\text{cm}$
    • $b=d=7\cdot\sqrt 3~\text{cm}$
    • $\alpha=\gamma=60^\circ$
    • $\beta=\delta=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
  • Berechne für $\alpha=30^\circ$ die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

    Tipps

    Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$.

    Du kannst damit die Formel vereinfachen zu $A=\frac12\cdot a\cdot b$.

    Setze die bekannten Größen in diese Formel ein.

    Alle Werte, die du eintragen sollst, sind ganzzahlig.

    Lösung

    Für $\alpha=30^\circ$ ist $\sin(\alpha)=\frac12$. Damit kannst du die Flächenformel wie folgt angeben: $A=\frac12\cdot a\cdot b$.

    Nun kannst du zu jedem der gegebenen Parallelogramme den Flächeninhalt berechnen.

    Parallelogramm 1 mit $a=12~\text{cm}$ und $b=5~\text{cm}$

    Du erhältst dann $A=\frac12\cdot 12~\text{cm}\cdot 5~\text{cm}=30~\text{cm}^2$.

    Parallelogramm 2 mit $a=15~\text{cm}$ und $b=6~\text{cm}$

    Nun kannst du den Flächeninhalt $A=\frac12\cdot 15~\text{cm}\cdot 6~\text{cm}=45~\text{cm}^2$ berechnen.

    Parallelogramm 3 mit $a=8~\text{cm}$ und $b=12~\text{cm}$

    Auch hier erhältst du den Flächeninhalt durch Einsetzen: $A=\frac12\cdot 8~\text{cm}\cdot 12~\text{cm}=48~\text{cm}^2$.

  • Leite mit Hilfe der Flächeninhaltsformel für ein Parallelogramm eine solche Formel für Dreiecke her.

    Tipps

    Schneide einmal ein Parallelogramm aus. Dann nimmst du eine Schere und schneidest dieses Parallelogramm entlang einer Diagonalen in zwei Hälften.

    Die beiden Dreiecke, die auf diese Weise entstehen, sind deckungsgleich. Man sagt dazu auch kongruent.

    Beachte, dass ein Rechteck ein spezielles Parallelogramm ist.

    Darüber hinaus sind nicht alle Dreiecke rechtwinklig.

    Lösung

    An diesem Bild kannst du anschaulich erkennen, dass du durch Zerschneiden eines Parallelogramms entlang einer Diagonalen zwei Hälften erhältst.

    • Jede dieser Hälften ist ein Dreieck.
    • Die beiden Dreiecke sind kongruent. Das bedeutet, dass sie den gleichen Flächeninhalt haben.
    Sei $A$ der Flächeninhalt des Parallelogramms und $A_{\triangle}$ der des Dreiecks, dann gilt $A=2\cdot A_{\triangle}$. Du kannst nun durch $2$ dividieren und erhältst so $A_{\triangle}=\frac12\cdot A$.

    Zuletzt verwendest du die Formel $A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

    Du kommst dann zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

    Du siehst, du kannst auch den Flächeninhalt eines Dreiecks ohne eine Höhe berechnen, wenn du zwei Seiten sowie den von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel kennst.

    Wenn zum Beispiel $\alpha=30^\circ$ und damit $\sin(\alpha)=\frac12$ ist, erhältst du $A_{\triangle}=\frac14\cdot a\cdot b$. Dies gilt allerdings nur in diesem speziellen Fall.