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Teilbarkeitsregeln – Teilbarkeit durch 3 09:06 min

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Transkript Teilbarkeitsregeln – Teilbarkeit durch 3

Hallo, da bin ich wieder, eure Sabine Blumenthal. Ich zeige dir hier hier noch einmal ein Video zu den Teilbarkeitsregeln. Ganz speziell geht es wieder um die Quersummenregel. Du lernst mit diesem Video die Teilbarkeitsregel für die Teilbarkeit durch drei. Damit du alles verstehst, was ich dir heute erkläre, wäre es gut, wenn du einiges bereits weißt. So solltest du einige Grundbegriffe der Teilbarkeit kennen. Ganz besonders brauchen wir heute die Begriffe „Teiler‟, „teilbar‟ und „Quersumme‟. Da es heute speziell um die Teilbarkeit durch drei geht, habe ich hier schonmal einige Vielfache der drei aufgeschrieben. Denn Vielfache von drei sind ja auf jeden Fall durch drei teilbar. Nun schaue ich, ob vielleicht bei diesen Vielfachen ein Muster oder eine Gemeinsamkeit bei den Endziffern zu erkennen ist. Tja, schade, bei den Vielfachen der Drei ist leider kein Muster und keine Gemeinsamkeit bei den Endziffern erkennbar. Also versuche ich es wie bei der Teilbarkeit durch neun mit der Zerlegung in Summen mit Vielfachen der Neun. Das macht Sinn, denn die Drei ist ein Teiler der Neun und daraus folgt: Die Drei ist auch ein Teiler aller Vielfachen von neun. Die Zerlegung in Summen könnte also klappen. Ich beginne erstmal mit einer nicht so sehr großen Zahl und überlege, ist 876 durch drei teilbar? Ich zerlege die Zahl in 8•100, 7•10 und die sechs Einer. Nun schreibe ich diese Zerlegung als Vielfache von neun und die dabei entstehenden Reste schreibe ich als rote Zahlen. Also 8•99+8+7•9+7 und wieder die sechs Einer. Die Produkte, also 8•99 und 7•9, schreibe ich nun nach vorn. Sie sind Vielfache der Neun und deshalb auch Vielfache der Drei. Die roten Zahlen, also die Reste, schreibe ich zusammen als Summe in eine Klammer. Mein erster und zweiter Summand, also 8•99 und 7•9, sind durch drei teilbar, denn 99 und auch neun sind durch drei teilbar. Ich muss also jetzt noch überprüfen, ob mein dritter Summand durch drei teilbar ist. Ich berechne also den Klammerausdruck 8+7+6 und erhalte 21. Drei ist ein Teiler der 21. Daraus folgt: Drei ist auch ein Teiler von 876, denn alle drei Summanden sind durch drei teilbar. Vergleiche nun einmal ganz genau die roten Zahlen in der Klammer mit den einzelnen Ziffern der Zahl 876. Du siehst, dass diese roten Zahlen, also die Reste die bei unserer Zerlegung entstanden sind, genau die Ziffern der Zahl 876 sind. Mit dieser Summe in der Klammer haben wir also die Quersumme von 876 gebildet. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an: Ist 4713 durch drei teilbar? Ich zerlege die Zahl zuerst wieder in Vielfache von Zehnerzahlen oder auch von Zehnerpotenzen. Also 4•1000, 7•100, 1•10 und zum Schluss die drei Einer. Diese Produkte schreibe ich nun als Vielfache von neun und jeweils einen Rest. Nun sortiere ich die einzelnen Summanden wieder um. Die Vielfachen der Neun kommen nach vorn und die rot geschriebenen Reste gemeinsam als Summe in eine Klammer. Ich addiere die roten Zahlen in der Klammer und erhalte 15. Die Quersumme meiner Zahl 4713 ist also 15. Ich prüfe ob 15 durch drei teilbar ist. Drei ist ein Teiler von 15. Daraus folgt: Drei ist auch ein Teiler von 4713. Nun können wir eine Regel für die Teilbarkeit durch drei formulieren. Eine natürliche Zahl ist durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme eine durch drei teilbare Zahl ist. Hier siehst du noch ein paar Beispiele zu dieser Regel. Ist 728 teilbar durch drei? Du berechnest die Quersumme. Also 7+2+8=17. Drei ist kein Teiler von 17. Daraus folgt: Drei ist auch kein Teiler von 728. 728 ist daher nicht durch drei teilbar. Ist 50133 durch drei teilbar? Du errechnest die Quersumme schnell im Kopf. Sie beträgt zwölf. Drei ist ein Teiler von zwölf. Daraus folgt: Drei ist auch ein Teiler von 50133. Also ist 50133 teilbar durch drei. Hier noch ein sehr wichtiger Merksatz für dich: Jede durch neun teilbare Zahl ist immer auch durch drei teilbar. Warum das so ist? Nun, du weißt doch, dass die Drei ein Teiler von neun ist. Das heißt, wenn eine Zahl also durch neun teilbar ist, dann muss sie auch durch drei teilbar sein. Doch Achtung! Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Wenn eine Zahl also durch drei teilbar ist, muss sie nicht unbedingt auch durch neun teilbar sein. Schau dir dazu diese Beispiele an. Die Quersumme von 4014 ist neun. Daraus folgt: Neun ist ein Teiler von 4014 und daraus folgt, drei ist ein Teiler von 4014. Die Quersumme von 7812 ist gleich 18. Daraus folgt: Drei ist ein Teiler von 7812 und neun ist ein Teiler von 7812, denn drei teilt 18 und neun teilt 18. Die Quersumme von 24375 ist 21. Daraus folgt: Drei ist ein Teiler von 24375. Aber neun ist kein Teiler von 24375, denn drei ist ein Teiler von 21, aber neun ist kein Teiler von 21. Fassen wir nun kurz zusammen, was du heute gelernt hast: Du weißt jetzt, dass die Quersumme einer Zahl ein Prüfmerkmal für ihre Teilbarkeit durch drei ist. Die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch drei liegt vor, wenn die Quersumme dieser Zahl durch drei teilbar ist. Weil drei ein Teiler von neun ist, sind durch neun teilbare Zahlen auch durch drei teilbar. Na, alles klar zur Teilbarkeit durch drei? Prima, dann tschüss, bis zum nächsten Mal.

15 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Weidemann Tiefbau, vor etwa 2 Monaten
  2. Verstehe das Video ist sehr einfach fur 1 2 3 klässler ist es eher schwierig

    Von norbu D., vor 9 Monaten
  3. ist aber ok für 1 klässler

    Von Anton C., vor etwa einem Jahr
  4. nicht gut

    Von Anton C., vor etwa einem Jahr
  5. :)
    :):):):):):):):):):):):):):):):):):):):):)

    Von Lackina, vor mehr als einem Jahr
  1. jetzt weis ich wieder wie das ging gutes video:)

    Von juli01xyx r., vor etwa 2 Jahren
  2. Zu kompliziert

    Von Jason W., vor mehr als 2 Jahren
  3. um erlich zu sein, ich fand es sehr kompliziert. in der Schule haben wir das viel einfacher gelernt. wir haben einfach die Ziffern zusammen gezählt und nicht noch irgendwas mal gerechnet.

    Von Moeller St, vor mehr als 2 Jahren
  4. Das Video hat mir sehr geholfen, die Teilbarkeitsregeln zu verstehen.

    Von Exhartmann, vor mehr als 2 Jahren
  5. Gut gemacht!Gut gedacht!Das hat mich ziemlich schlau gemacht:D

    Von Rombi Bobby, vor etwa 3 Jahren
  6. super gut hat mir geholtfen

    Von Strumms, vor etwa 3 Jahren
  7. Ich habe mich nicht getraut meine Lehrerin zu fragen weil sie immer so schnell sauer wird,deswegen bin ich froh das ich dieses Video gesehen habe weil jetzt weis ich auch was das ggT ist Danke

    Von Lea-Sophie G., vor fast 4 Jahren
  8. das viedio is gut damit kann man lernen ps. selma

    Von Selma For Me, vor fast 4 Jahren
  9. gut

    Von Plieth, vor etwa 4 Jahren
  10. :D

    Von Biene M., vor etwa 6 Jahren
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Teilbarkeitsregeln – Teilbarkeit durch 3 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilbarkeitsregeln – Teilbarkeit durch 3 kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du die Teilbarkeit von $876$ durch $3$ überprüfen kannst.

    Tipps

    Verwende das Distributivgesetz:

    $5\cdot (99+1)=5\cdot 99 +5\cdot 1$

    Bei einer dreistelligen Zahl ist die erste Stelle (von links) die Hunderter-, die zweite die Zehner- und die dritte Stelle die Einerstelle.

    Lösung

    Wie kannst du eine Zahl auf Teilbarkeit durch $3$ überprüfen?

    Zuerst schauen wir uns Vielfache der $3$ an, um evtl. eine Regelmäßigkeit bei den Endziffern festzustellen:

    $V_{3}=\{3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...\}$

    Da kommt jede Endziffer von $0$ bis $9$ vor. Das scheint nicht zu gehen.

    Wir verwenden die folgenden Eigenschaft: Jede durch $9$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar. Warum ist das so? Wenn eine Zahl $x$ durch $9$ teilbar ist, kannst du ebenso zweimal durch $3$ teilen. Dies gilt, da $3\cdot 3 = 9$ ist.

    Nun geht's los:

    • Schreibe $876$ als Summe. Du erhältst $8\cdot 100+7\cdot 10+6$.
    • Es ist $100=99+1$ und $10=9+1$. So erhältst du $876=8\cdot 99+8+7\cdot 9+7+6$.
    • Sortiere die Summanden noch um. Das ergibt $876=8\cdot 99+7\cdot 9+(8+7+6)$.
    • Die Summe der beiden ersten Summanden $8\cdot 99+7\cdot 9$ ist sicher durch $9$ teilbar und damit auch durch $3$. Wenn nun auch die Summe $8+7+6$ durch $3$ teilbar ist, hast du gezeigt, dass $876$ durch $3$ teilbar ist.
    • Es ist $8+7+6=21$. Da $7\cdot 3=21$ ist, ist $21$ durch $3$ teilbar.
    Nun weißt du, dass $876$ durch $3$ teilbar ist.

    Fällt dir etwas bei der Summe $8+7+6$ auf? Die Summanden sind die einzelnen Stellen der Zahl $876$. Diese Summe hat einen bestimmten Namen. Sie wird Quersumme der Zahl genannt.

  • Bestimme die Quersumme von $728$ und prüfe, ob $728$ durch $3$ teilbar ist.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du mathematisch ausdrücken kannst, dass eine Zahl eine andere teilt. Schau dir die Gleichung $3\cdot 8 = 24$ an. Also sind $3$ und $8$ Teiler von $24$. Du schreibst dies so:

    $3 \mid 24$ bzw. $8 \mid 24$

    Die Zahl $25$ ist zum Beispiel nicht durch $3$ teilbar. Dies schreibst du so:

    $3 \nmid 25$

    Die Berechnung einer Quersumme kannst du hier am Beispiel $234$ sehen:

    • Addiere die einzelnen Stellen zu $2+3+4=9$.
    • Die Quersumme von $234$ ist $9$.
    Übrigens: Da $9$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $234$ durch $3$ teilbar.

    Lösung

    Eine der Quersummenregeln besagt: Eine natürliche Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme eine durch $3$ teilbare Zahl ist.

    Das üben wir einmal mit der Zahl $728$.

    • Bestimme die Quersumme. Addiere hierfür die einzelnen Stellen zu $7+2+8=17$.
    • Ist diese Quersumme durch $3$ teilbar? $17:3=5$ Rest $2$. Somit ist $17$ nicht durch $3$ teilbar.
    • Damit kann auch $728$ nicht durch $3$ teilbar sein.
    Dies schreibst du dann so:

    $3 \nmid 728$

  • Gib die Teilbarkeitsregel für die Teilbarkeit durch $3$ an.

    Tipps

    Überlege dir Beispiele mit zweistelligen Zahlen, von denen du weißt, dass sie durch $3$ teilbar sind, und prüfe ihre Quersumme:

    $24$; $39$; $54$; ...

    Was ist eine Quersumme? Die Quersumme einer Zahl ist die Summe der einzelnen Stellen dieser Zahl.

    Das schauen wir uns am Beispiel der Zahl $111$ an:

    Die Quersumme ist $1+1+1=3$.

    Wenn du die einzelnen Stellen $111$ multiplizierst, erhältst du $1$.

    Da $1$ nicht durch $3$ teilbar ist, wäre mit der „Querproduktregel“ auch $111$ nicht durch $3$ teilbar.

    $111$ ist durch $3$ teilbar, denn:

    $37\cdot 3=111$

    Lösung

    Für die Teilbarkeit durch $3$ verwendest du die Quersummenregel. Dabei wird die Quersumme der zu untersuchenden Zahl betrachtet. Die Quersumme einer Zahl erhältst du, indem du einzelnen Ziffern der Zahl addierst.

    Schau dir dies an einem Beispiel an. Die Quersumme von $50133$ ist $5+0+1+3+3=12$.

    Es gilt folgende Regel:

    Eine natürliche Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme eine durch $3$ teilbare Zahl ist.

    Nun können wir die Zahl $50133$ auf Teilbarkeit durch $3$ untersuchen:

    • Die Quersumme haben wir bereits berechnet. Sie ist $12$.
    • Da $4\cdot 3=12$ ist, ist $12$ durch $3$ teilbar. Mathematisch drückst du das durch den Ausdruck $3 \mid 12$ aus.
    • Nun weißt du, dass auch $50133$ durch $3$ teilbar ist.
    Diese Information kann nützlich sein, wenn du die Division $50133:3$ berechnen willst, da du nun schon weißt, dass es keinen Rest geben wird.

  • Leite jeweils die fehlende Stelle her, so dass die Zahl durch $3$ teilbar ist.

    Tipps

    Das Doppelte einer Zahl ist nur dann durch $3$ teilbar, wenn die Zahl selbst durch $3$ teilbar ist.

    Bilde jeweils die Quersumme der bekannten Stellen. Wenn du dann die unbekannte Stelle addierst, muss die Summe durch $3$ teilbar sein.

    Schau dir ein Beispiel anhand von der Zahl $25x7$ an:

    Die Quersumme lautet $2+5+x+7 = 14+x$. Diese Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn $x$ einen der folgenden Werte annimmt:

    • $x=1$ führt zu $14+1 = 15$. Da $15$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $2517$ durch $3$ teilbar.
    • $x=4$ führt zu $14+4 = 18$. Da $18$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $2547$ durch $3$ teilbar.
    • $x=7$ führt zu $14+7 = 21$. Da $21$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $2577$ durch $3$ teilbar.
    Lösung

    In dieser Aufgabe findest du einige Zahlen, bei denen eine oder zwei Stellen unbekannt sind.

    Auch dabei gilt, dass die Quersumme durch $3$ teilbar sein muss, damit die Zahl selbst durch $3$ teilbar ist.

    Beispiel 1: $12xx$

    Die letzten beiden Stellen stimmen überein.

    • Die Quersumme der bekannten Stellen ist $1+2=3$. Diese Quersumme ist sicher durch $3$ teilbar.
    • Das bedeutet, dass auch $x+x=2x$ durch $3$ teilbar sein muss.
    • Das Doppelte einer Zahl ist nur dann durch $3$ teilbar, wenn die Zahl selbst durch $3$ teilbar ist.
    Dies führt zu $x\in\{0;3;6;9\}$.

    Zum Beispiel ist $1266$ durch $3$ teilbar.

    Beispiel 1: $317x$

    • Die Quersumme der bekannten Stellen ist $3+1+7=11$.
    • Welche Zahl musst du zu $11$ addieren, damit die Summe durch $3$ teilbar ist?
    • $11+1=12$, $11+4=15$ und $11+7=18$.
    • Das bedeutet, dass $x\in\{1;4;7\}$ gilt.
    Zum Beispiel ist $3177$ durch $3$ teilbar.

    Beispiel 3: $6421x9$

    • Auch hier berechnest du die Quersumme der bekannten Stellen. Das ergibt $6+4+2+1+9=22$.
    • So erhältst du für $x$ die möglichen Ziffern $2$, $5$ oder $8$.
    Zum Beispiel ist $642189$ durch $3$ teilbar.

  • Prüfe, welche der Zahlen durch $3$ teilbar sind.

    Tipps

    Verwende die Quersummenregel für die Zahl $3$:

    • Berechne die Quersumme der jeweiligen Zahl.
    • Prüfe, ob die Quersumme durch $3$ teilbar ist.
    • Wenn dies der Fall ist, ist auch die Zahl selbst durch $3$ teilbar. Andernfalls liegt keine Teilbarkeit vor.

    Schau dir dies am Beispiel $456$ an:

    • Die Quersumme ist $4+5+6=15$.
    • Es ist $5\cdot 3=15$. Die Quersumme ist also durch $3$ teilbar.
    • Somit ist auch $456$ durch $3$ teilbar.

    Es sind zwei der sechs Zahlen durch $3$ teilbar.

    Lösung

    Um die Teilbarkeit einer gegebenen Zahl durch $3$ zu untersuchen, berechnest du immer erst einmal die Quersumme dieser Zahl. Ist diese durch $3$ teilbar, dann ist auch die Zahl selbst durch $3$ teilbar.

    Das schauen wir uns an einigen Beispielen an:

    • $245$: Die Quersumme lautet $2+4+5=11$. Da $11$ nicht durch $3$ teilbar ist, ist auch $245$ nicht durch $3$ teilbar.
    • $247$: Die Quersumme ist $2+4+7=13$. Auch $13$ ist nicht durch $3$ teilbar. Damit ist auch $247$ nicht durch $3$ teilbar.
    • $249$: Hier ist die Quersumme $2+4+9=15$. Die Zahl $15$ ist durch $3$ teilbar. Das bedeutet, dass auch $247$ durch $3$ teilbar ist.
    • $253$: Die Quersumme $2+5+3=10$ ist nicht durch $3$ teilbar. Somit ist auch $253$ nicht durch $3$ teilbar.
    • $255$: Hier erhältst du die Quersumme $2+5+5=12$. Diese ist durch $3$ teilbar. So kannst du folgern, dass auch $255$ durch $3$ teilbar ist.
    • $257$: Noch einmal berechnest du die Quersumme. Es ergibt sich $2+5+7=14$. Da $14$ nicht durch $3$ teilbar ist, ist auch $257$ nicht durch $3$ teilbar.
  • Untersuche die Zahlen auf Teilbarkeit durch $3$.

    Tipps

    Um die Quersumme zu erhalten, addierst du die einzelnen Stellen einer Zahl.

    Ist die Quersumme zweistellig, kannst du für die Quersummenregeln nochmals die Quersumme bilden.

    Schau dir zum Beispiel die Zahl $234567$ an:

    • Die Quersumme ist $2+3+4+5+6+7=27$.
    • Die Quersumme von $27$ ist $2+7=9$.
    • Da $9$, die Quersumme von $27$, durch $3$ teilbar ist, ist auch $27$ durch $3$ teilbar.
    • Da $27$, die Quersumme von $234567$, durch $3$ teilbar ist, ist auch $234567$ durch $3$ teilbar.
    Lösung

    Schau dir noch einmal das allgemeine Vorgehen beim Untersuchen einer Zahl auf Teilbarkeit durch $3$ an.

    1. Berechne die Quersumme der Zahl.
    2. Ist die Quersumme durch $3$ teilbar?
    3. Falls ja, dann ist auch die Zahl selbst durch $3$ teilbar. Falls nein, dann ist auch die Zahl selbst nicht durch $3$ teilbar.
    Dies siehst du hier in genau dieser Abfolge an drei Beispielen.

    Beispiel 1: $1234$

    1. Die Quersumme ist $1+2+3+4=10$.
    2. $10$ ist nicht durch $3$ teilbar.
    3. Damit ist auch $1234$ nicht durch $3$ teilbar.
    Beispiel 2: $12345$

    1. Die Quersumme ist $1+2+3+4+5=15$.
    2. Es gilt $15=5\cdot 3$, also ist $15$ durch $3$ teilbar.
    3. Damit ist auch $12345$ durch $3$ teilbar.
    Beispiel 3: $123456$

    1. Die Quersumme ist $1+2+3+4+5+6=21$.
    2. Es gilt $21=7\cdot 3$. Also ist $21$ durch $3$ teilbar.
    3. Auch $123456$ ist durch $3$ teilbar.