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Quartile und Interquartilsabstand 05:16 min

Textversion des Videos

Transkript Quartile und Interquartilsabstand

Viele Schützen war'n – von großer Fertigkeit – hier vor der Burg, wo uns're Handlung spielt, versammelt zu des Königs Hofwettstreit, der auf Verständnis der Quartile zielt. Romeo ist Teilnehmer bei einem Wettschießen, das der König ersonnen hat und bei dem Quartile eine wichtige Rolle spielen. Die Regeln des Wettbewerbs unterscheiden sich ein wenig von denen, die Romeo üblicherweise gewohnt ist. Romeo hat gehört, dass Julia in der Burg lebt. Nun will er einen Weg finden, endlich mit ihr zusammen sein zu können. Um dieses Ziel zu erreichen, muss er Quartile und den Interquartilsabstand verstehen. Die Schützen im vierten Quartil werden zur Belohnung zu Rittern geschlagen und dürfen sich auf die Suche nach dem Heiligen Gral machen. Die Schützen im ersten Quartil haben hingegen das Los gezogen, im nächsten Jahr die Zieläpfel auf ihren Köpfen balancieren zu müssen. Wer im zweiten Quartil landet, muss nach dem Bankett am Abend aufräumen. Und wer im dritten Quartil landet, darf während des Banketts in die Burg - und genau das will Romeo. Zusatzregel: Falls die Schützen sich nicht dauerhaft gut anstellen und der Interquartilsabstand dadurch größer als 10 wird, müssen alle beim Aufräumen nach dem Bankett helfen. Eine Methode, um Daten zu analysieren, ist die Nutzung von Quartilen, was nur ein schicker Ausdruck dafür ist, dass man die Daten in Viertel aufteilt. Der Wettbewerb zwischen den wackeren Schützen des Königs ist gerade zu Ende. Schauen wir mal, was das Schicksal für Romeo und Julia bereithält. Die Schützen konnten jeweils bis zu 20 Äpfel abschießen. In unserem Datensatz finden wir also Datenpunkte mit einem Wert zwischen 0 und 20, eine Zahl für jeden Schützen. Ganz schön unordentlich. Um die Daten in Quartile aufteilen zu können, müssen wir sie erst mal sortieren. Und geschafft! Wie können wir den Datensatz jetzt unterteilen? Der Begriff "Quartil" verrät dir vielleicht schon, was wir mit dem Datensatz vorhaben: Wir teilen ihn in vier möglichst gleich große Bereiche auf. Für diese Methode musst du erst mal wissen, wie viele Datenpunkte du hast. Aha, es sind 19. Zuerst teilen wir die Liste in zwei gleich große Hälften. Wenn die Liste, wie in unserem Fall, eine ungerade Anzahl an Datenpunkten hat, wird der mittlere Wert, 8, zum Median und gehört zu keiner der Hälften. Wir nennen ihn Q2. Unsere zwei Hälften halbieren wir jetzt nochmals, sodass wir nun vier Datensätze mit einer identischen Anzahl an Datenpunkten haben. Schauen wir uns zunächst die erste Hälfte der Liste an. Sie besteht aus 9 Elementen, also wird der Median dieser in keiner der beiden Quartile enthalten sein. 5 ist der Median der ersten Hälfte. Wir nennen ihn Q1. Unser erstes Quartil hat also folgende Datenpunkte: Diese armen Seelen werden nächstes Jahr als Apfelständer dienen müssen. Und unser zweites Quartil hat folgende Datenpunkte. Diese Schützen werden nach dem Bankett aufräumen müssen. Wenn wir die gleiche Aufteilung mit der zweiten Hälfte der Liste machen, erhalten wir als ihren Median den Wert 15. Das ist also unser Q3. Und hier haben wir das dritte Quartil und das vierte. Die mutigen Krieger im vierten Quartil werden zu Rittern geschlagen und auf die Suche nach dem Heiligen Gral geschickt. Bei einer geraden Anzahl an Datenpunkten teilen wir die Liste in zwei Hälften und berechnen den Median als arithmetisches Mittel der beiden mittleren Werte. Um das zu verdeutlichen, schauen wir uns unser drittes Quartil an. Das können wir ganz leicht in zwei Datensätze mit der gleichen Anzahl an Datenpunkten aufteilen: Jeder Teildatensatz enthält dann zwei Datenpunkte. Aber wo liegt der Median des gesamten Datensatzes mit vier Werten? Wir teilen die Liste in zwei Hälften und berechnen den Median aus den beiden mittleren Werten. In unserem Fall sind das 11 und 13. Den Median berechnen wir als 11 + 13 geteilt durch 2. Das ergibt 12 – also ist der Median 12. Jetzt wissen wir, wie wir Datensätze in Quartile aufteilen. Wir versuchen jetzt nur noch herauszufinden, ob die Schützen nach dem Bankett aufräumen müssen. Dafür brauchen wir den Interquartilsabstand. Den erhalten wir, wenn wir von Q3 Q1 subtrahieren, also 15 minus 5 rechnen. 10 ist also der Interquartilsabstand unseres Datensatzes. Puh! Also müssen die Schützen nicht alle beim Aufräumen helfen. Da Romeo den Wettbewerb mit 14 Punkten beendet hat, liegt er im dritten Quartil und darf somit in die Burg, wo er seiner Geliebten ganz nah sein wird. Aber da ist doch irgendwas faul an einem der frisch gebackenen Ritter. "Voll' Fragen zu Quartilen dieser Morgen; Das Wissen reckt, wie's scheint, sein Antlitz. Kommt, offenbart mir ferner, was verborgen: Ich will bessern mich mit Müh' und Witz. Denn nie wart Rechnen voller Liebe so, wie diese Julia und ihr Romeo.

Quartile und Interquartilsabstand Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quartile und Interquartilsabstand kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere Quartile und den Interquartilsabstand.

    Tipps

    Der Name Quartile kommt von Viertel.

    Der Median einer geordneten Urliste mit einer ungeraden Zahl von Datenpunkten ist der mittlere Datenpunkt.

    Der Abstand zwischen zwei Datenpunkten einer geordneten Liste ist die Differenz des größeren Wertes zum kleineren Wert.

    Lösung

    Die Liste der Treffer aller Schützen ist die ungeordnete Urliste. Um die Liste in Quartile aufzuteilen, wird die Liste geordnet und anschließend in vier gleich große Teile geteilt. Dazu wird die Liste zunächst halbiert und dann die beiden Teile je noch einmal halbiert.

    Zur Unterteilung dient jeweils der Median. Bei einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten ist der Median der mittlere Wert der geordneten Urliste. Rechts und links des Medians liegen jeweils gleich viele Datenpunkte. Besteht die Urliste aus einer geraden Anzahl von Datenpunkten, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

    Die beiden Teile links und rechts des Medians werden noch einmal in zwei gleich große Teile geteilt. Diese Teile sind die Quartile. Zu jedem Quartil gehören genau gleich viele Datenpunkte. In jedem Quartil liegt höchstens ein Viertel der Datenpunkte.

    Der Interquartilsabstand ist die Differenz der Mediane der beiden Hälften der Urliste. Der Interquartilsabstand gibt die Breite des Intervalls an, in dem die zwei mittleren Quartile der Urliste liegen.

  • Zeige die Quartile und Meridiane.

    Tipps

    Der Median einer Hälfte mit einer ungeraden Anzahl ist der mittlere Wert.

    $Q_2$ ist der Median der gesamten Liste. $Q_1$ und $Q_3$ sind die Mediane der beiden Hälften.

    Jedes Quartil enthält gleich viele Datenpunkte.

    Lösung

    Der Median $Q_2$ teilt eine Urliste in zwei gleich große Teillisten. Bei einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten ist der Median der mittlere Wert. Für die beiden Teile links und rechts des Medians $Q_2$ wird jeweils wieder der Median gebildet. $Q_1$ ist der Median der linken Hälfte, $Q_3$ der rechten Hälfte. Die Mediane $Q_1$ und $Q_3$ teilen die beiden Hälften in zwei gleich große Teile auf. Diese Teile sind die Quartile der Urliste.

    Die Werte der Quartile liegen jeweils zwischen den Medianen $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$. In dieser Liste sind die Mediane $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ selbst Datenpunkte. Zum ersten Quartil gehören alle Werte links von $Q_1$, zum dritten Quartil die Werte, die in der geordneten Urliste zwischen $Q_2$ und $Q_3$ liegen.

  • Vergleiche die Boxplots.

    Tipps

    Die mittelmäßigen $50\%$ einer Disziplin sind jeweils das zweite und dritte Quartil.

    Dass der Median beim Bodenturnen weiter rechts liegt als der Median beim Singen bedeutet nicht, dass die Hälfte der Teilnehmer besser turnen kann als singen.

    Lösung

    Ein Boxplot ist eine übersichtliche Darstellung der Quartile. Der Plot zeigt das erste und vierte Quartil als Linie, das zweite und dritte als Box. Der Median ist die mittlere Strebe der Box. Die Spannweite des Plots ist die Different zwischen dem größten und kleinsten Wert bzw. die Breite des Plots vom linken bis zum rechten Ende. Der Interquartilsabstand ist die Breite der Box.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Mindestens die Hälfte der Recken können schlechter singen als reiten.“ Die Punktestände beim Singen sind verheerend: Die unteren beiden Quartile liegen unterhalb von $2$. Beim Reiten dagegen hat jeder Teilnehmer mindestens $4$ Punkte. Anders gesagt: mindestens die Hälfte der Teilnehmer bekommt beim Singen weniger Punkte als beim Reiten.
    • „Vom Singen einmal abgesehen, ist die Spanne der ritterlichen Fertigkeiten beim Ringen am größten.“ Die Spanne beträgt beim Singen $19-(-3) = 20$, beim Ringen $11,5-1,5 = 10$, beim Reiten $14-4=9$ und beim Bodenturnen $15,5-6 = 9,5$.
    • „Im Bodenturnen liegen die mittelmäßigen $50\%$ am nächsten beieinander.“ Der Interquartilsabstand ist beim Bodenturnen am kleinsten. Er beträgt hier $11-8 =3$, beim Reiten $11-6 =5$, beim Ringen $10-5=5$ und beim Singen $7-2=5$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Kein Teilnehmer ist im Bodenturnen schlechter als im Reiten.“ Über einzelne Datenpunkte kann man aus dem Boxplot meistens keine Informationen entnehmen. Zwar ist der schlechteste Punktestand beim Reiten kleiner als beim Bodenturnen. Aber ob es sich bei diesen Datenpunkten jeweils um denselben Teilnehmer handelt, geht aus dem Boxplot nicht hervor.
    • „Beim Ringen trennt sich die Spreu vom Weizen: In keiner anderen Disziplin ist der Abstand des schlechtesten vom besten Ergebnis größer.“ Tatsächlich ist die Spanne beim Singen am größten, nämlich $17-(-3) = 20$.
    • „Im Bodenturnen liegen die Fähigkeiten des besten und des schlechtesten Teilnehmers am nächsten beieinander.“ Tatsächlich ist die Spanne beim Reiten am kleinsten, nämlich $13-4=9$, während die Spanne bei Bodenturnen bei $15,5-6=9,5$ liegt.
  • Ergänze die Halbsätze.

    Tipps

    Hat die Urliste eine ungerade Anzahl an Datenpunkten, so enthalten die Quartile weniger als ein Viertel der Datenpunkte.

    Die Quartile enthalten die Datenpunkte der nach Größe geordneten Urliste. Zum ersten Quartil gehören die kleinsten Werte der Urliste.

    $Q_1$ ist der Median der ersten Hälfte der geordneten Urliste, $Q_3$ der Median der zweiten Hälfte. $Q_2$ ist der Median der gesamten Urliste.

    Lösung

    Der Median teilt eine nach Größe der Werte geordnete Urliste in zwei gleich große Teile. Besteht die Urliste aus einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten, so ist der Median der Wert des mittleren Datenpunktes der geordneten Urliste. Hat die Urliste eine gerade Anzahl von Datenpunkten, so ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte der geordneten Urliste. Der Interquartilsabstand ist die Differenz der Mediane der zweiten und der ersten Hälfte der Urliste.

    Hier sind die korrekten Sätze:

    • „Der Median einer Urliste mit einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten ... ist der mittlere Wert der geordneten Urliste.“
    • „Kein Quartil ... enthält mehr als drei Viertel der Datenpunkte.“
    • „Das dritte Quartil ... enthält keinen Datenpunkt, der größer ist als $Q_3$.“
    • „Der Interquartilsabstand ... ist die Differenz der Mediane $Q_3$ und $Q_1$.“
  • Bestimme Mediane, Quartile und Interquartilsabstand.

    Tipps

    Besteht eine Liste aus einer geraden Anzahl von Datenpunkten, so ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.

    Median und Interquartilsabstand müssen keine ganzen Zahlen sein, selbst wenn die Urliste nur ganze Zahlen enthält.

    Zwei verschiedene Quartile können denselben Wert als Datenpunkt enthalten.

    Lösung

    Um die Quartile zu bestimmen, überträgst du die Datenpunkte zuerst in eine geordnete Liste. Diese Liste enthält eine gerade Anzahl von Datenpunkten, daher ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte:

    $Q_2 = \frac{14+14}{2} = 14$

    Der Median teilt die Urliste in zwei Hälften. Zur ersten Hälfte gehören alle Werte der geordneten Urliste links des Medians, zur zweiten Hälfte alle Werte rechts des Medians.

    Die beiden Hälften kannst du wieder mittels ihrer Mediane unterteilen. Da beide Hälften jeweils eine gerade Anzahl von Datenpunkten enthalten, ist für die Bestimmung der beiden Mediane wieder jeweils das arithmetische Mittel zu berechnen.

    Der Median der ersten Hälfte beträgt:

    $Q_1 =\frac{11+12}{2} = 11,5$

    Der Median der zweiten Hälfte ist:

    $Q_3 = \frac{17+17}{2} = 17$

    Mithilfe der Mediane kannst du die geordnete Urliste in Quartile aufteilen. Das erste Quartil besteht aus allen Werten der Urliste, die kleiner als $Q_1$ sind, d.h. aus folgenden Datenpunkten:

    $5$; $5$; $8$; $11$

    Das dritte Quartil enthält alle Datenpunkte rechts von $Q_2$, die kleiner sind als $Q_3$:

    $14$; $14$; $16$; $17$

    Der Interquartilsabstand ist die Differenz der Mediane $Q_3$ und $Q_1$. Er beträgt hier:

    $Q_3 - Q_1 = 17 -11,5 = 5,5$

  • Ermittle die Quartile.

    Tipps

    Kein Wert eines Quartils ist größer als ein Wert des nächstgrößeren Quartils.

    $Q_2$ kann nur durch das arithmetische Mittel berechnet werden. Das heißt, dass nicht zwangsläufig eine der Frauen das Alter hat, welches dem Median $Q_2$ entspricht.

    Lösung

    Schritt 1:

    Um die Altersangaben in Quartile einzuteilen, hat Romeo bereits die Liste geordnet.

    • $18; 18; 24; 25; 31; 31; 32; 34; 34; 40; 47; 50; 50; 70$
    Schritt 2: Berechne die Anzahl der Datenpunkte:

    • $14$
    Schritt 3:

    Die Liste in zwei gleichgroße Hälften geteilt:

    • $18; 18; 24; 25; 31; 31; \color{#669900}{32}$
    • $\color{#669900}{34}; 34; 40; 47; 50; 50; 70$
    Da die Liste eine gerade Anzahl an Datenpunkten hat, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte, also: $Q_2=\frac{32+34}{2}=33$

    Schritt 4:

    Nun wird die erste Liste in gleichgroße Hälften geteilt:

    • $18; 18; 24$
    • $Q_1=\color{#669900}{25}$
    • $31; 31; 32$
    Da die Anzahl hier ungerade ist, wird die $25$ zum Median.

    Auch die zweite Liste wird in zwei gleichgroße Listen aufgeteilt:

    • $ 34; 34; 40$
    • $\color{#669900}{47}$
    • $50; 50; 70$
    Hier wird die $47$ zum Median.

    Einteilung:

    • $1.$ Quartil: $18; 18; 24$
    • Median $Q_1=\color{#669900}{25}$
    • $2.$ Quartil: $ 31; 31; 32$
    • Median $Q_2=\color{#669900}{33}$
    • $3.$ Quartil: $34; 34; 40$
    • Median $Q_3=\color{#669900}{47}$
    • $4.$ Quartil: $50; 50; 70$