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Was sind Kongruenzabbildungen?

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Die Autor*innen
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André Otto
Was sind Kongruenzabbildungen?
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Was sind Kongruenzabbildungen?

Im Bereich der Geometrie sind dir bereits die Achsenspiegelung, die Punktspiegelung, die Parallelverschiebung und die Drehung bekannt. Durch sie werden Figuren bewegt bzw. so aufeinander abgebildet, dass sie ineinander übergehen. Alle diese Abbildungen nennt man Kongruenzabbildungen. Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Kongruenzabbildungen aufeinander abgebildet werden. Anschaulich betrachtet sind zwei Figuren kongruent, wenn man eine Figur ausschneiden kann und so auf eine andere legt, dass beide genau übereinander liegen. Das Video verschafft euch eine kleine Übersicht über das bereits Gelernte und erläutert dir anschaulich die Deckungsgleichheit (Kongruenz). Am Ende des Films wird dir gezeigt, wie du die Kongruenz von bestimmten Figuren überprüfen kannst. Viel Spaß!

Transkript Was sind Kongruenzabbildungen?

Hallo und herzlich willkommen zu den Geometrievideos. Dieses Video heißt "Kongruenzabbildungen". Ihr wisst schon, was Parallelverschiebung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Drehung sind. Vielleicht kennt ihr schon den Begriff "Kongruenz". Nachher könnt ihr erklären, wie sich Kongruenzabbildungen auf Figuren und ihre Bilder auswirken. Der Film besteht aus vier Abschnitten. 1. Bewegungen von Figuren 2. Kongruenzabbildungen 3. Deckungsgleichheit und 4. Überprüfung der Kongruenz. 1. Bewegungen von Figuren Figuren wie diesen Bonbon kann man bewegen. Na, und so geht es auch. Der Bonbon bleibt bei der Verschiebung glücklich. Er ist vollkommen erhalten, naja, es sei denn, ich beiße ein Stückchen ab. Das Gleiche gilt natürlich auch für geometrische Figuren wie dieses Dreieck. Ich kann es bewegen, dass es an eine andere Stelle gelangt. Das Dreieck ist glücklich, weil es unversehrt bleibt. Man kann das Dreieck an verschiedene Orte bewegen, hierhin, dahin, hierhin oder dorthin. Natürlich sind die Wege dorthin jeweils unterschiedlich, aber eines bleibt immer gleich und das wollen wir notieren. Bei Bewegungen von Figuren bleiben die Figuren vollständig erhalten. 2. Kongruenzabbildungen Ein Dreieck kann durch verschiedene geometrische Vorschriften bewegt werden. Erinnert euch daran, da gab es doch diese Bewegung mit dieser Achse, und dann gab es einen Punkt Z, an dem auch eine Bewegung stattfand, und dann wurde das Dreieck einfach verschoben. Und schließlich hatten wir auch Bewegungen der Eckpunkte auf konzentrischen Kreislinien. Könnt ihr euch erinnern, wie diese Vorschriften heißen? An der Spiegelachse findet die Achsenspiegelung statt, am Symmetriezentrum Z die Punktspiegelung. Unten links haben wir die Parallelverschiebung und um den Punkt D findet die Drehung statt. Diese Bewegungen bezeichnet man auch als Abbildungen, genauer Kongruenzabbildungen. Unser Dreieck ist ein glückliches Dreieck, denn es bleibt nach jeder Bewegung vollständig erhalten. Kongruenzabbildungen sind die Achsenspiegelung, die Punktspiegelung, die Parallelverschiebung und die Drehung. Wir notieren: Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Kongruenzabbildungen aufeinander abgebildet werden. Das muss nicht eine einzige Kongruenzabbildung sein, es können auch mehrere ablaufen. Die Zahl der Kongruenzabbildungen ist beliebig, 1, 2, 3 oder sogar noch mehr. 3. Deckungsgleichheit Die beiden Bonbons von vorhin sind deckungsgleich, das heißt, der eine Bonbon verdeckt den anderen. Und genauso kann der Bonbon links den Bonbon rechts verdecken, also beide sind deckungsgleich. Natürlich gilt das auch für geometrische Figuren wie diese beiden Dreiecke. Das Rote verdeckt das braune. Und umgekehrt geht es auch. Das braune Dreieck verdeckt das rote Dreieck. Naja, und genauso funktioniert es mit diesen beiden Rechtecken. Wir merken uns: Zwei Figuren heißen deckungsgleich, wenn sie sich gegenseitig vollständig verdecken. Es gibt das Wort conguentia. Es stammt aus dem Lateinischen und bedeutet Übereinstimmung. Daher verwendet man anstelle des Begriffs Deckungsgleichheit häufig den Begriff Kongruenz. 4. Überprüfung der Kongruenz Sind diese beiden Dreiecke, das braune und das rote kongruent? Das braune Dreieck hat drei gleich lange Seiten a, b und c von jeweils 15 cm. Die Innenwinkel ?, ? und ? betragen jeweils 60°. Die gleichen Werte finden wir für das rote Dreieck. a=b=c=15 cm und ?=?=?=60°. Die Seitenlängen und Innenwinkel beider Dreiecke stimmen überein, folglich sind sie kongruent. Betrachten wir einmal diese beiden Vierecke. Das schwarze und das rote. Wir vergleichen die Seitenlängen. Für das schwarze haben wir hier 15 cm, diese Seite beim roten Viereck ist ebenfalls 15 cm lang. Beim schwarzen messe ich hier 12 cm und ebenso 12 cm erhalte ich beim roten Viereck. 29 cm schwarz und 29 cm rot, und auch die verbleibenden Seiten stimmen überein. Wir haben eine Länge von jeweils von 20 cm. Wie sieht das mit den Winkeln aus? Links 100° und rechts ebenso. 135° finden wir sowohl links als auch rechts, und auch mit 67° finden wir eine weitere Übereinstimmung. Der letzte Winkel ist auch gleich, jeweils 58°. Die Vierecke sind kongruent. Und nun ganz wichtig und bitte merken. Kongruente Figuren stimmen in allen Seiten und allen Winkeln überein. Ihr habt wirklich schön mitgearbeitet. Vielen Dank und viel Erfolg! Alles Gute! Tschüss!

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. leider nur 3 von 5 sternen

    Von Singh Saardar , vor etwa einem Monat
  2. wer ist mystiry s.

    Von Singh Saardar , vor etwa einem Monat
  3. Bitte prüft hier die 3. Aufgabe ... der gegebene Pfeil ist schon dick , daher ist die Lösung genau verkehrt rum korrekt.

    Von Sandra Sturtzel, vor 6 Monaten
  4. Hallo Mystery S.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als 2 Jahren
  5. Ich verstehe nicht....

    Von Conductor Q., vor mehr als 2 Jahren
Mehr Kommentare

Was sind Kongruenzabbildungen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Kongruenzabbildungen? kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Kongruenzabbildung.

    Tipps

    Zeichne eine Figur auf Papier und schneide diese Figur aus. Führe jede der vier Kongruenzabbildungen durch.

    Ändert sich dadurch etwas an der Figur? Ausgenommen natürlich die Lage, die ändert sich.

    Ändert sich eine Figur durch eine Achsenspiegelung oder Parallelverschiebung?

    Schneide mal eine Figur aus einem Blatt aus und drehe diese Figur. Ändert sich etwas an den Seiten der Figur oder an den Winkeln?

    Eine Streckung kannst du dir wie eine maßstabgetreue Abbildung vorstellen. So eine Streckung findest du zum Beispiel auf Straßenkarten. Stimmen da die Längen der Straße auf der Karte mit der tatsächlichen Länge der Straße überein?

    Lösung

    Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine oder mehrere der folgenden Abbildungen aufeinander abgebildet werden können:

    • Achsenspiegelung
    • Punktspiegelung
    • Parallelverschiebung
    • Drehung
    Diese Bewegungen heißen auch Kongruenzabbildungen. Bei jeder dieser Kongruenzabbildungen bleiben die Figuren vollständig erhalten. Was heißt das? Sie stimmen in den Längen ihrer Seiten überein und auch in ihren Winkeln.

  • Gib an, was Kongruenz bedeutet.

    Tipps

    Merke dir: Es gibt vier Kongruenzabbildungen. Diese können mehrmals hintereinander durchgeführt werden.

    „congruentia“ kommt aus dem Lateinischen und heißt „Übereinstimmung“.

    Überlege dir, ob sich bei einer Abbildung die Länge von Strecken ändert. Dann wäre es keine Kongruenzabbildung.

    Beachte, dass eine Streckung auch eine lineare Abbildung ist.

    Lösung

    Eine Figur kann durch verschiedene Abbildungen bewegt werden:

    • Achsenspiegelung
    • Punktspiegelung
    • Parallelverschiebung
    • Drehung
    Bei jeder dieser Bewegungen von Figuren bleiben die Figuren vollständig erhalten. Das heißt, dass die Figur und die Bildfigur sich gegenseitig vollständig abdecken. Man spricht von Kongruenzabbildungen.

    Das lateinische Wort für „Übereinstimmung“ ist „congruentia“. Und deshalb sagt man auch Deckungsgleichheit statt Kongruenz.

    Lilly hat das wirklich gut erklärt. Beachte: Ein Fehler hat sich in der Aussage „Eine Abbildung, die eine Figur in eine kongruente Figur überführt, heißt lineare Abbildung.“ eingeschlichen. Eine solche Abbildung heißt eben Kongruenzabbildung. Zu den linearen Abbildungen gehört auch die Streckung, welche aber keine Kongruenzabbildung ist.

  • Untersuche die angegebenen Figuren auf Kongruenz.

    Tipps

    Bei welchen Figuren stimmen Winkel bzw. Seitenlängen nicht überein?

    Mache dir klar, durch welche Kongruenzabbildung die Bildfigur entstehen könnte.

    Lösung

    Kongruent können nur Figuren sein, die gleich große Winkel und gleich lange Seiten haben.

    Du siehst in dieser Aufgabe Fünfecke und Pfeile. Sicher kann kein Pfeil kongruent zu einem Fünfeck sein.

    Aber es gibt auch ein Fünfeck, welches nicht zu dem Ausgangsfünfeck kongruent ist. Wenn du genau hinschaust, kannst du erkennen, dass ein Fünfeck unregelmäßig ist. Dieses kann nicht kongruent zu den übrigen sein.

    Ein Pfeil entsteht aus dem Ausgangspfeil durch Drehung, der andere durch Achsenspiegelung.

    Und bei einem Pfeil stimmen die Seitenverhältnisse nicht. Er sieht etwas dicker aus. Dieser kann nicht kongruent zu den übrigen Pfeilen sein.

  • Bestimme die Aussagen zu den Kongruenzabbildungen.

    Tipps

    Wie lauten die vier Kongruenzabbildungen?

    Versuche doch mal mit einem Viereck ein Dreieck abzudecken und mit dem Dreieck das Viereck.

    Zwei verschiedene Rechtecke haben doch sicher die gleichen Winkel. Sind diese kongruent?

    Lösung

    Die vier Kongruenzabbildungen sind:

    • Achsenspiegelung
    • Punktspiegelung
    • Parallelverschiebung
    • Drehung
    Ganz sicher muss die Anzahl der Ecken bei Kongruenz übereinstimmen. Denn durch keine der Kongruenzabbildungen kannst du aus einem Dreieck ein Viereck machen oder umgekehrt.

    Was auf jedem Fall gilt: Kongruente Figuren stimmen in allen Winkeln und Seiten überein. Sonst kannst du sie nicht durch Kongruenzabbildungen aufeinander abbilden.

    Es reicht jedoch nicht, dass nur die Winkel übereinstimmen. Warum? Bei jedem Rechteck sind die vier Winkel gleich groß, nämlich 90°. Und sicher sind nicht alle beliebigen Rechtecke deckungsgleich, denn unterschiedliche Rechtecke haben eben auch verschiedene Seitenlängen.

  • Nenne die Abbildungen, die Kongruenzabbildungen sind.

    Tipps

    Bei einer Kongruenzabbildung ändert sich wohl die Lage einer Figur. Die Längen von Seiten und die Größe von Winkeln ändern sich nicht.

    Merke dir: Es gibt vier Kongruenzabbildungen. Diese können mehrmals hintereinander durchgeführt werden.

    Eine Streckung ist eine maßstabgetreue Vergrößerung einer Figur.

    Lösung

    Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Kongruenzabbildungen aufeinander abgebildet werden. Die Anzahl der Kongruenzabbildungen, die hintereinander ausgeführt werden, ist dabei beliebig. Die einzelnen Kongruenzabbildung lauten:

    • Achsenspiegelung
    • Punktspiegelung
    • Parallelverschiebung
    • Drehung
    Bei jeder dieser Bewegungen von Figuren bleiben die Figuren vollständig erhalten. Bei einer Kongruenzabbildung ändert sich wohl die Lage einer Figur. Die Längen von Seiten und die Größe von Winkeln ändern sich nicht.

    Damit ist die Verdoppelung jeder Seitenlänge garantiert keine Kongruenzabbildung. Eine Streckung ist eine maßstabgetreue Vergrößerung einer Figur und somit auch keine Kongruenzabbildung.

  • Entscheide, welche Kongruenzabbildung durchgeführt wird.

    Tipps

    Es gibt die Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Parallelverschiebung. Natürlich können auch mehrere dieser Abbildungen angewendet werden.

    Die Spiegelachse kann senkrecht sein oder waagerecht, aber auch schräg.

    Bei einer Drehung kann der Winkel zum Beispiel 80$°$ sein. Lege mal deinen Stift auf ein Papier und drehe ihn um 80$°$.

    Lösung

    Die vier Kongruenzabbildungen sind:

    • Achsenspiegelung
    • Punktspiegelung
    • Parallelverschiebung
    • Drehung
    Bei dem Pfeil kannst du dich gut an der Änderung der Pfeilspitze orientieren:

    • Der erste Bildpfeil kann sowohl durch eine Achsenspiegelung an einer senkrechten Achse, aber auch durch eine Drehung um 180° oder eine Punktspiegelung erreicht werden.
    • Der zweite Bildpfeil geht aus dem Pfeil durch Achsenspiegelung an der waagerechten Symmetrieachse hervor. Das ist dann natürlich der gleiche Pfeil, da dieser ja achsensymmetrisch mit waagerechter Symmetrieachse ist.
    • Der dritte Pfeil entsteht durch Drehung. Du kannst einfach einen solchen Pfeil auf ein Papier zeichnen und ausschneiden. Dann halte den Pfeil in der Mitte fest und drehe ihn.
    • Der vierte Pfeil entsteht aus dem Ausgangspfeil durch eine Parallelverschiebung.
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