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Quantile

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Martin Wabnik
Quantile
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Beschreibung Quantile

Inhalt

Was ist ein Quantil?

Quantile kommen in der Statistik bei der Darstellung von Daten vor. Darum geht es in diesem Video. Quantile kommen auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie vor und beschreiben dort bestimmte Werte oder Schranken einer Verteilung. Darum geht es in diesem Video aber nicht.

Um die Quantile eines Datensatzes zu bestimmen, müssen die Daten zuerst der Größe nach sortiert werden. Dazu tragen wir die Daten zum Beispiel auf einer linearen Skala ab. Ganz links stehen die kleinsten Werte, nach rechts werden die Werte größer. Die Positionen der einzelnen Datenpunkte geben also nicht die zeitliche Reihenfolge an, in der die Werte erhoben wurden, sondern die Größe der einzelnen Werte relativ zu den anderen Werten dieses Datensatzes. Die Quantile des Datensatzes sind Werte der Skala, die Auskunft über die quantitative Aufteilung des Datensatzes geben. Das untere $80\%$-Quantil des Datensatzes ist ein Wert $x_{(80\%)}$, unterhalb dessen $80\%$ der Datenpunkte liegen und oberhalb dessen die übrigen $20\%$ liegen. Links des unteren $10\%$-Quantils $x_{(10\%)}$ liegen $10\%$ der Datenpunkte, rechts davon $90\%$ der Datenpunkte.

Quantile

Quantile – Definition

Wir betrachten einen Datensatz mit $n$ Datenpunkten. Die Werte haben wir der Größe nach sortiert. Dabei können einzelne Werte auch mehrfach auftreten, also zu verschiedenen Datenpunkten gehören. Als $p\%$-Quantil bezeichnet man einen Wert $x_{(p\%)}$, für den gilt: Mindestens $p\%$ der Datenpunkte des Datensatzes liegen links von $x_{(p\%)}$, das heißt, sie haben Werte $\leq x_{(p\%)}$, und höchstens $(100-p)\%$ der Datenpunkte liegen rechts von $x_{(p\%)}$, das heißt, sie haben Werte $\leq x_{(p\%)}$.

Quantile berechnen

Um das $p\%$-Quantil eines Datensatzes zu bestimmen, nehmen wir zuerst an, dass $n \cdot p\%$ eine ganze Zahl ist. Haben wir zum Beispiel einen Datensatz mit $n=100$ und bestimmen das $38\%$-Quantil, so ist tatsächlich $100 \cdot 38\%= 100 \cdot 0,38 = 38$ eine ganze Zahl. In diesem Fall definieren wir das $p\%$-Quantil $x_{p\%}$ als arithmetisches Mittel des Datenpunkts $n\cdot p\%$ und seines Nachfolgers. Als Formel sieht das so aus:

$x_{p\%} = \frac{x_{(n \cdot p\%)} + x_{(n \cdot p\% +1)}}{2}$

Im Beispiel mit $n=100$ und $p\%=38\%$ ist das $38\%$-Quantil also das arithmetische Mittel der Datenpunkte $x_{38}$ und $x_{39}$:

$x_{38\%} = \frac{x_{(38)} + x_{(38 +1)}}{2} = \frac{x_{38}+x_{39}}{2}$

Ist $n \cdot p\%$ nicht ganzzahlig, so verwenden wir eine andere Definition für das $p\%$-Quantil: Wir bestimmen zuerst die Zahl $n \cdot p\%$. Dies ist eine Kommazahl, da nach Voraussetzung $n \cdot p\%$ keine ganze Zahl ist. Wir bestimmen zu dieser Kommazahl die nächstgrößere ganze Zahl. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol $\lceil n \cdot p\% \rceil$. Für $n=99$ und $p\% = 38\%$ ist zum Beispiel $n \cdot p\% = 99 \cdot 0,38 = 37,62$ und $\lceil 37,62 \rceil = 38$. Wir definieren das $p\%$-Quantil als denjenigen Datenpunkt, der zu dieser nächstgrößeren ganzen Zahl gehört. Als Formel sieht das so aus:

$x_{p\%} = x_{(\lceil n\cdot p\% \rceil)}$

Bei einem Datensatz mit $n=99$ Datenpunkten liegt das $38\%$-Quantil also genau bei dem Datenpunkt $x_{38}$.

Spezielle Quantile

In statistischen Darstellungen kommen einige Quantile besonders häufig vor. Diese Quantile haben daher eigene Namen. Der Median eines Datensatzes ist dasselbe wie das $50\%$-Quantil. Der Median bezeichnet also eine Stelle des Datensatzes mit der Eigenschaft, dass auf beiden Seiten dieser Stelle genau die Hälfte der Datenpunkte liegt. Die Quantile zu den Prozentsätzen $25\%$, $50\%$ und $75\%$ bezeichnet man als Quartile. Sie teilen den Datensatz in vier genau gleich große Teildatensätze ein. Die Quartile bezeichnet man auch mit den Buchstaben $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$. Das mittlere Quartil $Q_2$ ist dasselbe wie der Median.

Teilt man den Datensatz in $10$ gleich große Teildatensätze ein, so nennt man die zugehörigen Quantile Dezentile oder verkürzt auch Dezile. Bei einer Einteilung des Datensatzes in $100$ gleich große Teile heißen die Quantile dieser Einteilung Perzentile oder verkürzt Zentile.

Dieses Video

In diesem Video werden dir Quantile verständlich erklärt. Du erfährst, wie man die Quantile eines Datensatzes berechnet. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.

Transkript Quantile

Hallo, es gibt Quantile. Und um zu verstehen, was das ist, können wir uns eine Messreihe vorstellen. Eine Messreihe von Messwerten, die man der Reihe nach ordnen kann. Wir stellen uns die Messwerte der Reihe nach geordnet vor, also nach Größe. Der am weitesten links stehende Wert ist der kleinste, der am weitesten rechts stehende Wert ist der größte. Das hier soll jetzt nicht der erste Messwert sein-im Sinne von wir haben den als Erstes abgefragt-, sondern das ist der Messwert, der in dieser Reihenfolge hier der kleinste ist. Das ist der Zweitkleinste. Die können auch beide gleich sein, das ist egal. Aber der hier ist auf jeden Fall nicht kleiner als der. Das ist der an der Position 2, dann kommt x(3) an der Position 3 bis x(n). Die Klammern geben die Position an. Ich habe das hier noch einmal aufgemalt. Wir können uns diese Frage ungefähr so vorstellen: Die Werte sind hier auf einer Skala. Und jetzt können wir uns zum Beispiel fragen: Bis zu welchem Punkt hier auf dieser Skala gehen zum Beispiel 80 % der unteren Messwerte. Hier befinden sich dann circa 80 % der Messwerte, da befinden sind 20 % der geordneten Messwerte. Und wir fragen uns, wo ist das. Und das, was hier steht, diese Kennzahl, die wir da haben, das ist zum Beispiel das 80 % Quantil. Wir könnten uns auch fragen: Bis wohin gehen die ersten 10 % der Messwerte. Dann haben wir das 10 % Quantil. Und wie du erkennen kannst, gibt es hier eine relativ große Differenz, das heißt, es ist die Frage, wo das 10 % Quantil genau ist. Das muss man sich noch genauer überlegen. Da gibt es mehrere Möglichkeiten, wie man das definieren kann. Ich zeige eine davon. Die verschiedenen Möglichkeiten unterscheiden sich alle in Kleinigkeiten. Ich zeige nur eine von denen, groß sind die Unterschiede sowieso nicht. Wir könnten folgende Situation vorfinden: Wir könnten eine Anzahl von Messwerten haben, und wenn wir die mit dem Prozentwert multiplizieren, dann kommt eine ganze Zahl heraus. Wollen wir also beispielsweise das 38 % Quantil haben, wir wollen also wissen, bis wohin die unteren 38 % dieser Messwerte gehen, dann könnten wir, wenn wir eine Anzahl von Messwerten haben, diese mit 38 % multiplizieren und der Wert, der herauskommt, könnte ganzzahlig sein. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn wir 100 Messwerte haben. Dann kommt hier 38 heraus. Das ist ganzzahlig. In einem solchen Fall wird beispielsweise dieses 38 % Quantil gebildet, indem man den Messwert, der in diesem Beispiel an Position 38 steht, nimmt und den Messwert an Position 39 addiert und durch 2 teilt. Das heißt, dass man das arithmetische Mittel des 38. und 39. Messwertes bildet. Wir könnten hier auch zum Beispiel 200 Messwerte haben. Wenn wir 200 * 38 % rechnen, dann erhalten wir 76 und dann würden wir hier den Messwert, der an Position 76 steht, nehmen und den Messwert, der an Position 77 steht, addieren und durch 2 teilen, also das arithmetische Mittel des 76. und 77. Messwertes hier in dieser Reihenfolge berechnen. Das ist dann in diesem Fall das 38 % Quantil. Angenommen n * p % ist nicht ganzzahlig, das kann natürlich vorkommen, dann machen wir Folgendes: Wir rechnen n * p %. Wenn wir jetzt zum Beispiel 99 Messwerte haben und das 38 % Quantil bilden, dann rechnen wir 99 * 38 %. bzw  eben 99 * 0,38 Das ist dann 37,62. Dann steht hier diese Halbklammer, also hier oben eckige Klammer und unten fehlt dieses andere. Das bedeutet: die nächstgrößere ganze Zahl. Wenn also bei n * p % zum Beispiel 37,62 herauskommt, dann ist die nächstgrößere ganze Zahl 38. Das heißt, wir brauchen den Messwert mit der Positionsnummer 38 hier in dieser Reihenfolge und dieser Messwert ist unser 38 % Quantil. Und allgemein rechnet man das so, wie das hier steht. Dann gibt es noch besondere Namen für besondere Quantile. Wir haben ein besonderes Quantil, nämlich das 50 % Quantil, das ist der Median. Wir haben das 25 % Quantil, das 50 % Quantil, das 75 % Quantil und das 100 % Quantil; das sind die Quartile. Das 10 % Quantil, das 20 % Quantil und so weiter heißen Dezentile oder einfach nur Dezile. Und wenn es um einzelne Prozente geht, also das 1 % Quantil, das 2 % Quantil oder eben auch das 38 % Quantil, das wir gerade hatten, das sind Perzentile oder einfach nur Centile. Das sind die besonderen Namen dafür. Das war's zu den Quantilen, viel Spaß, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Sehr gut! 5 Sterne

    Von Deleted User 554637, vor mehr als 3 Jahren
  2. Hallo!
    Die Berechnung habe ich gut verstanden, allerdings nicht, WARUM man zur Berechnung des ganzzahligen Quantils der Position x das Messergebnis von Position x und x+1 halbieren muss. Warum ist Xp% nicht gleich Xnp%/n?
    Viele Grüße Anja

    Von Ta Beck, vor mehr als 4 Jahren
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