Teilbarkeitsregeln – Übungen (1)

Teilbarkeitsregeln – Übungen (1) Übung

• Ergänze die Teilbarkeitsregeln.

  Tipps

  Die Zahlen $12$, $14$ und $20$ sind durch $2$ teilbar. $15$ ist jedoch nicht durch $2$ teilbar.

  Die Quersumme einer Zahl erhältst du, indem du die einzelnen Ziffern addierst. Zum Beispiel gilt für die Quersumme von $87$:

  $8+7=15$.

  Übrigens: $87$ ist durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$.

  Für die Teilbarkeit durch $8$ betrachtest du die letzten drei Stellen einer Zahl. Eine Zahl ist durch $8$ teilbar, wenn ihre letzten drei Stellen durch $8$ teilbar sind.

  Diese Regel kommt in der Aufgabe nicht vor.

  Lösung

  Merke dir die folgenden Teilbarkeitsregeln.

  1. Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet. Eine solche Zahl wird auch gerade genannt. Zahlen, die nicht durch $2$ teilbar sind, werden ungerade genannt.
  2. Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern/Stellen. Die Quersumme von $15$ erhältst du beispielsweise durch $1+5=6$. Da $6$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $15$ durch $3$ teilbar.
  3. Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten beiden Stellen durch $4$ teilbar sind.
  4. Ein Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
  5. Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist. Schaue dir auch hierfür ein Beispiel an. Die Quersumme von $378$ ist $3+7+8=18$. Da $18$ durch $9$ teilbar ist, ist auch $378$ durch $9$ teilbar. Es gilt $42\cdot 9=378$.

• Bestimme zu jeder Zahl die Teilbarkeit.

  Tipps

  Eine Zahl, die durch $4$ teilbar ist, muss gerade sein.

  Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

  Die Quersumme einer Zahl ergibt sich aus der Addition ihrer Ziffern. Die Quersumme von $1254$ ist beispielsweise $1 + 2 + 5 + 4 = 12$.

  Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten beiden Stellen durch $4$ teilbar sind.

  Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.

  Lösung

  Eine Zahl kann durchaus durch mehrere Zahlen teilbar sein. Zum Beispiel ist $12$ durch $2$, $3$, $4$ und $6$ teilbar. Zusätzlich ist die $12$ auch noch durch $1$ und durch sich selbst, also $12$, teilbar. In dieser Aufgabe sollst du immer die größte Zahl auswählen, durch die eine Zahl teilbar ist.

  Wie kannst du eine solche Teilbarkeit prüfen?

  In dieser Aufgabe konzentrieren wir uns auf die Teilbarkeit durch $5$, $4$ und/oder $3$.

  Alle Zahlen, die auf $0$ oder $5$ enden, sind durch $5$ teilbar. Die folgenden Zahlen enden auf $0$ oder $5$, sind also durch $5$ teilbar:

  $15060$, $9245$ und $18250$.

  Alle Zahlen, bei denen die letzten beiden Ziffern durch $4$ teilbar sind, sind durch $4$ teilbar. Hier siehst du die Zahlen, die durch $4$ teilbar sind:

  $428$ und $22104$.

  Um zu testen, ob eine Zahl durch $3$ teilbar ist, musst du die Quersumme berechnen. Wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist, ist auch die Zahl durch $3$ teilbar. Die Quersumme berechnest du, indem du die einzelnen Ziffern einer Zahl addierst. Die folgenden Zahlen sind durch $3$ teilbar:

  $15060$ und $2709$.

  Die Zahl $12043$ ist durch keine der angegebenen Zahlen teilbar. Es handelt sich hierbei sogar um eine Primzahl. Die einzigen beiden Teiler sind $1$ und $12043$.

  Hinweis: Einige der Zahlen in dieser Aufgabe sind durch mehrere angegebene Teiler teilbar. In der Lösung wurde immer nur der größte Teiler angegeben.

• Prüfe die Teilbarkeit durch $6$.

  Tipps

  Nur gerade Zahlen sind durch $2$ teilbar.

  Ist eine Zahl nicht durch $2$ teilbar, dann ist sie auch nicht durch $6$ teilbar.

  Betrachte die jeweilige Quersumme der Zahl. Ist diese durch $3$ teilbar, dann ist auch die Zahl durch $3$ teilbar.

  Lösung

  Zahlen, die durch $2$ teilbar sind, erkennst du daran, dass sie gerade sind, also auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ enden.

  Da alle Zahlen, die durch $6$ teilbar sind, auch durch $2$ teilbar sein müssen, musst du dir nur noch diese anschauen. Ungerade Zahlen können also nicht durch $6$ teilbar sein.

  Es bleiben also noch die folgenden Zahlen:

  $216$, $218$, $222$, $224$, $226$ und $228$.

  Bei den verbleibenden Zahlen berechnest du jeweils die Quersumme. Ist diese durch $3$ teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch $3$ teilbar. Da alle betrachteten Zahlen durch $2$ teilbar sind, folgt damit die Teilbarkeit durch $6$.

  • Die Quersumme von $216$ ist $2+1+6=9$. Diese ist durch $3$ teilbar. Damit ist $216$ auch durch $3$ und somit auch durch $6$ teilbar.
  • Die folgenden Quersummen sind nicht durch $3$ teilbar: $218$ führt zu der Quersumme $2+1+8=11$ und $224$ zu $2+2+4=8$ sowie $226$ zu $2+2+6=10$.
  • Es bleiben noch $222$ mit der Quersumme $2+2+2=6$ und $228$ mit $2+2+8=12$. Beide Quersummen sind durch $3$ teilbar und damit auch die Zahlen selbst. Das bedeutet, dass auch $222$ und $228$ durch $6$ teilbar sind.

• Begründe die Regel für die Teilbarkeit durch $4$.

  Tipps

  Es gilt die Summenregel: Sind zwei Zahlen durch die gleiche Zahl teilbar, dann ist auch die Summe (und die Differenz) dieser Zahlen durch diese Zahl teilbar.

  Jede Hunderterzahl ist durch $4$ teilbar, da $100:4=25$ ist. Damit ist zum Beispiel $1200=12\cdot 100$ ebenfalls durch $4$ teilbar.

  Schau dir ein anderes Beispiel an:

  $116$ ist durch $4$ teilbar, da $16$ durch $4$ teilbar ist. Es gilt $116 = 100 + 16$. Die einzelnen Summanden durch $4$ ergeben:

  $100: 4 = 25$ und $16:4 = 4$.

  Deshalb ist $116$ durch $4$ gleich $25+4=29$.

  Lösung

  Hier siehst du die Teilbarkeitsregel der Zahl $4$:

  Sind die letzten beiden Ziffern einer Zahl durch $4$ teilbar, dann ist auch die Zahl selbst durch $4$ teilbar.

  • Wir beginnen mit zweistelligen Zahlen. Da ist die Aussage klar, da die letzten beiden Stellen gerade die Zahl selbst sind.
  • Für jede drei- oder mehrstellige Zahl kannst du diese als Summe einer Hunderter-(Tausender-, Zehntausender-, ...)Zahl sowie einer zweistelligen Zahl schreiben. Diese zweistellige Zahl besteht aus den letzten beiden Ziffern der Zahl.
  • Schau dir das Beispiel $236=200+36$ an.
  • Jede Hunderterzahl (und damit jede Tausender-, Zehntausender-, ...) ist durch $4$ teilbar. Da auch die letzten beiden Ziffern durch $4$ teilbar sind, ist auch die Summe durch $4$ teilbar.

  Dies schauen wir uns noch bei dem Beispiel an:

  $236:4=200:4+36:4=50+9=59$.

  Zusatz

  Kannst du auch eine solche Teilbarkeitsregel für $8$ finden?

  • Jede Tausenderzahl ist durch $8$ teilbar, denn $1000:8=125$.
  • Damit ist auch jedes Vielfache einer Tausenderzahl durch $8$ teilbar.
  • Es genügt also, die letzten drei Stellen zu betrachten.

  Sind die letzten drei Ziffern durch $8$ teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch $8$ teilbar.

• Gib an, welche der Zahlen durch $2$ teilbar sind.

  Tipps

  Für die Teilbarkeit durch $2$ musst du dir die letzte Stelle, die Einerstelle, anschauen.

  Eine durch $2$ teilbare Zahl ist eine gerade Zahl.

  Jede gerade Zahl endet auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$.

  Lösung

  Um die Teilbarkeit durch $2$ zu überprüfen, musst du dir die letzte Stelle einer Zahl anschauen. Diese Stelle wird auch Einerstelle genannt. Steht dort eine $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$, dann ist die Zahl durch $2$ teilbar. Durch $2$ teilbare Zahlen werden auch gerade Zahlen genannt.

  • $420\color{green}{8}$ endet auf $8$, ist also durch $2$ teilbar.
  • $231\color{red}{5}$ endet auf $5$. Dies ist eine ungerade Zahl. Sie ist also nicht durch $2$ teilbar.
  • $5430\color{green}{0}$ endet auf $0$. Auch diese Zahl ist durch $2$ teilbar.
  • $70\color{red}{1}$ ist wieder eine ungerade Zahl. Sie endet auf $1$, ist also nicht durch $2$ teilbar.

• Entscheide, durch welche Zahlen die gegebenen Zahlen teilbar sind.

  Tipps

  Schaue dir zunächst die letzte Stelle an:

  • Ist diese $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$, dann ist die Zahl durch $2$ teilbar.
  • Ist diese $0$ oder $5$, dann ist die Zahl durch $5$ teilbar.
  • Endet die Zahl auf $0$, so ist die Zahl durch $10$ teilbar.

  Zusätzlich verwendest du die Quersummenregel: Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ ($9$) teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch $3$ ($9$) teilbar.

  Eine Zahl, die gerade und durch $3$ teilbar ist, ist auch durch $6$ teilbar.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollst du Zahlen auf ihre Teilbarkeit überprüfen. Wenn eine Zahl durch mehrere der gegebenen Zahlen teilbar ist, dann gibst du jeweils die größte Zahl an. Deshalb hat es Sinn, bei der Prüfung von der größten zur kleinsten Zahl vorzugehen.

  Teiler von $1234$

  Die Zahl $1234$ endet nicht auf $0$ und ist deshalb nicht durch $10$ teilbar. Die Quersumme von $1234$ ist $1+2+3+4 = 10$. Da $10$ weder durch $9$ noch durch $3$ teilbar ist, sind weder $9$ noch $3$ Teiler von $1234$. Die letzten drei Ziffern von $1234$ sind nicht durch $8$ teilbar. Da $1234$ nicht durch $3$ teilbar ist, kann $1234$ auch nicht durch $6$ teilbar sein. Die Zahl $1234$ endet nicht auf $5$ und ist somit nicht durch $5$ teilbar. Da $34$ nicht durch $4$ teilbar ist, ist $1234$ auch nicht durch $4$ teilbar. Da $4$ durch $2$ teilbar ist, ist $1234$ durch $2$ teilbar. Damit hast du die Lösung gefunden.

  Teiler von $3456$

  Die Zahl $3456$ ist nicht durch $10$ teilbar, da die letzte Ziffer keine $0$ ist. Die Quersumme $3+4+5+6 = 18$ ist durch $9$ teilbar. Damit hast du den größten der aufgezählten Teiler schon gefunden.

  Teiler von $6789$

  Da $6789$ ungerade ist, können wir die Teiler $2$, $4$, $6$, $8$ und $10$ direkt ausschließen. Bleibt nur noch die Teilbarkeit durch $3$, $5$ oder $9$. Da die Zahl nicht auf $5$ (und auch nicht auf $0$) endet, kann sie nicht durch $5$ teilbar sein. Die Quersumme ist $6+7+8+9=30$. Diese ist durch $3$, allerdings nicht durch $9$, teilbar. Das heißt, dass $6789$ nur durch $3$ teilbar ist.

  Teiler von $7890$

  Da die Zahl auf $0$ endet, ist $7890$ durch $10$ teilbar. Alle anderen Teiler benötigst du in dieser Aufgabe nicht.

  Teiler von $1524$

  Die Zahl ist nicht durch $10$ teilbar. Die Quersumme lautet $1+5+2+4 = 12$ und ist durch $3$, aber nicht durch $9$ teilbar. Da $524$ nicht durch $8$ teilbar ist, ist auch $1524$ nicht durch $8$ teilbar. Um zu prüfen, ob die Zahl durch $6$ teilbar ist, müssen wir auf die Teilbarkeit von $3$ und $2$ prüfen. Die Teilbarkeit von $3$ haben wir bereits nachgewiesen. Da $4$ durch $2$ teilbar ist, ist $1524$ auch durch $2$ teilbar. Somit ist die Teilbarkeit durch $6$ gegeben.