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Teilbarkeitsregeln – Übungen (1)

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Die Autor/-innen
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Sabine Blumenthal
Teilbarkeitsregeln – Übungen (1)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Teilbarkeitsregeln – Übungen (1)

Wenn du dieses Video anschaust, solltest du Papier und Stift bereit legen, denn hier darfst du aktiv werden. Das Video bietet dir verschiedene Übungen zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen. Natürlich gibt es auch die Lösungen, damit du sofort prüfen kannst, was du richtig gemacht hast und was du dir vielleicht nochmal ansehen musst. Im Video „ Teilbarkeit - Summen und Produkte “ kannst du dich noch einmal zu der Summen - und Produktregel der Teilbarkeit natürlicher Zahlen informieren. Viel Erfolg beim Rechnen der Aufgaben!

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. Ich fand das Video schon gut nur es war sehr langweilig...Ich finde z.B. die Videos von Team Digital besser.Aber sonst war alles gut

    Von Fiona S., vor fast 2 Jahren
  2. Lieber Ryan, ich freue mich, dass das Video dir geholfen hat. Nun fragst du, wie das mit der Teilbarkeit durch 7 geht. Tja, leider ist die Zahl 7 die einzige einstellige Zahl, für die es keine Teilbarkeitsregel gibt. Wenn du also bei einer Zahl prüfen sollst, ob diese Zahl ohne Rest teilbar ist, dann wendest du alle dir bekannten Teilbarkeitsregeln auf diese Zahl an. Wenn du mit allen Teilbarkeitsregeln keinen Erfolg hast, dann könnte diese Zahl durch 7 teilbar sein. Das probierst du mit der schriftlichen Division aus. Wenn das auch nicht funktioniert, dann ist die entsprechende Zahl nur durch Eins und durch sich selber teilbar - und damit wäre diese Zahl eine Primzahl. Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte und wünsche dir viel Erfolg für deinen Test. Sabine Blumenthal

    Von Sabine Blumenthal, vor mehr als 2 Jahren
  3. gutes video aber ich habe nicht ganz verstanden wie es mit der 7 geht?
    kann mir bitte jemand helfen
    trotzdem super Hilfe werde denke ich ein 2 schreiben
    😊

    Von Ryan A., vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo Bilja Pe, die Übung ist in die Aufgaben 1a bis 1d unterteilt. Du schreibst, du hast die Aufgabe 3 nicht richtig verstanden. Meinst du also die Aufgabe 1c zur Teilbarkeit durch 5? Sage mir bitte etwas genauer, was du nicht verstanden hast. Ich werde dann gerne versuchen, es dir noch einmal zu erklären. Lieben Gruß! S. Blumenthal

    Von Sabine Blumenthal, vor mehr als 2 Jahren
  5. aufgabe 3 ist nicht gut erklärt.. :( bzw habe sie nicht verstanden.

    Von Bilja Pe, vor mehr als 2 Jahren
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Teilbarkeitsregeln – Übungen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilbarkeitsregeln – Übungen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Teilbarkeitsregeln.

    Tipps

    Die Zahlen $12$, $14$ und $20$ sind durch $2$ teilbar. $15$ ist jedoch nicht durch $2$ teilbar.

    Die Quersumme einer Zahl erhältst du, indem du die einzelnen Ziffern addierst. Zum Beispiel gilt für die Quersumme von $87$:

    $8+7=15$.

    Übrigens: $87$ ist durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$.

    Für die Teilbarkeit durch $8$ betrachtest du die letzten drei Stellen einer Zahl. Eine Zahl ist durch $8$ teilbar, wenn ihre letzten drei Stellen durch $8$ teilbar sind.

    Diese Regel kommt in der Aufgabe nicht vor.

    Lösung

    Merke dir die folgenden Teilbarkeitsregeln.

    1. Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet. Eine solche Zahl wird auch gerade genannt. Zahlen, die nicht durch $2$ teilbar sind, werden ungerade genannt.
    2. Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern/Stellen. Die Quersumme von $15$ erhältst du beispielsweise durch $1+5=6$. Da $6$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $15$ durch $3$ teilbar.
    3. Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten beiden Stellen durch $4$ teilbar sind.
    4. Ein Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
    5. Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist. Schaue dir auch hierfür ein Beispiel an. Die Quersumme von $378$ ist $3+7+8=18$. Da $18$ durch $9$ teilbar ist, ist auch $378$ durch $9$ teilbar. Es gilt $42\cdot 9=378$.
  • Bestimme zu jeder Zahl die Teilbarkeit.

    Tipps

    Eine Zahl, die durch $4$ teilbar ist, muss gerade sein.

    Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Die Quersumme einer Zahl ergibt sich aus der Addition ihrer Ziffern. Die Quersumme von $1254$ ist beispielsweise $1 + 2 + 5 + 4 = 12$.

    Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten beiden Stellen durch $4$ teilbar sind.

    Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.

    Lösung

    Eine Zahl kann durchaus durch mehrere Zahlen teilbar sein. Zum Beispiel ist $12$ durch $2$, $3$, $4$ und $6$ teilbar. Zusätzlich ist die $12$ auch noch durch $1$ und durch sich selbst, also $12$, teilbar. In dieser Aufgabe sollst du immer die größte Zahl auswählen, durch die eine Zahl teilbar ist.

    Wie kannst du eine solche Teilbarkeit prüfen?

    In dieser Aufgabe konzentrieren wir uns auf die Teilbarkeit durch $5$, $4$ und/oder $3$.

    Alle Zahlen, die auf $0$ oder $5$ enden, sind durch $5$ teilbar. Die folgenden Zahlen enden auf $0$ oder $5$, sind also durch $5$ teilbar:

    $15060$, $9245$ und $18250$.

    Alle Zahlen, bei denen die letzten beiden Ziffern durch $4$ teilbar sind, sind durch $4$ teilbar. Hier siehst du die Zahlen, die durch $4$ teilbar sind:

    $428$ und $22104$.

    Um zu testen, ob eine Zahl durch $3$ teilbar ist, musst du die Quersumme berechnen. Wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist, ist auch die Zahl durch $3$ teilbar. Die Quersumme berechnest du, indem du die einzelnen Ziffern einer Zahl addierst. Die folgenden Zahlen sind durch $3$ teilbar:

    $15060$ und $2709$.

    Die Zahl $12043$ ist durch keine der angegebenen Zahlen teilbar. Es handelt sich hierbei sogar um eine Primzahl. Die einzigen beiden Teiler sind $1$ und $12043$.

    Hinweis: Einige der Zahlen in dieser Aufgabe sind durch mehrere angegebene Teiler teilbar. In der Lösung wurde immer nur der größte Teiler angegeben.

  • Prüfe die Teilbarkeit durch $6$.

    Tipps

    Nur gerade Zahlen sind durch $2$ teilbar.

    Ist eine Zahl nicht durch $2$ teilbar, dann ist sie auch nicht durch $6$ teilbar.

    Betrachte die jeweilige Quersumme der Zahl. Ist diese durch $3$ teilbar, dann ist auch die Zahl durch $3$ teilbar.

    Lösung

    Zahlen, die durch $2$ teilbar sind, erkennst du daran, dass sie gerade sind, also auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ enden.

    Da alle Zahlen, die durch $6$ teilbar sind, auch durch $2$ teilbar sein müssen, musst du dir nur noch diese anschauen. Ungerade Zahlen können also nicht durch $6$ teilbar sein.

    Es bleiben also noch die folgenden Zahlen:

    $216$, $218$, $222$, $224$, $226$ und $228$.

    Bei den verbleibenden Zahlen berechnest du jeweils die Quersumme. Ist diese durch $3$ teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch $3$ teilbar. Da alle betrachteten Zahlen durch $2$ teilbar sind, folgt damit die Teilbarkeit durch $6$.

    • Die Quersumme von $216$ ist $2+1+6=9$. Diese ist durch $3$ teilbar. Damit ist $216$ auch durch $3$ und somit auch durch $6$ teilbar.
    • Die folgenden Quersummen sind nicht durch $3$ teilbar: $218$ führt zu der Quersumme $2+1+8=11$ und $224$ zu $2+2+4=8$ sowie $226$ zu $2+2+6=10$.
    • Es bleiben noch $222$ mit der Quersumme $2+2+2=6$ und $228$ mit $2+2+8=12$. Beide Quersummen sind durch $3$ teilbar und damit auch die Zahlen selbst. Das bedeutet, dass auch $222$ und $228$ durch $6$ teilbar sind.
  • Begründe die Regel für die Teilbarkeit durch $4$.

    Tipps

    Es gilt die Summenregel: Sind zwei Zahlen durch die gleiche Zahl teilbar, dann ist auch die Summe (und die Differenz) dieser Zahlen durch diese Zahl teilbar.

    Jede Hunderterzahl ist durch $4$ teilbar, da $100:4=25$ ist. Damit ist zum Beispiel $1200=12\cdot 100$ ebenfalls durch $4$ teilbar.

    Schau dir ein anderes Beispiel an:

    $116$ ist durch $4$ teilbar, da $16$ durch $4$ teilbar ist. Es gilt $116 = 100 + 16$. Die einzelnen Summanden durch $4$ ergeben:

    $100: 4 = 25$ und $16:4 = 4$.

    Deshalb ist $116$ durch $4$ gleich $25+4=29$.

    Lösung

    Hier siehst du die Teilbarkeitsregel der Zahl $4$:

    Sind die letzten beiden Ziffern einer Zahl durch $4$ teilbar, dann ist auch die Zahl selbst durch $4$ teilbar.

    • Wir beginnen mit zweistelligen Zahlen. Da ist die Aussage klar, da die letzten beiden Stellen gerade die Zahl selbst sind.
    • Für jede drei- oder mehrstellige Zahl kannst du diese als Summe einer Hunderter-(Tausender-, Zehntausender-, ...)Zahl sowie einer zweistelligen Zahl schreiben. Diese zweistellige Zahl besteht aus den letzten beiden Ziffern der Zahl.
    • Schau dir das Beispiel $236=200+36$ an.
    • Jede Hunderterzahl (und damit jede Tausender-, Zehntausender-, ...) ist durch $4$ teilbar. Da auch die letzten beiden Ziffern durch $4$ teilbar sind, ist auch die Summe durch $4$ teilbar.

    Dies schauen wir uns noch bei dem Beispiel an:

    $236:4=200:4+36:4=50+9=59$.

    Zusatz

    Kannst du auch eine solche Teilbarkeitsregel für $8$ finden?

    • Jede Tausenderzahl ist durch $8$ teilbar, denn $1000:8=125$.
    • Damit ist auch jedes Vielfache einer Tausenderzahl durch $8$ teilbar.
    • Es genügt also, die letzten drei Stellen zu betrachten.
    Sind die letzten drei Ziffern durch $8$ teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch $8$ teilbar.

  • Gib an, welche der Zahlen durch $2$ teilbar sind.

    Tipps

    Für die Teilbarkeit durch $2$ musst du dir die letzte Stelle, die Einerstelle, anschauen.

    Eine durch $2$ teilbare Zahl ist eine gerade Zahl.

    Jede gerade Zahl endet auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$.

    Lösung

    Um die Teilbarkeit durch $2$ zu überprüfen, musst du dir die letzte Stelle einer Zahl anschauen. Diese Stelle wird auch Einerstelle genannt. Steht dort eine $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$, dann ist die Zahl durch $2$ teilbar. Durch $2$ teilbare Zahlen werden auch gerade Zahlen genannt.

    • $420\color{green}{8}$ endet auf $8$, ist also durch $2$ teilbar.
    • $231\color{red}{5}$ endet auf $5$. Dies ist eine ungerade Zahl. Sie ist also nicht durch $2$ teilbar.
    • $5430\color{green}{0}$ endet auf $0$. Auch diese Zahl ist durch $2$ teilbar.
    • $70\color{red}{1}$ ist wieder eine ungerade Zahl. Sie endet auf $1$, ist also nicht durch $2$ teilbar.
  • Entscheide, durch welche Zahlen die gegebenen Zahlen teilbar sind.

    Tipps

    Schaue dir zunächst die letzte Stelle an:

    • Ist diese $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$, dann ist die Zahl durch $2$ teilbar.
    • Ist diese $0$ oder $5$, dann ist die Zahl durch $5$ teilbar.
    • Endet die Zahl auf $0$, so ist die Zahl durch $10$ teilbar.

    Zusätzlich verwendest du die Quersummenregel: Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ ($9$) teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch $3$ ($9$) teilbar.

    Eine Zahl, die gerade und durch $3$ teilbar ist, ist auch durch $6$ teilbar.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du Zahlen auf ihre Teilbarkeit überprüfen. Wenn eine Zahl durch mehrere der gegebenen Zahlen teilbar ist, dann gibst du jeweils die größte Zahl an. Deshalb hat es Sinn, bei der Prüfung von der größten zur kleinsten Zahl vorzugehen.

    Teiler von $1234$

    Die Zahl $1234$ endet nicht auf $0$ und ist deshalb nicht durch $10$ teilbar. Die Quersumme von $1234$ ist $1+2+3+4 = 10$. Da $10$ weder durch $9$ noch durch $3$ teilbar ist, sind weder $9$ noch $3$ Teiler von $1234$. Die letzten drei Ziffern von $1234$ sind nicht durch $8$ teilbar. Da $1234$ nicht durch $3$ teilbar ist, kann $1234$ auch nicht durch $6$ teilbar sein. Die Zahl $1234$ endet nicht auf $5$ und ist somit nicht durch $5$ teilbar. Da $34$ nicht durch $4$ teilbar ist, ist $1234$ auch nicht durch $4$ teilbar. Da $4$ durch $2$ teilbar ist, ist $1234$ durch $2$ teilbar. Damit hast du die Lösung gefunden.

    Teiler von $3456$

    Die Zahl $3456$ ist nicht durch $10$ teilbar, da die letzte Ziffer keine $0$ ist. Die Quersumme $3+4+5+6 = 18$ ist durch $9$ teilbar. Damit hast du den größten der aufgezählten Teiler schon gefunden.

    Teiler von $6789$

    Da $6789$ ungerade ist, können wir die Teiler $2$, $4$, $6$, $8$ und $10$ direkt ausschließen. Bleibt nur noch die Teilbarkeit durch $3$, $5$ oder $9$. Da die Zahl nicht auf $5$ (und auch nicht auf $0$) endet, kann sie nicht durch $5$ teilbar sein. Die Quersumme ist $6+7+8+9=30$. Diese ist durch $3$, allerdings nicht durch $9$, teilbar. Das heißt, dass $6789$ nur durch $3$ teilbar ist.

    Teiler von $7890$

    Da die Zahl auf $0$ endet, ist $7890$ durch $10$ teilbar. Alle anderen Teiler benötigst du in dieser Aufgabe nicht.

    Teiler von $1524$

    Die Zahl ist nicht durch $10$ teilbar. Die Quersumme lautet $1+5+2+4 = 12$ und ist durch $3$, aber nicht durch $9$ teilbar. Da $524$ nicht durch $8$ teilbar ist, ist auch $1524$ nicht durch $8$ teilbar. Um zu prüfen, ob die Zahl durch $6$ teilbar ist, müssen wir auf die Teilbarkeit von $3$ und $2$ prüfen. Die Teilbarkeit von $3$ haben wir bereits nachgewiesen. Da $4$ durch $2$ teilbar ist, ist $1524$ auch durch $2$ teilbar. Somit ist die Teilbarkeit durch $6$ gegeben.

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