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Reifeprüfung Mathematik – Ungleichung 05:32 min

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Transkript Reifeprüfung Mathematik – Ungleichung

Hallo, wir machen eine Aufgabe, wie sie in der schriftlichen Reifeprüfung in Mathematik im ersten Teil vorkommen kann, es geht um Ungleichungen und um das mal ein bisschen zu illustrieren, haben wir hier diesen Himmelsstürmer. Das ist eine Skulptur, die steht vor dem Kasseler Bahnhof, ist dort im Zuge einer Documenta mal hingestellt worden und der Künstler ist Jonathan Borowski. Der Himmelsstürmer guckt nicht nach unten, deshalb gibt es einen Bereich unterhalb seines Weges, den er nicht sehen kann und der ist hier grün markiert. Der Himmelsstürmer guckt nur nach oben und deshalb kann er nur diesen Bereich hier, der in den lustigen Regenbogenfarben markiert ist, sehen und dieser Bereich, den wir uns jetzt hier zweidimensional vorstellen wollen, ist eine Halbebene. Also die Halbebene oberhalb des Weges des Himmelsstürmers. Und diese Halbebene soll nun durch eine Ungleichung beschrieben werden. Um das hier zu berechnen, brauchen wir natürlich noch ein paar Angaben und die haben wir auch. Wir haben eine y-Achse und eine x-Achse und hier ist ein Punkt gegeben, nämlich der Punkt (0|13), das ist in dem Fall buchstäblich zu nehmen der Fußpunkt des Himmelsstürmers. Und wir haben einen weiteren Punkt gegeben, nämlich hier (7|0) und damit können wir jetzt die Aufgabe berechnen. Die Aufgabe lautet also, geben Sie die Punktemenge oberhalb des Weges des Himmelsstürmers durch eine Ungleichung an. Das ist die erste Aufgabe ist und die zweite ist, geben Sie eine Halbgerade an, die parallel zur x-Achse verläuft und die vom Himmelsstürmer gesehen werden kann. Ja, fangen wir mit der ersten Aufgabe an. Es wäre ganz praktisch, wenn wir zunächst mal den Weg des Himmelsstürmers beschreiben könnten durch eine lineare Funktion. Wir kennen eine lineare Funktion, wenn wir die Steigung kennen und auch den y-Achsenabschnitt. Die Steigung können wir hier ablesen an den beiden gegebenen Punkten, die ist nämlich 13/7 und den y-Achsenabschnitt, naja den können wir auch ablesen, der ist 13, deshalb lautet die Geradengleichung y = (13/7)x + 13. Da wir aber die Halbebene beschreiben wollen die oberhalb der Gerade liegt, können wir uns überlegen, dass an jeder Stelle, also für jedes bestimmte x, die Punkte zur oberen Halbebene gehören, deren y-Werte mindestens so groß sind wie der y-Wert des Punktes der Geraden an dieser Stelle. Das heißt, wir können einfach schreiben y ≥ (13/7)x + 13 und haben damit die obere Halbebene beschrieben. Man kann sich hier jetzt darüber streiten, ob man y größer-gleich oder y > (13/7)x + 13 schreiben soll, hier sind beide Lösungen richtig, denn man soll hier nicht darüber diskutieren, ob der Weg, den der Himmelsstürmer geht, zu dieser Halbebene gehört oder nicht, es ging darum, welchen Bereich der Himmelsstürmer sehen kann und man kann auch argumentieren, dass er auch seinen Weg sieht, aber darum soll es hier nicht im Wesentlichen gehen. Normalerweise schreibt man eine Ungleichung anders hin, deshalb sei hier die Umformung kurz gezeigt. -13x + 7y ≥ 91. Und damit ist die erste Aufgabe schon erledigt. Kommen wir zur zweiten Aufgabe, da müssen wir uns zunächst einmal überlegen, in welcher Höhe die Halbgerade verlaufen soll und da kann man sich was aussuchen, ich suche mir hier den Punkt (0|17) aus, da ist die Halbgerade dazu, die also wenn man so will in der Höhe 17 über der x-Achse verläuft. Die Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und deren y-Werte gleich 17 sind, hat die einfache Gleichung y = 17. Da uns aber nur der Teil dieser Geraden interessiert, der in der Halbebene liegt, die wir in Aufgabe eins schon bestimmt haben, muss ebenfalls die Ungleichung gelten, die diese Halbebene bestimmt, nämlich diese hier. -13x + 7y ≥ 91. Da uns nur die y-Werte hier interessieren, die gleich 17 sind, können wir y gleich 17 setzen und erhalten eine Ungleichung, in der nur noch x vorkommt. Und wenn wir diese Ungleichung umformen, erhalten wir x ≤ 28/13, also die Bedingung, die wir jetzt zusätzlich noch brauchten, um diese Halbgerade zu definieren. Insgesamt wird also diese Halbgerade durch eine Gleichung und eine Ungleichung definiert, nämlich y = 17 und x ≤ 28/13. Und das kann man auch sehen, wenn man nämlich vom Punkt, an dem sich Halbgerade und Weg des Himmelsstürmers berühren, das Lot auf die x-Achse fällt, kommt man hier unten zu dem Punkt (28/13 | 0). Ja und damit haben wir die Aufgabe besprochen, wir haben sie gelöst und können Feierabend machen. Viel Spaß dabei, tschüss.