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Wahrscheinlichkeit – Beispiel Glücksrad 06:03 min

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Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel Glücksrad

Hallo, es geht um Laplace-Versuche und das errechnen von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen und dazu habe ich hier mal was vorbereitet. Und zwar dieses formschöne Glücksrad hier, das kann man drehen und dann bleibt diese Feder hier in einem dieser Sektoren stehen. Es gibt 30 Sektoren, die die Ziffern von eins bis neun enthalten. Wir müssen uns jetzt darauf einigen, was unsere Ergebnismenge sein soll. Die eine Möglichkeit wäre, wir nehmen die 30 Sektoren als Ergebnisse. Wir könnten aber auch sagen, die Ziffern von eins bis neun sind unsere Ergebnisse. So, was können wir da machen? Wir basteln uns erstmal ein Modell zu diesem Glücksrad und rechnen dann mit einer Ergebnismenge und dann mit der anderen Ergebnismenge. Hier haben wir sechs Einsen, weil auf diesem Glücksrad auch sechs Einsen sind. Hier haben wir zwei Zweien, weil auf diesem Glücksrad zwei Zweien sind. Entsprechend also auch sechs Dreien und so weiter. Insgesamt sind es 30 Zettel mit den Ziffern von eins bis neun. Und diese 30 Zettel sind unsere erste Ergebnismenge und wenn man die hier so zusammenschiebt, dann sieht man nur noch die Ziffern von eins bis neun und das wird dann unsere zweite Ergebnismenge werden. Diese Zettel können wir jetzt in den Eimer hier werfen und dann haben wir einen neuen Zufallsversuch. Nämlich das einmalige Ziehen aus diesem Eimer. Dieser Zufallsversuch ist ein Laplace-Versuch weil jedes Ergebnis, also jeder Zettel, die Wahrscheinlichkeit “eins geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse” hat, also eins geteilt durch 30. Wozu brauchen wir dieses Modell überhaupt? Wir brauchen das, weil dieses Glücksrad hier kein exakter Laplace-Versuch ist. Als reales Objekt kann das gar nicht der Fall sein. Damit das wirklich ein Laplace-Versuch ist, müssten hier alle Pinöppel exakt denselben Abstand haben, also aufs Atom genau müssten die Abstände gleich sein. Und das ist bei so einem Ding nicht der Fall. Wir brauchen das aber auch gar nicht abschließend klären, ob dieses Glücksrad ein echter, exakter Laplace-Versuch ist, denn wir haben hier unser Modell, mit dem können wir weiterrechnen. Wir können natürlich auch in unserer Phantasie weiterrechnen, indem wir uns einfach ein ideales Glücksrad vorstellen. Wie auch immer, wir können jetzt die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen. Und wir fangen an mit dem Ereignis E6, das heißt eine sechs wird gedreht. Weil das Ganze nun ein Laplace-Versuch ist, ist die Wahrscheinlichkeit P von E6, die Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Vier Ergebnisse gehören zum Ereignis E6, insgesamt gibt es 30 Ergebnisse und den Bruch können wir jetzt noch kürzen und wir erhalten 2/15. Weiter geht es mit dem Ereignis ein Sektor von 17 bis 24 wird gedreht. Das Ereignis E17-24 besteht dann also aus allen Sektoren von 17 bis 25, so kann man das schreiben. Zu diesem Ergebnis gehören acht Sektoren, hier der Beweis, die Wahrscheinlichkeit P(E17-24) ist dann 8/30 und das kann man noch kürzen, das sind 4/15. Wenden wir uns unserer zweiten Ergebnismenge zu, und zwar den Ziffern von eins bis neun. Wir haben dann keinen Laplace-Versuch mehr, aber wir übernehmen die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse aus dem Laplace-Versuch. Die Vier kam im Laplace-Versuch dreimal vor, deshalb bekommt das jetzige Ergebnis Vier die Wahrscheinlichkeit 3/30. Die Sieben zum Beispiel kam im Laplace-Versuch zweimal vor, deshalb bekommt das jetzige Ergebnis Sieben die Wahrscheinlichkeit 2/30. Wir können jetzt ein Ereignis bilden, zum Beispiel das Ereignis vier oder sieben, zu diesem Ereignis gehört die Vier und die Sieben. Ja, hört sich vielleicht komisch an, darauf hat man sich aber so geeinigt und wir können die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses nach folgendem Satz berechnen: “Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören.” Wir können also schreiben, E4;7 ist das Ereignis vier oder sieben. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, P(E4;7) ist 3/30, also die Wahrscheinlichkeit für vier plus 2/30, also die Wahrscheinlichkeit für sieben, insgesamt sind das 5/30 und das ist gleich 1/6. So, dann sind wir mit dem Rechnen fertig. Wir haben also gesehen, wie man mit so einem Glücksrad wahrscheinlichkeitstechnisch umgehen kann. Wir können das Drehen des Glücksrades als Laplace-Versuch auffassen, indem wir uns entweder ein ideales Glücksrad vorstellen oder hier unseren Standard-Modellversuch nehmen. Wir haben gesehen, dass wir zwei Ergebnismengen haben, wobei sich die eine Ergebnismenge natürlich, also die Ziffern hier, aus der anderen Ergebnismenge, nämlich den einzelnen Zetteln, ergibt. Die Wahrscheinlichkeiten haben wir auch von dort übernommen. Und wir haben gesehen, wie man im Laplace-Versuch die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen kann. Oder, wenn wir keinen Laplace-Versuch haben, wie wir dann die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen mit der Summenformel ausrechnen können. Dann haben wir alles erledigt, viel Spaß damit, tschüss!

4 Kommentare
  1. Ah

    Von Stejosa, vor 2 Monaten
  2. Bitte erklären warum du das ergebnis hast aber sons alles richtig gut erklärt

    Von Hautgedicht, vor 4 Monaten
  3. @Itslearning:
    Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor mehr als einem Jahr
  4. Ich finde es sehr gut erklärt aber ich habe keine Ahnung wie es geht mit den Aufgaben

    Von Itslearning Nutzer 2535 412377, vor mehr als einem Jahr

Wahrscheinlichkeit – Beispiel Glücksrad Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiel Glücksrad kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine $6$ gedreht wird.

    Tipps

    Bei einem Laplace-Versuch berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Anzahl der zu diesem Ereignis gehörenden Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse dividiert.

    Bei einem Laplace-Versuch sind alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

    Man könnte auch ein ideales Glücksrad annehmen, dann handelt es sich um einen Laplace-Versuch.

    Lösung

    Das Drehen eines Glücksrades ist - wenn man genau ist - kein Laplace-Versuch. Warum nicht? Es müsste sichergestellt sein, dass jedes Feld mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit gedreht werden kann. Dies ist technisch nicht machbar.

    Also kann man ein entsprechendes Modell konstruieren: Man nimmt insgesamt dreißig Zettel, von denen $6$ Einsen, $2$ Zweien, $6$ Dreien, jeweils $3$ Vieren und Fünfen, $4$ Sechsen, $2$ Siebenen, $1$ Acht und $3$ Neunen sind. Die Anzahlen entsprechen den Häufigkeiten der Zahlen auf dem Glücksrad.

    Das Ziehen eines solchen Zettels aus einer Urne ist ein Laplace-Versuch. Man kann Zufallsversuche oft als Urnenmodell darstellen. Man stellt sich dann vor, dass man Kugeln oder (wie in diesem Fall) Zettel aus einer Urne zieht.

    Will man nun die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer $6$ , also des Ereignisses $E_6$, berechnen, so teilt man die Anzahl der Sechsen durch die Gesamtzahl der Zettel.

    $P(E_6)=\frac4{30}=\frac2{15}=0,1\bar3=13,\bar3~\%$.

  • Gib an, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen kann.

    Tipps

    Ein besonderes Ereignis ist das sichere Ereignis, die Ergebnismenge $\Omega$.

    Es gilt $P(\Omega)=1$.

    Wenn sich in einer Urne insgesamt $10$ Kugeln und davon $3$ rote, $2$ blaue sowie $5$ grüne befinden, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

    $E=\{$es wird eine rote oder eine blaue Kugel gezogen$\}$

    gegeben durch

    $P(E)=\frac5{10}=\frac12$.

    Bei einem Laplace-Versuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie folgt gegeben:

    Lösung

    Der Ausgang eines Zufallsexperimentes ist ein Ergebnis.

    Alle möglichen Ergebnisse werden in einer Menge zusammengefasst, die Ergebnismenge $\Omega$.

    Wenn man einige Ergebnisse zu einer Menge zusammenfasst, nennt man diese Menge ein Ereignis.

    Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.

    • Natürlich ist die Ergebnismenge selbst auch ein Ereignis. Man bezeichnet dies als das sicherere Ereignis. Dessen Wahrscheinlichkeit ist $P(\Omega)=1$.
    • Auch die leere Menge ist ein Ereignis, das unmögliche Ereignis. Es gilt $P(\emptyset)=0$.
    Ganz allgemein ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören.

  • Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Verwende die Laplace-Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit.

    Wenn ein Ereignis aus zwei oder mehr Ergebnissen besteht, werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert.

    Alle Ergebnisse sind sofern möglich gekürzt.

    Das bedeutet, dass sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleiche Zahl dividiert worden sind.

    Lösung

    Wenn man die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen soll, kann man die Laplace-Formel verwenden, vorausgesetzt natürlich, dass es sich um einen Laplace-Versuch handelt. Das Ziehen von Zetteln aus einer Urne ist ein Laplace-Versuch, da jeder Zettel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann.

    Das bedeutet, man zählt zu jedem Ereignis die Anzahl der Zettel, welche dieses Ereignis erfüllen, und teilt diese Zahl durch $30$, die Anzahl der gesamt vorhandenen Zettel.

    • $E_4=\{$ eine 4 wird gezogen $\}$: Dann ist $P(E_4)=\frac3{30}=\frac1{10}$.
    • $E_7=\{$ eine 7 wird gezogen $\}$: Dann gilt $P(E_7)=\frac2{30}=\frac1{15}$.
    • $E_6=\{$ eine 6 wird gezogen $\}$: Dann haben wir $P(E_6)=\frac4{30}=\frac2{15}$.
    • $E_{4,7}=\{$ eine 4 oder eine 7 wird gezogen $\}$: Wir erhalten $P(E_{4,7})=\frac3{30}+\frac2{30}=\frac5{30}=\frac16$.
  • Leite die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse her.

    Tipps

    Beachte, dass die Paare $(2|1)$ sowie $(1|2)$ unterschieden werden.

    Jeweils nur ein Paar führt zu der Summe $2$ oder $10$. Zu den anderen Summen führen jeweils mehrere Paare.

    Wenn du die Ergebnismenge der Augensummen betrachtest, darfst du nicht davon ausgehen, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

    Lösung

    Wenn man bei diesem Versuch als Ergebnisse die Zahlenpaare aufschreiben würde, hätte man

    $\Omega=\{(1|1);...;~(1|5);~(2|1);~...;~(2|5);~...;~(5|1);~...;~(5|5)\}$

    also insgesamt $5\cdot5=25$ Paare. Betrachtet werden soll jedoch die Summe der Augenzahlen. Die kleinste Summe ist $1+1=2$ und die größte $5+5=10$. Somit ist

    $\Omega=\{2;~3;~...;~10\}$.

    In dieser Ergebnismenge befinden sich $9$ Elemente. Nur kann man daran nicht mehr erkennen, wie viele Paare zu der entsprechenden Summe gehören.

    Für das Ereignis A gibt es drei Zahlenpaare $(1|3)$, $(2|2)$ sowie $(3|1)$, die dies erfüllen, somit ist $P(A)=\frac3{25}=0,12$.

    Das Ereignis C, beziehungsweise die zu diesem Ereignis gehörenden Elemente können ebenfalls gezählt werden. Hier ist es jedoch einfacher, zu zählen, wie viele Paare nicht dazu gehören. Oder anders gesagt, wie viele Paare die Augensumme $9$ oder $10$ ergeben. Dies sind $2+1=3$ Paare: $(4|5)$, $(5|4)$ sowie $(5|5)$. Also führen $25-3=22$ Paare zu einer Augenzahl, welcher höchstens $8$ beträgt. Damit erhält man die Wahrscheinlichkeit $P(C)=\frac{22}{25}=0,88$.

    Dies kann man wie folgt verallgemeinern: Sei $\Omega$ die Ergebnismenge, dann ist $P(\Omega)=1$, denn die Ergebnismenge ist das sichere Ereignis. Sei nun $E$ ein beliebiges Ereignis, dann bezeichnet $\bar E$ die Menge aller Ergebnisse, welche sich zwar in $\Omega$ befinden, aber nicht in $E$, das Gegenereignis von $E$.

    Es ist $P(\Omega)=P(E)+P(\bar E)$ und damit $P(E)+P(\bar E)=1$. Dies kann man auch umformen zu $P(E)=1-P(\bar E)$.

    Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu berechnen, wie in dem obigen Beispiel C. Die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Gegenereignisses ist $\frac 3{25}=0,12$. Damit ist $P(C)=1-0,12=0,88$.

  • Ermittle zu jedem der Glücksräder die zugehörige Ergebnismenge.

    Tipps

    Jeder Ausgang eines Zufallsversuches wird als Ergebnis bezeichnet.

    Alle möglichen Ergebnisse gemeinsam ergeben die Ergebnismenge, $\Omega$.

    Bei zwei der vier Glücksräder könnte man als Ergebnis sowohl die gedrehte Farbe als auch die Zahl oder den Buchstaben betrachten.

    Eine Teilmenge der Ergebnismenge ist ein Ereignis.

    Lösung

    Im eigentlichen Sinne ist das Drehen eines Glücksrades kein Laplace-Versuch. Man kann sich allerdings auf den Standpunkt einigen, dass man ein ideales Glücksrad hat, welches die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt: Jedes Feld muss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gedreht werden können.

    Je nach Beschriftung oder Farbe der Felder eines Glücksrades können sich die Ergebnismengen unterscheiden. Deshalb ist es auch wichtig, vor dem Durchführen eines Zufallsversuches zu entscheiden, welches die beobachtete Größe ist.

    In dieser Aufgabe wird jeweils die Farbe betrachtet. Damit ergeben sich die Ergebnismengen von links nach rechts:

    • $ \Omega = \{ \text{rot; blau} \}$
    • $ \Omega = \{ \text{rot; grün} \}$
    • $ \Omega = \{ \text{rot; grün; blau} \}$
    • $ \Omega = \{ \text{gelb; grün} \}$
    Wenn nur einige der Ergebnisse in einer Menge enthalten sind, spricht man von einem Ereignis.

  • Berechne zu dem jeweiligen Ereignis die Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Eine gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.

    Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, welche nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechnen als Quotient der Anzahl der zu diesem Ereignis gehörenden Ergebnisse und der Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist die Anzahl der Felder auf dem Glücksrad.

    Zähle alle Felder, die das Ereignis erfüllen.

    Lösung

    Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, zählt man die Elemente, welche dieses Ereignis erfüllen, und dividiert diese Zahl durch Zahl aller möglichen Ergebnisse.

    Je nach beobachteter Größe ergeben sich die folgenden Ergebnismengen:

    Wir können uns an der Farbe orientieren: $\Omega=\{$rot; rot; rot; rot; blau; blau; blau$\}$

    Diese Schreibweise der Ergebnismenge genügt der Voraussetzung eines Laplace-Versuches. Es befinden sich $4$ rote und $3$ blaue Felder (also insgesamt $7$) auf dem Glücksrad. Üblicherweise wird die Ergebnismenge wie folgt geschrieben:

    $\Omega=\{$rot; blau$\}$.

    Ebenso können wir uns aber auch nach der Zahl richten: $\Omega=\{1;~2;~3;~4;~5;~6;~7\}$

    • Zu dem Ereignis A: Es gibt insgesamt $4$ rote Felder bei $7$ möglichen Feldern, somit ist $P(A)=\frac47$.
    • Das Ereignis B lässt sich als Menge schreiben: $B=\{2;~4;~6\}$. In dieser Menge befinden sich $3$ Elemente. Damit ist $P(B)=\frac37$.
    • Ebenso lässt sich das Ereignis C als Menge schreiben: $C=\{2;~3;~5;~7\}$ mit insgesamt $4$ Elementen. Man erhält also $P(C)=\frac47$.