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Einsetzungsverfahren – Beispiele

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Steph Richter
Einsetzungsverfahren – Beispiele
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Einsetzungsverfahren – Beispiele

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Variable aufgelöst (z.B. y). Diese Variable wird anschließend in eine andere Gleichung eingesetzt und somit eliminiert (kein y mehr). Andere mögliche Verfahren sind das Additions- und Gleichsetzungsverfahren.

Viel Spaß beim Video.

Transkript Einsetzungsverfahren – Beispiele

Hi, in diesem Video stelle ich Euch das Einsetzungsverfahren vor. Wenn wir ein Gleichungssystem mit sagen wir mal, zwei Gleichungen haben, dann stellen wir eine der beiden Gleichungen so um, dass wir eine unbekannte x oder y, in unserem Beispiel, ganz alleine stehen haben. Wenn wir jetzt also in unserer 1. Gleichung y links stehen haben, dann setzen wir das, was wir rechts stehen haben für y in die 2. Gleichung ein. Dann berechnen wir dadurch die 1. Unbekannte und diese setzen wir wieder in die 1. Gleichung ein, um unsere 2. Unbekannte zu bestimmen. Und zur Kontrolle können wir noch mal alles komplett einsetzen. Na gut, üben wir das Ganze mal! Dann kommen wir auch gleich zur ersten Aufgabe. Wir haben hier 2 Gleichungen und wollen jetzt eine der beiden so umstellen, dass wir eine Unbekannte x oder y ganz alleine auf einer Seite stehen haben. Da bietet sich die 1. Gleichung für an: y=11-3x Denn, wenn wir 3x rüber holen, also -3x rechnen, dann haben wir y alleine. Jetzt setzen wir diesen Teil hier für y in die 2. Gleichung ein. Also, das y kommt hier heraus und der Ausdruck herein: 14x-4×(11-3x)=8 Beim Einsetzen ist es jetzt sehr wichtig auf die Klammern zu achten, die müssen da nämlich auch hin. So, dann multiplizieren wir die Klammern direkt aus: 14x-(44-12x)=8 Da wir hier ein Minus haben, schreib ich das noch mal in Klammern hin, denn durch dieses Minus ändert sich das Vorzeichen. 14x-44+12x=8 Denn Minus × Minus ergibt Plus. Dann noch ein bisschen zusammenfassen: 26x-44=8/+44 44 stört uns noch. 26x=52/26 Und das war es auch schon: x=2. Diesen Wert setzen wir jetzt in die 1. Gleichung ein oder wir machen es gleich hier unten. Und hier haben wir y so schön alleine stehen. x=11-32 y=11-6 y=5 Das war es dann auch schon. Wir haben also x=2 und y=5. Zur Probe können wir das Ganze nochmal einsetzen. Machen wir es gleich noch mal in die 2. Also, anstatt x haben wir 2 und statt y, 5. 14×2-4×5=8 14×2=28-20=8 Probe durchgeführt, also sind wir fertig. Kommen wir auch gleich zur nächsten Aufgabe. Wir haben hier wieder 2 Gleichungen und wollen das Ganze durch das Einsetzungsverfahren lösen. Dafür würde ich sagen, nehmen wir diese Gleichung und stellen sie direkt nach x um, das schaffen wir nämlich in einem Schritt. x-y=1/+y x=1+y Für x erhalten wir also 1+y und diesen Ausdruck setzen wir für x in unsere 1. Gleichung ein. 4x-2y=12 Wir schmeißen das x also heraus und schreiben das dafür hin, aber die Klammer nicht vergessen. 4(1+y)-2y=12 So, die Klammer lösen wir dann noch auf. 4+4y-2y=12 Können wir auch direkt ein wenig vereinfachen: 4y-2y=2y-4 und wenn 2y=8 ist, dann ist 1y=4. Eine Unbekannte hätten wir, die 2. fehlt uns noch und um die zu ermitteln, setzen wir 4 für y in unsere 2. Gleichung ein. Wir können die hier oder die nehmen, ist ja die Gleiche, nur ein bisschen umgeformt. Aber ich denke, wir nehmen lieber  die direkt, weil hier das x so schön steht. x=1+4 x=5 Und das war es dann auch schon. Wir erhalten für x=5. Zur Kontrolle können wir beides noch mal in die 1. Gleichung einsetzen, also wir führen die Probe durch: 4×5-2×4=12 und 20-8=12 Richtig also. Damit wären wir fertig.   Eine Aufgabe machen wir noch. Übrigens, es lässt sich nicht jedes lineare Gleichungssystem lösen. Gehen wir mal davon aus, dass das hier klappt, und probieren das Ganze mal. Stellen wir diese Gleichung mal nach x um. 12y+4x=20/-12y 4x=20-12y/4 So, y haben wir rüber gebracht und jetzt teilen wir noch durch 4. x=5-3y und diesen Ausdruck setzen wir jetzt in die 1. Gleichung ein. 18y+6×(6-3y)=24 (Klammer ausmultiplizieren) 18y+30-18y=24 18y-18y=0y, hier bleiben also 30 und hier 24. Und 30 ist nicht = 24, das heißt, wir haben eine falsche Aussage. Wenn wir mal genau hinsehen, können wir schon ein bisschen erahnen, dass das hier nicht mit rechten Dingen zugeht. 18y+6x=24/6 12y+4x=20/4 Wenn wir diese Gleichung durch 4 und diese durch 6 teilen, dann haben wir es ja schon. 3y+x=4 3y+x=5 Dann hab ich hier links den gleichen Ausdruck, rechts aber nicht. Und 3y+x kann nicht gleichzeitig 4 und 5 ergeben. Das war es dann auch schon. Bis zum nächsten mal, tschau.

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. war nicht sehr hilfreich

    Von sea shepherd p., vor mehr als einem Jahr
  2. So Verstanden

    Von Ricky1012, vor fast 2 Jahren
  3. richtig cool vielen dank steph:D

    Von Bruno R., vor etwa 2 Jahren
  4. Super erklärt!

    Von Moeller Kochendorf, vor mehr als 2 Jahren
  5. = wird immer unter = geschrieben, aber trotzdem gutes Video. ;)

    Von Lippiherzog, vor etwa 3 Jahren
Mehr Kommentare

Einsetzungsverfahren – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Einsetzungsverfahren – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Lösungsweg des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Umformen und Umstellen einer Gleichung kann zum Beispiel Folgendes bedeuten:

    • Du multiplizierst eine Klammer aus.
    • Du addierst oder subtrahierst auf beiden Seiten.
    • Du multiplizierst oder dividierst auf beiden Seiten.

    Eine Gleichung, in welcher nur die Variable $x$ vorkommt, kannst du nach $x$ umstellen.

    Hier siehst du ein Beispiel.

    $\begin{array}{rcll} 4x+5&=&13&|-5\\ 4x&=&8&|:4\\ x&=&2 \end{array}$

    Ein Beispiel für das Einsetzen:

    $\begin{array}{rrcl} \text{I:}&2x-y&=&4\\ \text{II:}&y&=&2-x \end{array}$

    Wegen der unteren Gleichung II kannst du den Term $2-x$ für $y$ in die obere Gleichung I einsetzen.

    $\begin{array}{rcl} 2x-(2-x)&=&4 \end{array}$

    Lösung

    Hier siehst du ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrcl} \text{I:}&3x+y&=&11\\ \text{II:}&14x-4y&=&8 \end{array}$

    Um es zu lösen, wendest du Schritt für Schritt das Einsetzungsverfahren an.

    1. Schritt

    Forme eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen um.

    Wenn du in der oberen Gleichung I auf beiden Seiten $3x$ subtrahierst, erhältst du

    $\begin{array}{rrcl} \text{I:}&y&=&11-3x \end{array}$

    Nun steht $y$ also auf der linken Seite alleine und auf der rechten Seite steht ein Term mit der anderen Variable $x$.

    2. Schritt

    Nun kannst du den Term $11-3x$ für $y$ in die untere Gleichung II einsetzen. Denke dabei daran, diesen Term in Klammern zu setzen:

    $\begin{array}{rcl} 14x-4(11-3x)&=&8 \end{array}$

    3. Schritt

    Löse die erhaltene Gleichung, in welcher nur noch die Variable $x$ vorkommt. Stelle sie also nach $x$ um.

    $\begin{array}{rcll} 14x-4(11-3x)&=&8&|\text{Klammer ausmultiplizieren}\\ 14x-44+12x&=&8&|\text{zusammenfassen}\\ 26x-44&=&8&|+44\\ 26x&=&52&|:2\\ x&=&2 \end{array}$

    4. Schritt

    Setze diese Lösung für $x$ in die Gleichung aus dem 1. Schritt ein.

    $\begin{array}{rcl} y&=&11-3\cdot 2\\ y&=&5 \end{array}$

    Nun bist du fertig.

    Zur Sicherheit kannst du noch eine Probe durchführen, also die Werte für $x=2$ und $y=5$ in jede der Gleichungen einsetzen.

    $\begin{array}{rl} \text{I:}&3\cdot 2+5=11 \text{ ✓} \\ \text{II:}&14\cdot 2-4\cdot 5=28-20=8 \text{ ✓} \end{array}$

  • Beschreibe das Vorgehen beim Einsetzungsverfahren.

    Tipps

    1. Beispiel

    Einsetzen des Terms $x=2+y$ für $x$ in die Gleichung $10x-3y=50$ ergibt:

    $10(2+y)-3y=50$.

    Die Gleichung mit einer Variablen kannst du durch Umformungen lösen. Schau dir hierzu diese Beispiele an

    2. Beispiel

    $\begin{array}{rcll} 4x&=&12& |:4\\ x&=&3 \end{array}$

    3. Beispiel

    $\begin{array}{rcll} x-2&=&10&|+2\\ x&=&12\end{array}$

    Lösung

    An dem Beispiel des folgenden Gleichungssystems kannst du die einzelnen Schritte beim Einsetzungsverfahren sehen.

    $\begin{array}{rrcl} \text{I:}&4x-2y&=&12\\ \text{II:}&x-y&=&1 \end{array}$

    Schritt 1: Forme eine der beiden Gleichung nach einer der Variablen um.

    Es ist dabei egal, welche der Gleichungen du umformst. In diesem Beispiel bietet sich die Gleichung I: $x-y=1$ an. Addition von $y$ auf beiden Seiten führt zu der nach $x$ aufgelösten Gleichung $x=1+y$.

    Schritt 2: Setze den so erhaltenen Term in die andere Gleichung ein.

    In diesem Fall setzt du also für $x$ den Term $1+y$ in die Gleichung I ein. Achte dabei darauf, diesen Term in Klammern zu schreiben. Du erhältst so die Gleichung $4(1+y)-2y=12$, in welcher nur noch die Unbekannte $y$ vorkommt. Vereinfache diese Gleichung noch zu $2y+4=12$.

    Schritt 3: Löse diese Gleichung.

    Subtrahieren von 4 auf beiden Seiten führt dich zu $2y=8$. Anschließendes Dividieren durch $2$ auf beiden Seiten liefert dir die Lösung $y=4$.

    Schritt 4: Setze diese erste Lösung in die umgeformte Gleichung aus dem ersten Schritt ein.

    Hier bedeutet dies, für $y$ den Wert $4$ in die nach $x$ aufgelöste Gleichung $x=1+y$ einzusetzen. Du erhältst so $x=1+4=5$, womit du nun beide Variablen bestimmt hast.

  • Wende das Einsetzungsverfahren zur Lösung des linearen Gleichungssystems an.

    Tipps

    Hier siehst du die einzelnen Schritten im Überblick.

    1. Forme eine der beiden Gleichungen so um, dass die eine Variable alleine auf einer Seite steht.
    2. Den Term auf der anderen Seite setzt du nun in die andere Gleichung für diese Variable ein.
    3. Nun hast du eine Gleichung, in welcher nur noch eine Variable vorkommt. Löse die Gleichung nach der Variable auf. Du erhältst so den Wert der einen Variablen als Lösung.
    4. Diesen Wert setzt du schließlich in die Gleichung aus dem ersten Schritt ein. So kannst du auch die andere Variable bestimmen.

    Achte auf die Klammern. Wenn du einen Term für eine Variable einsetzt, muss der Term immer in Klammern geschrieben werden!

    Lösung

    $\begin{array}{rrcll} \text{I:}&2x-3y&=&{-2}\\ \text{II:}&3x+y&=&19 \end{array}$

    1. Umformen einer der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen: Hier bietet sich die untere Gleichung II an. Subtrahiere $3x$ auf beiden Seiten. So erhältst du $y=19-3x$.
    2. Einsetzen von $19-3x$ für $y$ in die obere Gleichung I führt zu der Gleichung $2x-3(19-3x)=-2$. Nun kannst du die Klammer und erhältst $2x-57+9x=-2$. Zusammengefasst ergibt das $11x-57=-2$.
    3. Lösen der Gleichung $11x-57=-2$: Addiere auf beiden Seiten $57$. So kommst du zu $11x=55$. Dividiere noch auf beiden Seiten durch $11$. Nun hast du die Lösung für $x$, nämlich $5$, gefunden.
    4. Einsetzen dieses Werts in die Gleichung aus dem 1. Schritt führt zu $y=19-3\cdot 5=19-15=4$.
    Tipp: Führe ein Probe durch. Setze hierfür die gefundenen Lösungen $x=5$ und $y=4$ in jede der Gleichungen ein:

    $\begin{array}{rrcll} \text{I:}&2\cdot 5-3\cdot 4=10-12=-2 \text{ ✓}\\ \text{II:}&3\cdot 5+4=15+4=19 \text{ ✓} \end{array}$

  • Prüfe, ob das Gleichungssystem lösbar ist.

    Tipps

    Wenn du eine Gleichung mit zwei Variablen hast, kannst du die Gleichung nach einer der beiden Variablen umstellen.

    Hast du keine zusätzliche Information zu den beiden Variablen, so gibt es unendlich viele Lösungen für die Variablen.

    Es gibt gesamt drei mögliche Arten der Lösung für ein solches lineares Gleichungssystem:

    • Es existiert eine Lösung.
    • Es existieren unendlich viele Lösungen.
    • Es existiert keine Lösung.

    Jeder dieser drei Fälle kommt einmal vor.

    Lösung

    Bei den obigen Gleichungssystemen führen kleinere Veränderungen dazu, dass es unendlich viele, keine oder genau eine Lösung gibt.

    Beispiel 1:

    $\begin{array}{rrcll} \text{I:}&x+3y&=&4\\ \text{II:}&3x+9y&=&12 \end{array}$

    Dividiere die untere Gleichung durch $3$. Dies führt zu $x+3y=4$, also der oberen Gleichungen. Die beiden Gleichungen sind äquivalent. Schließlich hast du nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Stelle zum Beispiel $x=4-3y$ in Abhängigkeit von $y$ dar. Nun kannst du für $y$ unendlich viele Werte einsetzen und erhältst damit auch für $x$ unendlich viele Werte.

    Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

    Beispiel 2:

    $\begin{array}{rrcl} \text{I:}&x+3y&=&4\\ \text{II:}&3x+9y&=&11 \end{array}$

    Dieses Gleichungssystem sieht so ähnlich aus wie das Beispiel 1. Jedoch steht in der unteren Gleichung auf der rechten Seite $11$ statt $12$. Welche Auswirkung hat das?

    Multipliziere die obere Gleichung mit $3$. Du hast dann $3x+9y=12$. Nun stimmen in beiden Gleichungen die linken Seiten überein, die rechten jedoch nicht. Dies ist ein Widerspruch. Es kann also keine Lösung für dieses Gleichungssystem geben.

    Beispiel 3:

    $\begin{array}{rrcl} \text{I:}&3x+y&=&4\\ \text{II:}&3x+9y&=&12 \end{array}$

    Forme die obere Gleichung nach $y$ um zu $y=4-3x$. Setze den Term &4-3x& für $y$ in die untere Gleichung ein und du erhältst $3x+9(4-3x)=12$. Du kannst noch vereinfachen.

    $\begin{array}{rcll} 3x+9(4-3x)&=&12&|\text{ausmultiplizieren}\\ 3x+36-27x&=&12&|\text{zusammenfassen}\\ -24x+36&=&12 \end{array}$

    Nun kannst du diese Gleichung lösen.

    $\begin{array}{rclll} -24x+36&=&12&|{-36}\\ -24x&=&-24&|:({-24})\\ x&=&1 \end{array}$

    Setze nun $1$ für $x$ in die Gleichung $y=4-3x$ ein. So kommst du zu $y=4-3\cdot 1=4-3=1$.

    Das Gleichungssystem hat also genau eine Lösung.

  • Gib an, was beim Einsetzen eines Terms zu beachten ist.

    Tipps

    Beachte: Es ist ein Unterschied, ob du $3+4\cdot 5=23$ oder $(3+4)\cdot 5=35$ rechnest.

    Der Term $1+y$ steht für $x$. Du multiplizierst $x$ mit $4$, also musst du auch den gesamten Term $1+y$ mit $4$ multiplizieren.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sind dir zwei Gleichungen gegeben. Dabei liegt die untere Gleichung $\text{II}$ bereits aufgelöst nach $x$ vor:

    $\begin{array}{rrcll} \text{I:}&4x-2y&=&12\\ \text{II:}&x&=&1+y \end{array}$

    Nun setzt du diesen Term $1+y$ für $x$ in die obere Gleichung I ein. Wichtig dabei ist, dass du den Term $1+y$ in Klammern setzt:

    $4(1+y)-2y=12$.

    Durch Ausmultiplizieren erhältst du $4+4y-2y=12$. Zusammengefasst ergibt das $4+2y=12$.

    Weshalb machen wir das eigentlich? Diese Gleichung hängt nur noch von der Variablen $y$ ab. Du kannst sie daher nach $y$ umstellen und erhältst $y=4$. Das ist schon einmal die Lösung für die eine Variable!

    Schließlich setzt du $y=4$ in die Gleichung $x=1+y$ ein und kommst so zu der Lösung $x=5$ für die andere Variable.

  • Ermittle die Anzahl der Einbettzimmer sowie die der Zweibettzimmer.

    Tipps

    Ordne den jeweils unbekannten Anzahlen die Variablen $x$ sowie $y$ zu:

    • Anzahl der Einbettzimmer = $x$
    • Anzahl der Zweibettzimmer = $y$

    Die Gesamtzahl der Zimmer erhältst du durch den Term $x+y$.

    Es gibt insgesamt $x+2y$ Betten in dem Hotel.

    Hier siehst du das zu lösende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrcll} \text{I:}&x+y&=&27\\ \text{II:}&x+2y&=&39 \end{array}$

    Lösung

    Dies ist das lineare Gleichungssystem, welches du für diese Aufgabe löst:

    $\begin{array}{rrcll} \text{I:}&x+y&=&27\\ \text{II:}&x+2y&=&39 \end{array}$

    Aber wie kommen wir darauf?

    Gleichungssystem bestimmen
    Wir legen die Variable $x$ für die Anzahl der Einbettzimmer und die Variable $y$ für die Anzahl der Zweibettzimmer fest.

    Es gibt insgesamt $27$ Zimmer. Die Anzahlen der Ein- und Zweibettzimmer addiert, $x+y$, muss daher $27$ sein. Das führt zu der oberen Gleichung I.

    Die Gesamtzahl der Betten beträgt $39$. In jedem Einbettzimmer steht ein Bett und in jedem Zweibettzimmer stehen zwei Betten. Daher ergibt $x+2y$ die Gesamtanzahl aller Betten, also $39$. Dies führt zu der unteren Gleichung II.

    Lösen des Gleichungssystems

    1. Forme die obere Gleichung I nach $x$ um. So kommst du zu $x=27-y$.
    2. Setze nun diesen Term für $x$ in die untere Gleichung ein. Du erhältst so $27-y+2y=39$. Fasse noch gleichartige Terme zusammen zu $27+y=39$.
    3. Löse diese Gleichung. Subtrahiere dafür auf beiden Seiten $27$. So gelangst du zu $y=12$.
    4. Setze diesen Wert für $y$ in die Gleichung aus dem 1. Schritt ein und du erhältst $x=27-12=15$.
    Das Hotel Glasbachtal hat also $15$ Einbettzimmer und $12$ Zweibettzimmer.

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