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y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion aus zwei Punkten bestimmen 06:45 min

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Transkript y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion aus zwei Punkten bestimmen

Hallo, wir haben 2 Punkte gegeben und möchten daraus die Gleichung einer linearen Funktion basteln. Und dazu habe ich mal 2 Punkte vorbereitet - ich hoffe du kannst das sehen, sonst schreibe ich es gleich noch mal in groß -, das ist der Punkt P1 mit den Koordinaten 1 und 2  [P1 (1/2)], der ist hier und der Punkt P2 hat die Koordinaten 3 und 1 [P2 (3/1)], der ist hier. Und wenn du jetzt ein Steigungsdreieck zeichnen möchtest, kannst du von diesem Punkt hier ausgehen, nach rechts gehen, solange bis du zum x-Wert des 2. Punktes kommst. Dann gehst du hier runter. So wird die Steigung aussehen. Das ist ungefähr die Funktion, die da rauskommt. So ungefähr wird das sein. Und ich möchte jetzt als erstes Mal m ausrechnen und dabei auch gleich die Frage stellen, ob die Formel funktioniert, die wir bisher hatten, um m auszurechnen. Funktioniert die hier auch? Denn diese Steigung ist negativ. Wir haben uns noch nicht überlegt, ob die Formel auch für negative Steigungen richtig ist. Aber das können wir uns jetzt überlegen. Die Formel ist also: m = y2-y1/ x2-x1. Da ist sie. Ja und dazu setze ich jetzt einfach mal hier die Punkte, die Koordinaten ein. Ich schreibe jetzt einfach mal hier weiter. Vielleicht ist es formal nicht ganz korrekt. Ich machs jetzt einfach. Also y2=1 und y1=2. Oben steht also 1-2. x2 =3 - ja man muss da ganz langsam vorgehen, oft vertut man sich mit dem, was man da einsetzt, vor allem dann, wenn man schnell machen will. So wir haben 3 eingesetzt, das Minuszeichen kann ich abschreiben und ich setze x1= 1. So und das kann ich jetzt ausrechnen: wir haben oben 1-2=-1. Und wir haben unten 3-1=2. Damit ist also die Steigung -1/2.  Hier in unserem konkreten Fall ist m= -1/2. Nun noch mal als Gedankenausflug jetzt: Wie können wir sicher sein, dass das auch für andere negative Steigungen gilt? Nun, wir können das mal durchdenken. Wenn wir zum Beispiel den y-Wert von P1 erhöhen würden, würde die Steigung ja hier stärker negativ werden. Das beduetet also, dass diese Zahl hier größer werden würde. Das bedeutet aber auch, dass 1 minus dieser größeren Zahl, kleiner wird, also stärker negativ. Zum Beispiel das würde dann funktionieren. Das passt mit unsere Anschauung zusammen. Wir können uns hier auch das Gleiche überlegen mit der Verschiebung, was ich schon mal in einem Film gezeigt habe. Wenn man das Ganze hier parallel verschiebt, irgendwohin ins Koordinatensystem, dann ist diese Formel auch immer richtig. Und zwar kann man das an der Rechnung selber sehen, dass sie immer richtig ist. Ja, viel anderes geht das nicht, weil das hier eine reine Rechnung ist. Wir müssen uns also rechnerisch davon überzeugen, dass es stimmt. Ja, und deshalb kann man also auch anschaulich sicher sein, dass diese Formel immer richtig ist, egal ob es negative oder positive Steigungen sind. Ja, nun bin ich mit dem Beispiel noch nicht ganz fertig. Ich wollte ja eine Funktionsgleichung haben, die die Form hat: y=mx+b. Das m kenne ich schon, das ist -1/2. Ach ich lasse es stehen, ist doch Quatsch. m=-1/2. Und um b rauszufinden, setze ich jetzt konkrete Zahlen für y und x ein. Zum Beispiel kann ich ja y1 und x1 einsetzen. y1=2, x1=1 und dann haben wir hier +b noch: 2 = -1/2+1+b. Und wenn ich jetzt das b allein stehen haben möchte, muss ich hier auf beiden Seiten +1/2 rechnen. Hier steht ja -1/2* 1 ist selbstveständlich - 1/2. Und dann habe ich hier das b= 2,5 oder auch 5/2= b. So und jetzt hab ich ganz unten noch Platz, um jetzt die gesamte Gleichung hinzuschreiben. Wir haben b und m ausgerechnet: y= -1/2x + 5/2. Das ist die Gleichung. Taschenrechner haben wir nicht gebraucht. Hier kannst du die ganze Rechnung noch mal sehen. Übrigens viel komplizierter wird es nicht. Ich zeige gleich noch was mit Brüchen. Das viel Spaß damit und bis dahin. Viel Spaß, tschüs.

9 Kommentare
  1. @Noemi P.: Wenn du zwei Punkte gegeben hast, dann kannst du zunächst die Steigung m berechnen. Setze dann diese Steigung und einen Punkt in die Geradengleichung y=m*x+b einsetzen. Wenn du nun nach b umstellst, bekommst du den konkreten Wert für den y-Achsenabschnitt. In diesem Video erhält man schließlich b=5/2 als y-Achsenabschnitt. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 3 Jahren
  2. und wie berechnet man jetzt den Y- Achsenabschnitt?

    Von Noemi P., vor mehr als 3 Jahren
  3. @Inespaty:
    a ist ein sogenannter Parameter. Er ist ein festgelegter Wert. Stell dir hier beispielsweise a = 3 vor. Wenn a nun fest gewählt ist, wie sieht dann die Funktionsgleichung aus? Schau dir das Video noch mal an und rechne alle Schritte mit dem Parameter a (oder der Zahl 3) durch. Wie sieht dann die Funktionsgleichung aus?
    Ich hoffe,dass ich dir helfen konnte und du die richtige Lösung findest. Ansonsten kannst du dich auch gerne an unseren Fach-Chat wenden. Er steht dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  4. was ist das bei der übungsaufgabe mit den buchstaben?das verstreh ich nicht

    Von Inespaty, vor mehr als 4 Jahren
  5. voll gut

    Von Carsten W., vor fast 5 Jahren
  1. Die ganzen Videos von ihm sind sehr gut erklärt.

    Von Pe Enke, vor fast 5 Jahren
  2. Tolles Video Taschenrechner in Anflug :'))

    Von Johanna W., vor mehr als 5 Jahren
  3. Super Video, Danke!

    Von Lorenzo Grafbarbero, vor fast 6 Jahren
  4. beste Schnappschuss wenn Sie die Taschenrechner werfen ;)

    Von yasmine a., vor fast 7 Jahren
Mehr Kommentare

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion aus zwei Punkten bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion aus zwei Punkten bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Steigung der linearen Funktion durch die beiden Punkte $P_1$ sowie $P_2$.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge der x- und y-Koordinaten.

    Die erste Koordinate eines Punktes ist die x- und die zweite die y-Koordinate.

    Beachte das Vorzeichen.

    Eine Steigung kann auch durchaus negativ sein.

    Lösung

    Dies ist die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte, also der Steigung der linearen Funktion $y=mx+b$.

    Es wird also die y-Koordinaten-Differenz der Punkte durch die x-Koordinaten-Differenz der beiden Punkte dividiert. Dabei ist es wichtig die Reihenfolge zu beachten, da man ansonsten einen Vorzeichenfehler erhält.

    Hier sind die beiden Punkte $P_1(1|2)$ sowie $P_2(3|1)$ gegeben. Somit ist

    $m=\frac{1-2}{3-1}=\frac{-1}{2}$.

  • Gib die Formel zur Berechnung der Steigung an.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge der Subtraktion.

    Mache dir die Formel an diesem Beispiel klar. Die Steigung der Geraden ist $m=-\frac12$.

    In blau eingezeichnet ist hier ein Steigungsdreieck zu erkennen.

    Im Englischen spricht man von „rise over run“. Das bedeutet, dass oben (im Zähler!) die Bewegung nach oben oder unten (also entlang der y-Achse), und unten (im Nenner!) die nach rechts oder links (also entlang der x-Achse) steht.

    Lösung

    Dies ist die korrekte Formel zur Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$. Genauer müsste man sagen, dass dies eine korrekte Formel ist. Man könnte die Reihenfolge von $P_1$ und $P_2$ auch vertauschen. Dies führt zu

    $m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.

    Wichtig ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner gleich sein muss.

    Darüber hinaus steht im Zähler die Differenz der y-Koordinaten und im Nenner die der x-Koordinaten.

    Warum dürfen eigentlich die x-Koordinaten nicht übereinstimmen? Wenn man sich die Formel anschaut, kann man sehen, dass man dann durch $0$ teilen würde, was sicherlich nicht erlaubt ist.

    Was bedeutet dies anschaulich: Wenn die x-Koordinaten übereinstimmen, die y-Koordinaten jedoch nicht, erhält man durch zwei Punkte auch eine Gerade. Diese liegt parallel zur y-Achse. Dazu kann es keine Funktionsgleichung geben, da nach der Definition einer Funktion zu jedem $x$ maximal ein $y$ gehört.

  • Bestimme die lineare Gleichung durch die beiden Punkte $P_1(1|2)$ und $P_2(3|1)$.

    Tipps

    Benutze zur Ermittlung der Steigung die hier abgebildete Formel.

    Beachte, dass die erste Koordinate eines Punktes die x- und die zweite die y-Koordinate ist.

    Hier siehst du die Gerade durch die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$.

    Lösung

    Hier sind die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ zu sehen sowie die zugehörige Gerade. Der y-Achsenabschnitt $b=2,5$ kann theoretisch abgelesen werden: Dies ist jedoch nicht Mathematik!

    Es muss also die Gleichung der linearen Funktion $y=mx+b$ hergeleitet werden. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Zunächst muss die Steigung $m$ durch Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ sowie $P_2$ in die Formel $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ermittelt werden:

    $m=\frac{1-2}{3-1}=\frac{-1}2=-\frac12$.

    Nun lautet die Gleichung $y=-\frac12x+b$ mit einem noch unbekannten y-Achsenabschnitt $b$. Um diesen zu ermitteln, werden die Koordinaten einer der beiden Punkte in diese Gleichung für $x$ und $y$ eingesetzt. Nimmt man zum Beispiel $P_1$, erhält man die Gleichung

    $2=-\frac12\cdot 1+b$,

    welche durch Addition von $\frac12\cdot 1=0,5$ nach $b$ aufgelöst wird: Wir erhalten $b=2,5$. Die lineare Funktionsgleichung lautet somit insgesamt

    $y=-\frac12x+\frac52$.

    Übrigens hätte man auch den anderen Punkt zur Bestimmung von $b$ verwenden können. Dies führt zu der Gleichung

    $1=-\frac12\cdot 3+b$.

    Durch Addition von $\frac12\cdot 3=1,5$ erhält man ebenfalls $b=2,5$.

  • Stelle die lineare Funktionsgleichung bei zwei gegebenen Punkten auf.

    Tipps

    Zur Bestimmung der Steigung kannst du bei den gegebenen Punkten $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ die abgebildete Formel verwenden.

    Das Einsetzen eines Punktes $P(3|7)$ bei gegebener Steigung $m=-1$ in eine Funktionsgleichung kannst du hier sehen.

    Du kannst die resultierende Gleichung auch überprüfen. Jeder der beiden gegebenen Punkte muss diese Gleichung erfüllen. Das bedeutet, dass die y-Koordinate gerade $mx+b$ ist.

    Lösung

    Das Vorgehen beim Aufstellen von linearen Funktionsgleichung sieht oft so aus:

    1. Benötigt wird die Steigung (diese kann auch bereits gegeben sein).
    2. Es muss dann mindestens noch ein Punkt bekannt sein. Damit kann der y-Achsenabschnitt bestimmt werden.
    Das Berechnen der Steigung bei zwei gegebenen Punkten erfolgt mit der Formel $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Somit gilt hier $m=\frac{140-80}{70-100}=\frac{60}{-30}=-2$.

    Das bedeutet, dass die lineare Funktionsgleichung gegeben ist durch

    $y=-2x+b$

    bei noch unbekanntem y-Achsenabschnitt $b$. Diesen erhält man durch Einsetzen der Koordinaten eines der beiden Punkte (Es ist tatsächlich egal, welcher!) in diese Gleichung. Mit $P_1$ erhält man dann

    $80=-2\cdot 100+b$.

    Zuletzt wird $200$ auf beiden Seiten addiert zu $b=280$.

    Die lineare Funktionsgleichung lautet somit

    $y=-2x+280$.

    Um zu prüfen, ob diese stimmt, können beide Punkte eingesetzt werden:

    • $P_1(100|80)$ $\rightarrow$ $80=-2\cdot100+280=-200+280$ $~~~~~$✓
    • $P_2(70|140)$ $\rightarrow$ $140=-2\cdot70+280=-140+280$ $~~~~~$✓

  • Ermittle jeweils die Steigung zu den gegebenen Punkten.

    Tipps

    Verwende die hier abgebildete Formel zur Berechnung der Steigung der Geraden durch die Punkte $P_(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$.

    Beachte, dass die x-Koordinate die erste und die y-Koordinate die zweite eines Punktes ist.

    Für den Punkt $D(4|7)$ gilt:

    • $x=4$
    • $y=7$

    Achte auf das Vorzeichen, wenn du die Koordinaten der Punkte in die obige Formel einsetzt.

    Hier siehst du ein Beispiel mit $P_1(1|1)$ und $P_2(-2|3)$.

    Lösung

    Da das Bestimmen der Steigung $m$ ein sehr wesentlicher Punkt bei Geraden und den dazugehörigen linearen Funktionsgleichungen ist, kann dies hier nochmals geübt werden.

    Es werden jeweils die Koordinaten der gegebenen Punkte in die hier zu sehende Formel eingesetzt:

    • Die Steigung durch $P(2|3)$ und $Q(1|4)$ beträgt $m=\frac{4-3}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$.
    • Durch $R(-1|-2)$ und $S(1|1)$ steigt die Gerade um $m=\frac{1-(-2)}{1-(-1)}=\frac{3}{2}$.
    • Bei den Punkten $K(4|4)$ und $L(3|1)$ ist die Steigung $m=\frac{1-4}{3-4}=\frac{-3}{-1}=3$.
    • Die Steigung zwischen den Punkten $M(5|-1)$ und $N(-1|-2)$ beträgt $m=\frac{-2-(-1)}{-1-5}=\frac{-1}{-6}=\frac16$.
  • Leite den y-Achsenabschnitt für die Funktion her, deren Steigung $m=3$ ist und die durch den Punkt $P(4|1)$ geht.

    Tipps

    Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktionsgleichung lautet

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Setze die Koordinaten des Punktes sowie die Steigung in die Gleichung $y=mx+b$ ein.

    Beachte, dass die erste Koordinate eines Punktes die x- und die zweite die y-Koordinate ist.

    Hier siehst du ein Beispiel mit $m=5$ und dem Punkt $R(-2|4)$.

    Lösung

    Anhand dieser Grafik lässt sich erkennen, dass der Funktionsgraph, welcher den Punkt $P$ sowie eine Steigung von $m=\frac93=3$ besitzt, mithilfe eines Steigungsdreiecks gezeichnet werden kann. Hier hätte auch die horizontale Seite $4$ und die vertikale $12$ Einheiten lang sein können: Es ergibt sich jeweils der Quotient $m=3$.

    Auch der y-Achsenabschnitt $b=-11$ ist hier bereits zu erkennen.

    Diesen ermitteln wir nun rechnerisch: Durch Einsetzen von $P$ in die Gleichung $y=mx+b$ bei bekannter Steigung $m$ erhält man

    $1=3\cdot 4+b$.

    Subtraktion von $12$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $b=-11$ und somit zu der linearen Funktionsgleichung

    $y=3x-11$.