Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (2)

Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (2) Übung

• Vervollständige die Teilbarkeitsregeln.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für die Teilbarkeit durch $4$:

  $5128$ ist durch $4$ teilbar, da $4\mid 28$ ist. Denn es gilt $4\cdot 7=28$.

  Schau dir die Vielfachenmenge von $25$ an:

  $V_{25}=\{0;\,25;\,50;\,75;\,....;\,775;\,800;\,825;\,...\}$

  Prüfe diese Menge mit Hilfe der Teilbarkeitsregel.

  Eine Hunderterzahl ist eine Zahl, die auf zwei Nullen endet. Eine Tausenderzahl ist analog dazu eine Zahl, die auf drei Nullen endet:

  • Jede Hunderterzahl ist durch $4$ sowie $25$ teilbar. Zum Beispiel ist $500$ eine Hunderterzahl.
  • Jede Tausenderzahl ist (zusätzlich) durch $8$ und $125$ teilbar. $66000$ ist ein Beispiel für eine Tausenderzahl.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um Teilbarkeitsregeln, bei denen du auf mehrere Ziffern am Ende einer Zahl achten muss.

  Hier siehst du die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen $4$; $8$; $25$ sowie $125$ auf einem Blick. All diese Teilbarkeitsregeln sind Endziffernregeln. Es werden also die Zahlen betrachtet, die aus den zwei (oder drei) letzten Ziffern einer Zahl gebildet werden:

  Teilbarkeit durch $4$

  Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn die Zahl, die durch die letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch $4$ teilbar oder $00$ ist.

  Teilbarkeit durch $8$

  Eine Zahl ist durch $8$ teilbar, wenn die Zahl, die durch die letzten drei Ziffern gebildet wird, durch $8$ teilbar oder $000$ ist.

  Teilbarkeit durch $25$

  Eine Zahl ist durch $25$ teilbar, wenn die Zahl, die durch die letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch $25$ teilbar oder $00$ ist.

  Teilbarkeit durch $125$

  Eine Zahl ist durch $125$ teilbar, wenn die Zahl, die durch die letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch $125$ teilbar oder $000$ ist.

• Gib an, welche Aussagen zur Teilbarkeit richtig sind.

  Tipps

  Ein Vielfaches von $4$ oder $8$ muss auf jeden Fall gerade sein.

  • Bilden die letzten beiden (drei) Ziffern einer Zahl eine durch $4$ ($8$) teilbare Zahl, so ist die Zahl selbst durch $4$ ($8$) teilbar.
  • Bilden die letzten beiden (drei) Ziffern einer Zahl eine durch $25$ ($125$) teilbare Zahl, so ist die Zahl selbst durch $25$ ($125$) teilbar.

  Die letzten beiden Ziffern von $832$ bilden die Zahl $32$. Da diese durch $4$ teilbar ist, ist auch $832$ durch $4$ teilbar.

  Die letzten drei Ziffern der Zahl $1234500$ bilden die Zahl $500$. Es ist $4\cdot 125=500$. Das bedeutet, dass $500$ durch $125$ teilbar ist und somit auch $1234500$.

  Lösung

  Im Folgenden betrachten wir Beispiele für die erlernten Teilbarkeitsregeln. Dabei werden jeweils die letzten beiden (Teilbarkeit durch $4$ sowie $25$) oder die letzten drei Ziffern (Teilbarkeit durch $8$ sowie $125$) betrachtet.

  • Die letzten beiden Ziffern von $90715$ bilden die Zahl $15$, welche nicht durch $4$ teilbar ist. Damit ist auch $90715$ nicht durch $4$ teilbar.
  • Die letzten drei Ziffern der Zahl $3956832$ bilden die Zahl $832$. Es ist $8\cdot 104=832$. Das bedeutet, dass $832$ und damit auch $3956832$ durch $8$ teilbar sind.
  • Da $8\cdot 125=1000$ ist, ist $1000$ durch $8$ teilbar.
  • Die letzten beiden Ziffern von $3850$ bilden die Zahl $50$. Diese ist durch $25$ teilbar. Somit ist auch $3850$ durch $25$ teilbar.
  • Die letzten drei Ziffern von $7875$ bilden die Zahl $875$. Es ist $7\cdot 125=875$. Das bedeutet, dass $7875$ durch $125$ teilbar ist.
  • Die letzten drei Ziffern von $12250$ bilden die Zahl $250$, welche durch $125$ teilbar ist. Denn es ist $2\cdot 125=250$. Damit ist auch $12250$ durch $125$ teilbar.

• Prüfe auf Teilbarkeit durch $4$.

  Tipps

  Schau dir am Beispiel von $45678$ an, wie du die letzten beiden Ziffern herausfindest:

  • Die letzten beiden Ziffern sind grün markiert $456\color{green}{78}$.
  • Sie bilden die Zahl $\color{green}{78}$.

  Da $78$ nicht durch $4$ teilbar ist, ist auch $45678$ nicht durch $4$ teilbar.

  Lösung

  Die Endziffernregel für die Teilbarkeit durch $4$ besagt: Jede Zahl, deren letzten beiden Ziffern eine durch $4$ teilbare Zahl bilden, ist selbst durch $4$ teilbar.

  Du musst also ausschließlich die letzten beiden Ziffern, genauer, die Zahl, die durch diese gebildet wird, betrachten.

  Das schauen wir uns im Folgenden an Beispielen an:

  Beispiel 1: $712$

  • Markiere die letzten beiden Ziffern $7\color{green}{12}$. Sie bilden die Zahl $\color{green}{12}$.
  • Da $12$ durch $4$ teilbar ist, ist auch $712$ durch $4$ teilbar.

  Beispiel 2: $13426$

  • Markiere wieder die letzten beiden Ziffern $7\color{green}{26}$. Diese bilden die Zahl $\color{green}{26}$.
  • $26$ ist nicht durch $4$ teilbar. Damit ist auch $13426$ nicht durch $4$ teilbar.

  Beispiel 3: $14567844$

  • Du markierst auch hier die letzten beiden Ziffern $145678\color{green}{44}$. So erhältst du die Zahl $\color{green}{44}$.
  • Da $44$ durch $4$ teilbar ist, ist auch $14567844$ durch $4$ teilbar.

  Das prüfen wir mal mit dem Taschenrechner $14567844:4=3641961$. Super!

  Leider nimmt dir diese Regel nicht die Rechnung ab. Du kannst damit allerdings erkennen, ob Teilbarkeit durch $4$ vorliegt.

  Das hilft dir beispielsweise, wenn diese Zahl im Zähler eines Bruchs vorkommt und im Nenner ebenfalls eine durch $4$ teilbare Zahl existiert. Dann weißt du direkt, dass du kürzen kannst.

• Untersuche die folgenden Aussagen zur Teilbarkeit.

  Tipps

  Jede Zahl, deren letzten beiden Ziffern $00$ sind, ist eine Hunderterzahl.

  Analog dazu ist jede Zahl, die auf $000$ endet, eine Tausenderzahl.

  Wir schauen uns die Begründung am Beispiel von $525$ an:

  • Es gilt $525=500+25$.
  • Es ist $500:25=20$ sowie $25:25=1$.
  • Somit sind beide Summanden durch $25$ teilbar.
  • Damit ist $525=20\cdot 25+1\cdot 25=(20+1)\cdot 25=21\cdot 25$.

  Im letzten Schritt haben wir das Distributivgesetz angewendet.

  Wir schauen uns die Teilbarkeit durch $4$ an:

  • Jede Hunderterzahl ist durch $4$ teilbar. Zum Beispiel ist $500:4=125$.
  • Wir betrachten die Zahl $124=100+24$.
  • Die Zahl $100$ ist durch $4$ teilbar. Das gilt auch für die Zahl $24$.
  • Es ist $100:4=25$ und $24:4=6$. Somit ist $124:4=25+6=31$.

  Lösung

  Warum gelten eigentlich die Endziffernregeln?

  Wir schauen uns dies am Beispiel der Teilbarkeit durch $8$ sowie durch $25$ an.

  Die Regel für die Teilbarkeit durch $8$ lautet:

  Eine Zahl ist durch $8$ teilbar, wenn die aus den letzten $3$ Ziffern gebildete Zahl durch $8$ teilbar ist.

  Für alle Zahlen mit höchstens drei Stellen ist dies klar. Wie sieht es mit Zahlen aus, die mehr als drei Stellen haben?

  • Jede Zahl mit mehr als drei Stellen lässt sich schreiben als Summe einer Tausenderzahl sowie einer dreistelligen Zahl.
  • Jede Tausenderzahl ist durch $8$ teilbar, da $1000:8=125$ ist. Somit ist ein Vielfaches von $1000$ geteilt durch $8$ das Vielfache mal $125$.
  • Ist nun die dreistellige Zahl, die aus den letzten drei Stellen gebildet wird, ebenfalls durch $8$ teilbar, gilt: Beide Summanden sind durch $8$ teilbar.
  • Es gilt immer: Sind zwei Summanden durch eine Zahl $t$ teilbar, dann ist auch die Summe durch diese Zahl $t$ teilbar.

  Damit haben wir diese Teilbarkeitsregel begründet.

  Ebenso kann die Teilbarkeitsregel für die Teilbarkeit durch $25$ nachgewiesen werden. Die Regel lautet:

  Eine Zahl ist durch $25$ teilbar, wenn die aus den letzten $2$ Ziffern gebildete Zahl durch $25$ teilbar ist.

  Wir betrachten Zahlen mit mehr als $2$ Stellen.

  • Hier verwendest du, dass jede Hunderterzahl durch $25$ teilbar ist, da $100:25 = 4$ gilt.
  • Jede Zahl mit mehr als $2$ Stellen lässt sich als Summe einer Hunderterzahl sowie einer zweistelligen Zahl schreiben.
  • Ist die zweistellige Zahl durch $25$ teilbar, dann gilt dies auch für die Summe.

• Fasse zusammen, wie viele Stellen man für die jeweilige Teilbarkeitsregel benötigt.

  Tipps

  Für die Teilbarkeit durch $2$ betrachtest du die letzte Stelle.

  • $4=2^{2}$
  • $8=2^{3}$

  Für die Teilbarkeit durch $5$ betrachtest du die letzte Stelle.

  • $25=5^{2}$
  • $125=5^{3}$

  Lösung

  Bei den Endziffernregeln werden die Teilbarkeiten durch Zahlen durch die Endziffern erklärt. Dabei werden je nach Regel unterschiedlich viele Endziffern betrachtet.

  Teilbarkeit durch $2$

  Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn die letzte Ziffer durch $2$ teilbar ist. Bei dieser Regel wird nur die letzte Ziffer betrachtet.

  • Bei der Teilbarkeit durch $4$ betrachtest du die letzten beiden Ziffern. Wenn die Zahl, die sich durch diese beiden Ziffern ergibt, durch $4$ teilbar ist, so ist die ganze Zahl durch $4$ teilbar.
  • Bei der Teilbarkeit durch $8$ betrachtest du die letzten drei Ziffern. Wenn die Zahl, die sich durch diese drei Ziffern ergibt, durch $8$ teilbar ist, so ist die ganze Zahl durch $8$ teilbar.
  • Bei der Teilbarkeit durch $25$ betrachtest du die letzten beiden Ziffern. Wenn die Zahl, die sich durch diese beiden Ziffern ergibt, durch $25$ teilbar ist, so ist die ganze Zahl durch $25$ teilbar.
  • Bei der Teilbarkeit durch $125$ betrachtest du die letzten drei Ziffern. Wenn die Zahl, die sich durch diese beiden Ziffern ergibt, durch $125$ teilbar ist, so ist die ganze Zahl durch $125$ teilbar.

• Entscheide, durch welche Zahl die gegebene Zahl teilbar ist.

  Tipps

  Schau dir ein Beispiel an: $1000$.

  Diese Zahl ist durch $4$; $8$; $25$ und $125$ teilbar. Du ordnest sie dann dem Teiler $125$ zu.

  Betrachte für die Teilbarkeit durch $4$ oder $25$ die letzten beiden Ziffern. Ist die Zahl, welche durch diese Ziffern gebildet wird, durch $4$ ($25$) teilbar oder die $00$, so ist auch die Zahl selbst durch $4$ ($25$) teilbar.

  Betrachte für die Teilbarkeit durch $8$ oder $125$ die letzten drei Ziffern. Ist die Zahl, welche durch diese Ziffern gebildet wird, durch $8$ ($125$) teilbar oder die $000$, so ist auch die Zahl selbst durch $8$ ($125$) teilbar.

  Lösung

  Teilbarkeit durch $4$ ... aber durch keine der anderen drei Zahlen

  • $128\color{green}{28}$: Die letzten beiden Ziffern bilden die Zahl $\color{green}{28}$, eine durch $4$ teilbare Zahl. Also ist $12828$ durch $4$ teilbar.
  • $198\color{green}{76}$: Die letzten beiden Ziffern bilden die Zahl $\color{green}{76}$, eine durch $4$ teilbare Zahl. Also ist $19876$ durch $4$ teilbar.

  Teilbarkeit durch $8$ ... aber nicht durch $25$ oder $125$

  Sicher ist jede dieser Zahlen auch durch $4$ teilbar:

  • $12\color{green}{824}$: Die letzten drei Ziffern bilden die Zahl $\color{green}{824}$. Diese ist eine durch $8$ teilbare Zahl. Damit ist auch $12824$ durch $8$ teilbar.
  • $19\color{green}{872}$: Deren letzten drei Ziffern bilden die Zahl $\color{green}{872}$, welche durch $8$ teilbar ist. Also ist $19872$ durch $8$ teilbar.

  Beachte: Zahlen, die durch $25$ oder $125$ teilbar sein sollen, müssen auf jeden Fall auf $0$ oder $5$ enden. Damit können alle bisherigen Zahlen sicherlich weder durch $25$ noch durch $125$ teilbar sein.

  Teilbarkeit durch $25$ ... allerdings nicht durch $125$

  • $128\color{green}{50}$: Da die letzten beiden Ziffern die Zahl $50$, eine durch $25$ teilbare Zahl, bilden, ist $12850$ durch $25$ teilbar.
  • $129\color{green}{00}$: Die letzten beiden Ziffern sind $00$. Damit ist diese Zahl durch $25$ teilbar.

  Teilbarkeit durch $125$

  Die beiden verbleibenden Zahlen sind durch $125$ teilbar:

  • $12\color{green}{875}$: Die letzten drei Ziffern bilden die Zahl $\color{green}{875}$, eine durch $125$ teilbare Zahl. Also ist $12875$ durch $125$ teilbar.
  • $19\color{green}{750}$: Die letzten drei Ziffern bilden die Zahl $\color{green}{750}$. Da diese Zahl durch $125$ teilbar ist, ist auch $19750$ durch $125$ teilbar.